1、第一章 实数的概念 性质和运算（1） 内容要点一、充分条件定义：如果条件 A 成立，那么就可以推出结论 B 成立。即 A B，这时我们就说 A 是 B的充分条件。例如：A 为 x0, B 为 x2 0 .由 x0 x20 A 是 B 的充分条件.MBA 联考数学中有一类题目叫做“充分性判断题”：本题要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论.（而不必考试条件是否必要）在这类题目中有五个选项，规定为（A） 条件（1）充分，但条件（2）不充分；（B） 条件（2）充分，但条件（1）不充分；（C） 条件（1）和（2）单独都不充分，但联合起来充分；（D） 条件（1）充分，条件（2）也充分；（E）
2、条件（1）和（2）单独都不充分，联合起来也不充分.二、实数1、 数的概念和性质（1）自然数 N、整数 Z、分数 （百分数%）mn（2）数的整除：设 a,bZ 且 b0 若 PZ 使得 a=pb 成立，则称 b 能整除 a，或 a 能被 b 整除，记作 ba,此时我们把 b 叫做 a 因数，把 a 叫做 b 的倍数。定理（带余除法） ，设 a,bZ,且 b0,则 P，rZ 使得 a=bP+r，0rb 中只有一个关系成立.（3） aR,则 a20.3、实数的运算.实数的加、减、乘除四则运算符合加法和乘法运算的交换律，结合律和分配律。下面讨论实数的乘方和开方运算（1）乘方运算2013 年 MBA/M
3、PA/MPACC 备考交流 QQ 群：208950014考试信息交流-各种讲义资料-历年真题当 aR，a0 时，a 0=1，a -n= ,负实数的奇数次幂为负数；负数的偶次数幂1n为正数。（2）开方运算在实数范围内，负实数无偶次方根；0 的偶次方根是 0；正实数的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的偶次方根称为算术根。在运算有意义时，nma三、绝对值、定义 实数 a 的绝对值，用a表示几何意义：数轴上表示数 a 的点到原点的距离。、性质（）a（）a=a（）aaa（） x 0aax 或（） ab （） （a0）（）a+ba+b,当且仅当 a,b 同号时，等式成立（）a-ba-b,当且仅当 a
4、,b 同号时，等式成立.（）aR 时，a 2=a2四、平均值、算术平均值：n 个数 的算术平均值为12,.nx121.nixxn、几何平均值：n 个正数 ,的几何平均值为12, .nx123.nnGxxi五、比和比例2013 年 MBA/MPA/MPACC 备考交流 QQ 群：208950014考试信息交流-各种讲义资料 -历年真题、比的意义：两个数相除，又叫做这两个数的比记做 、即:ab:aba 叫做比的前项，b 叫做比的后项，若 的商为 k 则称 k 为 a:b 的值。ab2、 比的性质（ 1） a:b=k a=kb（ 2） a:b=ma:mb(m0 )3、 百分比把比值表示成分母为 10
5、0 的分数，这个数就称为百分比或百分率，如 1:2=50%a:b=r%常表述为 a 是 b 的 r%,即 a=b r%.4、 比例的定义如果两个比 a:b 和 c:d 的比值相等，就称 a、b、c、d 成比例，记作a:b= c:d 或 = a 和 d 叫做比例的外项， b 和 c 叫做比例的内项。c当 a:b= b:d 时，称 b 为 a 和 d 的比例中项即 b2=ad（2） 典型例题一、充分条件判断，举例1、 方程 x2-5x+6=0(1) x=2 (2)x=1解:将(1)x=2 代入方程,2 2-5 2+6=0 满足方程.条件(1)充分.将(2)x=1 代入方程 12-5 1+6=2 0
6、 条件(2) 不充分.答案应选 A注 :若比题题干不变所给出的条件有如下变化时: 256.x(一) (1)x=1, (2)x=3 答案应选 B(二) (1)x=2 (2)x=3 答案应选 D(三) (1)x=0 (2)x=1 答案应选 E2、等式 x=y 成立(x,y 实数)(1)x2= y2 (2)x 和 y 同号解:由 x2 =y2 x=y 或 x=-y 条件(1)不充分.x 和 y 同号时,可能 x -y,条件(2)不充分.但条件(1)与(2)联合起来, x 2= y2 且 x 与 y 同号 x=y 故答案选 C3、将一篇文章录入讲算机,录入员甲比录入员乙效率高(1)录入员甲与录入员丙合
7、作,需 3 小时完成;(2)录入员乙与录入员丙合作,需 4 小时完成;解:设甲单独录入需 x 小时录完 ,乙单独录入 y 小时录完.由条件(1)丙每小时录入量为 - ,再由条件(2)得 +( - )= = + 1313x41y21xy2013 年 MBA/MPA/MPACC 备考交流 QQ 群：208950014考试信息交流-各种讲义资料 -历年真题即:甲每小时完成的工作量大于乙每小时完成的工作量 .即:甲的效率比乙高,此题应选 C二、实数5、 从 1 到 105 的自然数中，能被 3 整除或被 5 整除的数的个数是（ ）（A）58 个（B）57 个（C） 56 个（D）49 个（E）47 个
8、解：能被 3 整除的数可表示为 3k，k=1，2、 、 、 、35 是 1 到 105 能被整除的数.能被 5 整除的数可表示为 5k, k=1,2、 、 、 、,21 是 1 到 105 能被整除的数.3 和 5 的最小公倍数是 15 既能被 3 整除,又能被 5 整除的数一定是 15 的倍数,可表示为15k ， k=1,2、 、 、 、 、7 是从 1 到 105 中能被 15 整除的数,从而能被 3 整除或被 5 整除的个数为 35+217=49 个 答案是 D5、 （充分性判断） （2009 年 10 月考题）m 是一个整数。（1） 若 m= ，其中 p 与 q 为非零整数，且 m2
9、是一个整数。q（2） 若 m= ，其中 p 与 q 为非零整数，且 是一个整数。43解：由条件（1） ，若 m= ，知 m 是有理数，又 m2 是一个整数，即有理数的平方是整数，则该有理数 m 必是一个整数，条件（ 1）充分由条件（2） ，若 m= ，知 m 是有理数，又 =z 是一个整数,即 2m+4=3 z pq43m= 故 m 不一定是一个整数,条件(2)不充分,故选 A.34z6、 （2008 年 10 月考试）一个大于 1 的自然数的算术平方根为 a，则与这个自然数左右相邻的两个自然数的算术平方根分别为（ ）(A) -1， +1 (B) ， (C) ， ， （D） ，a11a21a（
10、E） ,212a解：设 n 是大于 1 的自然数， 则 , 分别为 ， ，从而n2an22， 的算术平方根分别为 ， 故选 D212013 年 MBA/MPA/MPACC 备考交流 QQ 群：208950014考试信息交流-各种讲义资料 -历年真题7、把无理数 记作 ，它的小数部分记作 则 等于（ ）13ab4a（A）-1 （B）1 （C）-2 （D ）2 （E）-3解：因为 90,b3 所以 k-10 因此 k-1=1 或 k-1=3即 k=2 或 k=4当 k=2 时 a=6 , b=6 ,此时 a,b 的算术平均值为 6 不是 8当 k=4 时 a=12 , b=4此时 82故所以条件（
11、1）充分，条件（2）不充分，故选 A18、试判断 x 与 三个数的算术平均值与 x 的大小关系x 与 解：因为 有意义，所以 0 =-于是算术平均值 ()33xxxm + 0x所以 ( 当且仅当 时等号成立)0四 比和比例19、设 求使 成立的 z 值1:3:45,xyz14xyz解：由已知条件，设 ,5ttz所以 代入11,345xyztt14xy得5t180所以 36zt20、一公司向银行借款 31 万元，欲按 的份额分配给下属甲、乙、丙三个车间进行1:235技术改造，求甲车间应得的款数.2013 年 MBA/MPA/MPACC 备考交流 QQ 群：208950014考试信息交流-各种讲义
12、资料 -历年真题解： 设甲、乙、丙三个车间应得的款数依次为 万元， 万元， 万元，于是有 + +2t3t5t2t3=31 5t30故甲车间应得 =15（万元）2t21、 （问题求解） （2009 年考题）某国参加北京奥运会的男女运动员比例原为 19:12，由于先增加若干女运动员，于是男女运动员比例变为 20:13，后又增加了若干男运动员，于是男女运动员的比例最终变为 30:19,如果后增加的男运动员比先增加的女运动员才多 3 人，则最后运动员的总人数为（ ）（A） 686 （B）637 （C） 700 （D）661 （E）600解：设原男女运动人数分别 a 与 b，后增加女运动员 x 人，增加
13、男运动员为 y 人则有19207,10,38,240319abxyabxayb解 得从而最后运动员总人数为 380+240+7+10=637（人）所以选 B22、 （问题求解） （2005 年考题）甲，乙两个储煤仓库的库存煤量之比为 10:7，要使这两个仓库的库存煤量相等，甲仓库需向仓库搬入的煤矿量占甲仓库库存煤量的（ ）（A）10% （B）15% （C ）20% （D）25% （E）30%解：设甲仓库存煤矿量为 a 吨，则乙仓库存煤量为 吨，现从甲仓库运走 x 吨，依题意710a7321010axx所以 =15% 故选 B523、 （充分性判断） （2003 年考题）某公司得到一笔贷款共 6
14、8 万元，用于下属三个工厂的设备改造，结果甲、乙、丙三个工厂按比例分别得到 36 万元，24 万元和 8 万元（1）甲、乙、丙三个工厂按 的比例分配贷款.1:239（2）甲、乙、丙三个工厂按 9 : 6 : 2 的比例分配贷款.解：设甲、乙、丙三个工厂分别得到贷款为 x、y、z（万元）由条件（1）知 ,xtytz2013 年 MBA/MPA/MPACC 备考交流 QQ 群：208950014考试信息交流-各种讲义资料 -历年真题16872239ttt于是 ， ， 条件（1）充分x143y8()9zt万 元由条件（2）设一份贷款为 a（万元） ，则 9,6,2az84于是 条件（2）也充分，所以
15、选 D3,248()xyz万 元24、 （充分性判断）一轮船沿河航行于相距 48 公里的两码头间，则往返一共需 10 小时（不计到达码头后停船的时间）（1） 轮船在静水中的速度是每小时 10 公里（2） 水流的速成度是每小时 2 公里解： 条件（1）和条件（2）单独都不充分联合条件（1）和条件（2） ，则轮船顺水流行驶需 ，而往返共需48(102小 时 )4+6=10（小时） ， 所以选 C25（问题求解） （2007 年考题）完成某项任务，甲单独做需要 4 天，乙单独做需要 6 天，丙单独做需要 8 天，现甲、乙、丙三人依次一日一轮地工作，则完成该项任务共需的天数为（ ）（A） （B） （C） 6 （D） （E）42631523解： 甲、乙、丙三人的工作效率分别为 1,8即 故甲做 2 天，乙做 2 天，丙做 1 天，还剩 ，剩下的由丙完成，需要4,2 124，一共 所以选 B183153练习 1一、问题求解1、已知 （ ）2210,xxy +(y-)那 么 的 值 是（A）4 （B）3 （C） （D） （E）3434
