1、12009 年 MBA 联考综合能力考试数学重点知识串讲2008-122第一讲 方程与不等式【知识点与典例分析】1. 一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为 的形式，若 ,则 ；若 ,则 ；若 ,则当 时， ；当 时，。例：如已知关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为_（答： ）2. 一元二次不等式的解集（联系图象） 。尤其当 和 时的解集你会正确表示吗？设 , 是方程 的两实根，且 ，则其解集如下表：或 或RR R例：如解关于 的不等式： 。 （答：当 时， ；当 时，或 ；当 时， ；当 时， ；当 时，）33. 对于方程 有实数解的问题。首先
2、要讨论最高次项系数 是否为 0，其次若 ，则一定有 。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？例：（1） 对一切 恒成立，则 的取值范围是_（答： ） ；（2）关于 的方程 有解的条件是什么？(答： ，其中 为 的值域) ， 4.一元二次方程根的分布理论。方程 在 上有两根、在 上有两根、在和 上各有一根的充要条件分别是什么？（ 、 、 ） 。根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间 讨论方程 有实数解的情况，可先利用在开区间 上实根分布的情况，得出结果，再令 和 检查端点的情况例：如实系数方程 的一根大于 0 且小于 1，另一根大于 1 且小于 2，则的
3、取值范围是_（答：（ ，1） ）5.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程 的两个根即为二次不等式 的解集的端点值，也是二次函数 的图象与 轴的交点的横坐标。比如：例：（1）若关于 的不等式 的解集为 ，其中，则关于 的不等式 的解集为_（答：4） ；（2）不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是_（答：） 。6常用不等式有：（1） (根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、c R， （当且仅当 时，取等号） ；（3）若 ，则 （糖水的浓度问题） 。7绝对值不等式的解法：（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：例：解不等式 （答： ） ；（2）利用绝对值的定
4、义；（3）数形结合；例：解不等式 （答： ）（4）两边平方：例：若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围为_。 （答：）8含绝对值不等式的性质：同号或有 ；异号或有 .第二讲 数列问题1、 数列的概念：数列是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集1,2，3，n ）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。2.等差数列的有关概念：（1）等差数列的判断方法：定义法 或 。 （2）等差数列的通项： 或 。5例：(1)等差数列 中， ， ，则通项 （答： ） ；（2）首项为-24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差的取值范围是_（答：）（3）等差数列的前 和： ， 。例：数列
5、中， ， ，前 n 项和 ，则， （答： ， ） ；（4）等差中项：若 成等差数列，则 A 叫做 与 的等差中项，且 。【提醒】：（1）等差数列的通项公式及前 和公式中，涉及到 5 个元素： 、 、 、 及 ，其中 、 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知3 求 2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，（公差为 ） ；偶数个数成等差，可设为，,（公差为 2 ）3.等差数列的性质：（1）当公差 时，等差数列的通项公式 是关于 的一次函数，且斜率为公差 ；前 和 是关于 的二次函数且常数项为 0.（2）若公差 ，则为递增等差
6、数列，若公差 ，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。（3）当 时,则有 ，特别地，当 时，则有。例：（1）等差数列 中， ，则 _（答：27） ；（2）在等差数列 中， ，且 ， 是其前 项和，则（ ）6A、 都小于 0， 都大于 0 B、 都小于 0， 都大于 0 C、 都小于 0， 都大于 0 D、 都小于 0， 都大于 0 （答：B）(4) 若 、 是等差数列，则 、 ( 、 是非零常数) 、 ，也成等差数列，而 成等比数列；若是等比数列，且 ，则 是等差数列。例：等差数列的前 n 项和为 25，前 2n 项和为 100，则它的前 3n 和为 。 （答：225）（5）在等差数列 中，当
7、项数为偶数 时， ；项数为奇数 时， （这里 即 ） ； 。例：（1）在等差数列中，S 1122，则 _（答：2） ；（2）项数为奇数的等差数列 中，奇数项和为 80，偶数项和为 75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）（6）若等差数列 、 的前 和分别为 、 ，且 ，则.例：设 与 是两个等差数列，它们的前 项和分别为 和 ，若 ，那么 _（答： ）(7)“首正”的递减等差数列中，前 项和的最大值是所有非负项之和； “首负”的递增等差数列中，前 项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组 确定出前多少项为非负（或非正） ；法二：因等差数列前 项是关于 的二次函数，故可转化为求二次函数
8、的最值，但要注意数列的特殊性 。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想） ，由此你能求7一般数列中的最大或最小项吗？例：（1）等差数列 中， ， ，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前 13 项和最大，最大值为 169） ；（2）若 是等差数列，首项 ，则使前 n 项和 成立的最大正整数 n 是 （答：4006）4.等比数列的有关概念：（1）等比数列的判断方法：定义法 ，其中 或。（2）等比数列的通项： 或 。（3）等比数列的前 和：当 时， ；当 时， 。【特别提醒】：等比数列前 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前 项和时，首先要判断公比 是否为 1，再由 的情况选择求和
9、公式的形式，当不能判断公比 是否为 1 时，要对 分 和 两种情形讨论求解。（4）等比中项：若 成等比数列，那么 A 叫做 与 的等比中项。 【提醒】：（1）等比数列的通项公式及前 和公式中，涉及到 5 个元素： 、 、 、及 ，其中 、 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，（公比为 ） ；但偶数个数成等比时，不能设为 ，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。例：如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是 16，第二
10、个数与第三个数的和为 12，求此四个数。 （答：15，,9，3,1 或 0,4，8,16）5.等比数列的性质：（1）当 时，则有 ，特别地，当 时，则有8.例：在等比数列 中， ，公比 q 是整数，则 =_（答：512） ；各项均为正数的等比数列 中，若 ，则（答：10） 。(2) 若 是等比数列，则 、 、 成等比数列；若 成等比数列，则 、 成等比数列；若 是等比数列，且公比 ，则数列 ，也是等比数列。例：在等比数列 中， 为其前 n 项和，若 ，则 的值为_（答：40）(3) 当 时， ，这里 ，但 ，这是等比数列前 项和公式的一个特征，据此很容易根据 ，判断数列 是否为等比数列。例：若
11、 是等比数列，且 ，则 （答：1）(4)、如果数列 既成等差数列又成等比数列，那么数列 是非零常数数列，故常数数列 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。例：设数列 的前 项和为 （ ） ， 关于数列 有下列三个命题： 若 ，则 既是等差数列又是等比数列； 若 ，则 是等差数列； 若 ，则 是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 （答：）6.数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。9例：已知数列 试写出其一个通项公式：_（答：）已知 （即 ）求 ，用作差法： 。例：已知 的前 项和满足 ，求 （答： ） ；数列 满足 ，求 （答： ）已知 求 ，用作商法：
12、。例：数列 中， 对所有的 都有 ，则_（答： ）若 求 用累加法：。例：已知数列 满足 ， ，则 =_（答： ）已知 求 ，用累乘法： 。例：已知数列 中， ，前 项和 ，若 ，求 （答：）已知递推关系求 ，用构造法（构造等差、等比数列） 。特别地，（1）形如 、 （ 为常数）的递推数列都可以用待定系数法10转化为公比为 的等比数列后，再求 。例：已知 ，求 （答： ） ；已知 ，求 （答： ） ；（2）形如 的递推数列都可以用倒数法求通项。例：已知 ，求 （答： ） ；已知数列满足 =1， ，求 （答： ）【注意】：（1）用 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（ ，当 时，
13、 ） ；（2）一般地当已知条件中含有 与 的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解。7.数列求和的常用方法：（1）公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与 1 的关系，必要时需分类讨论.；常用公式：;. （2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。例：求： （答： ）（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 和公式的推导方法） 。（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前 和公式的推导方法） 。 （5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
