1、1第四讲 Matlab 求解微分方程（组）理论介绍：Matlab 求解微分方程（组）命令求解实例：Matlab 求解微分方程（组）实例实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法.一相关函数、命令及简介1.在 Matlab 中，用大写字母 D 表示导数，Dy 表示 y 关于自变量的一阶导数，D2y 表示 y 关于自变量的二阶导数，依此类推.函数 dsolve 用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为：X
2、=dsolve(eqn1,eqn2,)函数 dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解.注意，系统缺省的自变量为 t2.函数 dsolve 求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解.但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB 具有丰富的函数，我们将其统称为 solver，其一般格式为：T,Y=solver(odefun,tspan,y0)说明：(1)solver 为命令ode45、ode23、ode113、ode15
3、s、ode23s、ode23t、ode23tb、ode15i 之一.(2)odefun 是显示微分方程 在积分区间 tspan 上从 到 用(,)yft0,ft0tf初始条件 求解.0y(3)如果要获得微分方程问题在其他指定时间点 上的解，则令012,ftttspan (要求是单调的 ).012,ftt(4)因为没有一种算法可以有效的解决所有的 ODE 问题，为此，Matlab 提供了多种求解器 solver，对于不同的 ODE 问题，采用不同的 solver.2表 1 Matlab 中文本文件读写函数求解器 ODE 类型 特点 说明ode45 非刚性单步算法：4 、5 阶 Runge-Kut
4、ta方程；累计截断误差 3()x大部分场合的首选 算法ode23 非刚性单步算法：2 、3 阶 Runge-Kutta方程；累计截断误差 3()使用于精度较低的 情形ode113 非刚性多步法：Adams 算法；高低精度可达 3610计算时间比 ode45短ode23t 适度刚性 采用梯形算法 适度刚性情形ode15s 刚性多步法：Gears 反向数值微分；精度中等若 ode45 失效时，可尝试使用ode23s 刚性单步法：2 阶 Rosebrock 算法；低精度当精度较低时，计算时间比 ode15s 短ode23tb 刚性 梯形算法；低精度当精度较低时，计算时间比 ode15s 短说明：od
5、e23 、ode45 是极其常用的用来求解非刚性的标准形式的一阶微分方程（组）的初值问题的解的 Matlab 常用程序，其中：ode23 采用龙格 -库塔 2 阶算法，用 3 阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度.ode45 则采用龙格 -库塔 4 阶算法，用 5 阶公式作误差估计来调节步长，具有中等的精度.3在 matlab 命令窗口、程序或函数中创建局部函数时，可用内联函数inline，inline 函数形式相当于编写 M 函数文件，但不需编写 M-文件就可以描述出某种数学关系.调用 inline 函数，只能由一个 matlab 表达式组成，并且只能返回一个变量，不允许u,v这种向量
6、形式.因而，任何要求逻辑运算或乘法运算以求得最终结果的场合，都不能应用 inline 函数，inline 函数的一般形式为：FunctionName=inline(函数内容, 所有自变量列表)例如：（求解 F(x)=x2*cos(a*x)-b ,a,b 是标量；x 是向量 ）在命令窗口输入:3Fofx=inline(x .2*cos(a*x)-b , x,a,b);g= Fofx(pi/3 pi/3.5,4,1)系统输出为：g=-1.5483 -1.7259注意：由于使用内联对象函数 inline 不需要另外建立 m 文件，所有使用比较方便，另外在使用 ode45 函数的时候，定义函数往往需要
7、编辑一个 m 文件来单独定义，这样不便于管理文件，这里可以使用 inline 来定义函数.二实例介绍1.几个可以直接用 Matlab 求微分方程精确解的实例例 1 求解微分方程 2 xye程序：syms x y; y=dsolve(Dy+2*x*y=x*exp(-x2),x)例 2 求微分方程 在初始条件 下的特解并画出解函数 0x(1)2ye的图形.程序：syms x y; y=dsolve(x*Dy+y-exp(1)=0,y(1)=2*exp(1),x);ezplot(y)例 3 求解微分方程组 在初始条件 下的特解530tdxyet00|1,|ttxy并画出解函数的图形.程序：syms
8、x y t x,y=dsolve(Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=0,x(0)=1,y(0)=0,t)simple(x);simple(y)ezplot(x,y,0,1.3);axis auto2.用 ode23、 ode45 等求解非刚性标准形式的一阶微分方程（组）的初值问题的数值解（近似解）例 4 求解微分方程初值问题 的数值解，求解范围为区2(0)1dyx间0,0.5.程序：fun=inline(-2*y+2*x2+2*x,x,y);4x,y=ode23(fun,0,0.5,1);plot(x,y,o-)例 5 求解微分方程 的解，并画出22 (1)0,()1,(0)d
9、ydyytt解的图形.分析：这是一个二阶非线性方程，我们可以通过变换，将二阶方程化为一阶方程组求解.令 ，则12,7dyxt121212,(0)7(),xxtd编写 M-文件 vdp.mfunction fy=vdp(t,x)fy=x(2);7*(1-x(1)2)*x(2)-x(1);end在 Matlab 命令窗口编写程序y0=1;0t,x=ode45(vdp,0,40,y0);或t,x=ode45(vdp,0,40,y0);y=x(:,1);dy=x(:,2);plot(t,y,t,dy)练习与思考：M-文件 vdp.m 改写成 inline 函数程序？3.用 Euler 折线法求解Eul
10、er 折线法求解的基本思想是将微分方程初值问题 0(,)dyfx化成一个代数(差分) 方程，主要步骤是用差商 替代微商 ，于是()(hyxdyx0()(,()kkkyxhfxy5记 从而 于是1,(),kkkxhyx1(),kkyxh01,0,12,(,).kknyfxy例 6 用 Euler 折线法求解微分方程初值问题 2(0)1dyx的数值解（步长 取 0.4） ，求解范围为区间0,2.h分析：本问题的差分方程为 01,0.4,12,().kkxyhnfx程序： clear f=sym(y+2*x/y2); a=0; b=2; h=0.4; n=(b-a)/h+1; x=0; y=1; s
11、zj=x,y;%数值解 for i=1:n-1y=y+h*subs(f,x,y,x,y);%subs，替换函数x=x+h;szj=szj;x,y;endszj plot(szj(:,1),szj(:,2)说明：替换函数 subs 例如：输入 subs(a+b,a,4) 意思就是把 a 用 4 替换掉，6返回 4+b，也可以替换多个变量，例如：subs(cos(a)+sin(b),a,b,sym(alpha),2)分别用字符 alpha 替换 a 和 2 替换 b，返回 cos(alpha)+sin(2)特别说明：本问题可进一步利用四阶 Runge-Kutta 法求解，Euler 折线法实际上就
12、是一阶 Runge-Kutta 法，Runge-Kutta 法的迭代公式为0112341213243(),(),6,)0,21(,),(.kkkkkyxhLLfxyknhLfxyLh 相应的 Matlab 程序为： clear f=sym(y+2*x/y2); a=0; b=2; h=0.4; n=(b-a)/h+1; x=0; y=1; szj=x,y;%数值解 for i=1:n-1l1=subs(f, x,y,x,y);替换函数l2=subs(f, x,y,x+h/2,y+l1*h/2);l3=subs(f, x,y,x+h/2,y+l2*h/2);l4=subs(f, x,y,x+h,
13、y+l3*h);y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;x=x+h;szj=szj;x,y;end7szj plot(szj(:,1),szj(:,2)练习与思考：(1)ode45 求解问题并比较差异.(2)利用 Matlab 求微分方程 的解.(4)(3)20yy(3)求解微分方程 的特解. ,1,()1(0)xy(4)利用 Matlab 求微分方程初值问题 的解.2 (1)|,|3xxy提醒：尽可能多的考虑解法三微分方程转换为一阶显式微分方程组Matlab 微分方程解算器只能求解标准形式的一阶显式微分方程（组）问题，因此在使用 ODE 解算器之前，我们需要做的第一步，也是最重要
14、的一步就是借助状态变量将微分方程（组）化成 Matlab 可接受的标准形式.当然，如果 ODEs由一个或多个高阶微分方程给出，则我们应先将它变换成一阶显式常微分方程组.下面我们以两个高阶微分方程组构成的 ODEs 为例介绍如何将它变换成一个一阶显式微分方程组.Step 1 将微分方程的最高阶变量移到等式左边，其它移到右边，并按阶次从低到高排列.形式为： ()(1)(1) ,mmnnxftxyyg Step 2 为每一阶微分式选择状态变量，最高阶除外 (1)123 (1),mnmmxxxyyy 注意：ODEs 中所有是因变量的最高阶次之和就是需要的状态变量的个数，最高阶的微分式不需要给它状态变量
15、.Step 3 根据选用的状态变量，写出所有状态变量的一阶微分表达式 1234123 123,(,)()mmnmmnnxxxftxgt 练习与思考：(1)求解微分方程组8* 3312()()2xxyrry其中 *22(),rxy21(),rx*,1/8.45,(0)1.2,x(0),y)0, .49357(2)求解隐式微分方程组 235xy提示：使用符号计算函数 solve 求 ，然后利用求解微分方程的方法,四偏微分方程解法Matlab 提供了两种方法解决 PDE 问题，一是使用 pdepe 函数，它可以求解一般的 PDEs,具有较大的通用性，但只支持命令形式调用；二是使用 PDE 工具箱，可
16、以求解特殊 PDE 问题，PDEtoll 有较大的局限性，比如只能求解二阶PDE 问题，并且不能解决片微分方程组，但是它提供了 GUI 界面，从复杂的编程中解脱出来，同时还可以通过 FileSave As 直接生成 M 代码.1.一般偏微分方程（组）的求解(1)Matlab 提供的 pdepe 函数，可以直接求解一般偏微分方程（组） ，它的调用格式为：sol=pdepe(m,pdefun,pdeic,pdebc,x,t)pdefun 是 PDE 的问题描述函数，它必须换成标准形式：(,)(,)(,)muuucxtxfxtsxtt这样，PDE 就可以编写入口函数：c,f,s=pdefun(x,t
17、,u,du)，m,x,t 对应于式中相关参数，du 是 u 的一阶导数，由给定的输入变量可表示出 c,f,s 这三个函数.pdebc 是 PDE 的边界条件描述函数，它必须化为形式： (,)(,).*(,)0upxtuqtfxt于是边值条件可以编写函数描述为：pa,qa,pb,qb=pdebc(x,t,u,du),其中 a 表示下边界，b 表示上边界.pdeic 是 PDE 的初值条件，必须化为形式： ，故可以使用函数0(,)uxt9描述为：u0=pdeic(x)sol 是一个三维数组，sol(:,:,i)表示 的解，换句话说， 对应 x(i)和 t(j)时iuku的解为 sol(i,j,k)
18、，通过 sol，我们可以使用 pdeval 函数直接计算某个点的函数值.(2)实例说明求解偏微分 21122210.4().7uFutx其中， 且满足初始条件 及边界条件5.731.46()xxFe12(,0)(,)0ux10,utx221,0(,),)tutt解：(1)对照给出的偏微分方程和 pdepe 函数求解的标准形式，原方程改写为 11 12220.4().*.7uuFuxt可见11220.4()10,.7uxmcfsFu%目标 PDE 函数function c,f,s=pdefun(x,t,u,du)c=1;1;f=0.024*du(1);0.17*du(2);temp=u(1)-u
19、(2);s=-1;1.*(exp(5.73*temp)-exp(-11.46*temp)end(2)边界条件改写为：下边界 上边界2010.*fu10.*0uf10%边界条件函数function pa,qa,pb,qb=pdebc(xa,ua,xb,ub,t)pa=0;ua(2);qa=1;0;pb=ub(1)-1;0;qb=0;1;end(3)初值条件改写为： 120u%初值条件函数function u0=pdeic(x)u0=1;0;end(4)编写主调函数clcx=0:0.05:1;t=0:0.05:2;m=0;sol=pdepe(m,pdefun,pdeic,pdebc,x,t);su
20、bplot(2,1,1) surf(x,t,sol(:,:,1)subplot(2,1,2) surf(x,t,sol(:,:,2)练习与思考： This example illustrates the straightforward formulation, computation, and plotting of the solution of a single PDE. 2()utxThis equation holds on an interval for times . The PDE satisfies the 010tinitial condition and boundary conditions(,0)sinux(,);(,)tutetx2.PDEtool 求解偏微分方程
