1、1习题精解9-1.在气垫导轨上质量为 m 的物体由两个轻弹簧分别固定在气垫导轨的两端，如图 9-1 所示，试证明物体 m 的左右运动为简谐振动，并求其振动周期。设弹簧的劲度系数为 k1和 k2.解：取物体在平衡位置为坐标原点，则物体在任意位置时受的力为12()Fkx根据牛顿第二定律有212()dmat化简得2120kdxt令 则 所以物体做简谐振动，其周期212km20dxt122mTk9-2 如图 9.2 所示在电场强度为 E 的匀强电场中，放置一电偶极矩 P=ql 的电偶极子，+q和-q 相距 l，且 l 不变。若有一外界扰动使这对电荷偏过一微小角度，扰动消息后，这对电荷会以垂直与电场并通
2、过 l 的中心点 o 的直线为轴来回摆动。试证明这种摆动是近似的简谐振动，并求其振动周期。设电荷的质量皆为 m，重力忽略不计。解 取逆时针的力矩方向为正方向，当电偶极子在如图 9.2 所示位置时，电偶极子所受力矩为sinsisin2llMqEqEl电偶极子对中心 O 点的转动惯量为 21llJmml由转动定律知 2sindMqElJlt化简得 2si0dtml当角度很小时有 ，若令 ，则上式变为sin02qEl22sin0dt所以电偶极子的微小摆动是简谐振动。而且其周期为2mlTqE9-3 汽车的质量一般支承在固定与轴承的若干根弹簧上，成为一倒置的弹簧振子。汽车为开动时，上下为自由振动的频率应
3、保持在 附近，与人的步行频率接近，才能使1.3vHz乘客没有不适之感。问汽车正常载重时，每根弹簧松弛状态下压缩了多少长度？解 汽车正常载重时的质量为 m，振子总劲度系数为 k，则振动的周期为 ，频2mTk率为 12kvT正常载重时弹簧的压缩量为 220.15()4mgTgxmkv9-4 一根质量为 m，长为 l 的均匀细棒，一端悬挂在水平轴 O 点，如图 9.3 所示。开始棒在平衡位置 OO， 处于平衡状态。将棒拉开微小角度后放手，棒将在重力矩作用下，绕 O 点在竖直平面内来回摆动。此装置时最简单的物理摆。若不计棒与轴的摩擦力和空气的阻力，棒将摆动不止。试证明摆角很小的情况下，细棒的摆动为简谐
4、振动，并求其振动周期。解 设在某一时刻，细棒偏离铅直线的角位移为 ，并规定细棒在平衡位置向右时 为正，在向左时为负，则力矩为 1sin2Mmgl负号表示力矩方向与角位移方向相反，细棒对 O 点转动惯量为 ,根据转动定律有213Jml21sin2dglJlt化简得23si0dtl当 很小时有 ，若令 则上式变为sin2gl2sin0dt3所以细棒的摆动为简谐振动，其周期为 23lTg9-5 一放置在水平光滑桌面上的弹簧振子，振幅 ，周期 ，当 t=0210Am0.5Ts时，（1）物体在正方向的端点；（2）物体在负方向的端点；(3) 物体在平衡位置，向负方向运动;(4）物体在平衡位置，向负方向运动
5、;(5)物体在 处向负方向运动21.0xm(6)物体在 处向正方向运动。求以上各种情况的振动方程。解 由题意知 2 12.,0.5,4ATss （1）由初始条件得初想为是 ,所以振动方程为12cos()xm（2）由初始条件得初想为是 ，所以振动方程为2210cs(4)(xt（3）由初始条件得初想为是 ，所以振动方程为32cos()(xtm（4）由初始条件得初想为是 ，所以振动方程为42310cs()(xt（5）因为 ，所以 ，取 （因为速度小于零） ，052cos.5A5,53所以振动方程为 210cos(4)(3xtm（6） ，所以 ，取 （因为速度大于零）206cos.5xA6,643，所
6、以振动方程为42410cos()(3xtm9-6 一质点沿 x 轴做简谐振动，振幅为 0.12m，周期为 2s，当 t=0 时，质点的位置在 0.06m处，且向 x 轴正方向运动，求；（1）质点振动的运动方程；（2）t=0.5s 时，质点的位置、速度、加速度；（3）质点 x=-0.06m 处，且向 x 轴负方向运动，在回到平衡位置所需最短的时间。解 （1）由题意可知： 可求得 （初速度为0020.1,cosAmxAT03零） ，所以质点的运动方程为 .cos3xt（2） 0.5120.5.1()txm任意时刻的速度为 .cos3vt所以 10.512cs0.50.9()tv ms任意时刻的加速
7、度为 2.cos3at所以 2 20.51cs0.51.0t ms（3）根据题意画旋转矢量图如图 9.4 所示。由图可知，质点在 x=-0.06m 处，且向 x 轴负方向运动，再回到平衡位置相位的变化为326所以 50.8ts9-7 一弹簧悬挂 0.01kg 砝码时伸长 8cm，现在这根弹簧下悬挂 0.025kg 的物体，使它作自由振动。请建立坐标系，分析对下述 3 种情况列出初始条件，求出振幅和初相位，最后建立振动方程。（1）开始时，使物体从平衡位置向下移动 4cm 后松手；（2）开始时，物体在平衡位置，给以向上的初速度，使其振动；5（3）把物体从平衡位置向下拉动 4cm 后，又给以向上 的
8、初速度，同时开始计时。12cms解 （1）取物体处在平衡位置为坐标原点，向下为 x 轴正方向，建立如图 9.5 所示坐标系。系统振动的圆频率为 110.1.8725mgxkgs根据题意，初始条件为 014xcvs振幅 ，初相位20Axcm10振动方程为 4os7()t（2）根据题意，初始条件为 012xcmvs振幅 ，初相位203Axc2振动方程为 os(7)tm（3）根据题意，初始条件为 0142xcvs振幅 ， ，得205Axcm03tan.75vx30.64振动方程为 os(7.64)(t9-8 质量为 0.1kg 的物体，以振幅 做简谐振动，其最大加速度为21.0Am，求：（1）振动周
9、期；（2）通过平衡位置时的动能；（3）总能量。4.0ms解 （1）简谐振动的物体的最大加速度为62maxA，所以周期为 。1ax24.01sA 20.314Ts（2）做简谐振动的物体通过平衡位置时具有最大速度 maxvA所以动能为 222 3ax110.101kE J（3）总能量为3kEJ总9-9 弹簧振子在光滑的水平上面上做振幅为 的简谐振动，如图 9.6 所示，物体的质量为0AM，弹簧的劲度系数为 k，当物体到达平衡位置且向负方向运动时，一质量为 m 的小泥团以速度 从右打来，并粘附于物体之上，若以此时刻作为起始时刻，求：v（1）系统振动的圆频率；（2）按图示坐标列出初始条件；（3）写出振
10、动方程；解 （1）小泥团粘附于物体之后与物体一起做简谐振动，总质量为 M+m，弹簧的劲度系数为 k，所以系统振动的圆频率为kMm（2）小泥团粘附于物体之上后动量守恒，所以有 0vv0按图 9.6 所示坐标初始条件为0xMvm（3）根据初始条件，系统振动的初相位为 ；假设，系统的振动振幅为 A，根据能量2守恒，有 222011()vmkAM其中 220Mv故得70()kmvMA振动方程为 0cos2()kvkxtmm9-10 有一个弹簧振子，振幅 ，周期 T=1s，初相位 ， （1）写出它的21A34振动方程；（2）利用旋转矢量图，作 x-t 图。解 （1）由题意可知， ，所以弹簧振子的振动方程
11、为T2310cos4xtm（2）利用旋转矢量图做 x-t 图如图 9.7 所示9-11 一物体做简谐振动， （1）当它的位置在振幅一半处时，试利用旋转矢量计算它的相位可能为哪几个值？做出这些旋转矢量；（2）谐振子在这些位置时，其动能。势能各占总能量的百分比是多少？解 （1）根据题意做旋转矢量如图 9.8 所示。由图 9.8 可知，当它的位置在振幅的一半时，它的可能相位是 2,3（2）物体做简谐振动时的总能量为 ，在任意位置时的时能为 ，所21WkA21pWkx以当它的位置在振幅的一半时的势能为 ，势能占总能量的百分比2218pkA为 25%，动能占总能量的百分比为 75%。9-12 手持一块平
12、板，平板上放以质量为 0.5kg 的砝码，现使平板在竖直方向上下振动，设该振动是简谐振动，频率为 2Hz，振幅是 0.04m,问：（1） 位移最大时，砝码对平板的正压力多大？（2）以多大的振幅振动时，会使砝码脱离平板？(3) 如果振动频率加快一倍则砝码随板保持一起振动的振幅上限是多大？解 （1）由题意可知， 。因为物体在作简谐振动，物体在最124,0.4vsAm大位移时加速度大小 22max.6根据牛顿第二定律有 1max2Ng8解得 （最低位置） ， (最高位置)18.06N21.74N（2）当 ，即时 会使砝码脱离平板。maxgA06m（3）频率增大一倍，把 代入 得1 2ax1gA2.5
13、49-13 有两个完全相同的弹簧振子 A 和 B，并排地放在光滑的水平面上，测得它们的周期都是 2s。现将两个物体从平衡位置向右拉开 5cm，然后先释放 A 振子，经过 0.5s 后，再释放B 振子，如图 9.9 所示，若以 B 振子释放的瞬间作为时间的起点，（1）分别写出两个物体的振动方程；（2）它们的相位差为多少？分别画出它们的 x-t 图。解 （1）由题可知，两物体做简谐振动的圆频率为 ，若以 B 振子释放的瞬时2T作为时间的起点，则 B 物体振动的初相位是 ，振动方程应为0B5cos()xtm由于 A 物体先释放 0.5s 时的时间，所以相位超前 B 物体 ，所以 A 物体0.52T振
14、动的初相位是 ，振动方程应为2A5cos2Axtcm（2）它们的相位差为 作 A,B 两物体的振动曲线如图 9.10 所示。9-14 一质点同时参与两个方向、同频率的简谐振动，它们的振动方程分别为 126cos83xtcm试 用旋转矢量求出合振动方程。解 作旋转矢量如图 9.11 所示。由平面几何关系可知 21206tan.758Acm合振动的初相位是90.43所以合振动的振动方程为 1cos2.xtcm9-15 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅为 0.2，合振动的相位于第一个振动的相位之差为 ，若第一个振动的振幅为 0.173m，求第二个振动的振幅，第一、第二6两振动的相位差。
15、解 做旋转矢量如图 9.12 所示。由平面几何关系可知 211cos0.6AAm假设 和 的夹角为，则由平面几何可知1A22112cos把已知数代入解得 ，9-16 质量为 0.4kg 的质点同时参与互相垂直的两个振动：0.8cos,0.6cos33xtyt式中 x,y 以 m 计，t 以 s 计。（1） 求运动轨迹方程；（2） 质点在任一位置所受的力。解 （1）由振动方程消去时间因子得轨迹方程为 2210.8.6xy（2） 质点在任意时刻的加速度为 2 22.cos0.6cos333dxyaijtitjtt质点在任一位置所受的力为2 233cs4cs106FmtitjN 9-17 质点参与两个方向互相垂直的、同相位、同频率的简谐振动；（1）证明质点的合振动时简谐振动；（2）求合振动的振幅和频率。解 （1）根据题意，假设两个分振动的振动方程分别为10cosxyAt合成的轨迹是直线 ，在任意时刻质点离开平衡位置的距离为xy 22cosxyyAt所以质点的合振动是简谐振动。（3） 合振动的振幅为 ，圆频率为 .2xyA
