1、第三篇 三角函数、解三角形第 1 讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数最新考纲1了解任意角的概念；了解弧度制的概念2能进行弧度与角度的互化3理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.知 识 梳 理1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类Error!(3)终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合S|k360 ，kZ 2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角弧度记作 rad.(2)公式：角 的弧度数公式 | (弧长用 l 表示)lr角度与弧度的换算 1 ra
2、d 1 rad 180 (180)弧长公式 弧长 l| |r扇形面积公式 S lr |r212 123.任意角的三角函数三角函数 正弦 余弦 正切设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y )，那么定义 y 叫做 的正弦，记作 sin x 叫做 的余弦，记作 cos 叫做 的正切，记作 tan yx 各象限符号 口诀 全正，正弦，正切，余弦续表三角函数线有向线段 MP 为正弦线有向线段 OM 为余弦线 有向线段 AT 为正切线辨 析 感 悟1对角的概念的认识(1)小于 90的角是锐角()(2)锐角是第一象限角，反之亦然()(3)将表的分针拨快 5 分钟，则分针转过的角度是 30.()
3、(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等()2任意角的三角函数定义的理解(5)(教材练习改编)已知角 的终边经过点 P(1,2) ，则 sin .2 12 22 255()(6)(2013济南模拟改编)点 P(tan ，cos )在第三象限，则角 的终边在第二象限()(7)(2011新课标全国卷改编 )已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y2x 上，则 cos .55()感悟提升1一个区别 “小于 90的角” 、“锐角” 、“第一象限的角”的区别如下：小于 90的角的范 围： ，锐角的范围： ，第一象限角的范围：( ，2) (0，2)(kZ)所以 说小于
4、 90的角不一定是 锐角， 锐角是第一象限角，反(2k，2k 2)之不成立如(1)、(2)2三个防范 一是注意角的正负，特 别是表的指针所成的角，如 (3)；二是防止角度制与弧度制在同一式子中出现；三是如果角 的终边落在直线上时，所求三角函数值有可能有两解，如(7).考点一 象限角与三角函数值的符号判断【例 1】 (1)若 sin tan 0，且 0，则角 是( ) cos tan A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角(2)sin 2cos 3tan 4 的值( )A小于 0 B大于0C等于 0 D不存在解析 (1)由 sin tan 0 可知 sin ，tan 异号，从而 为
5、第二或第三象限的角，由 0，可知 cos ，tan 异号 从而 为第三或第四象限角 综上， 为第三cos tan 象限角(2)sin 20，cos 30，tan 40，sin 2cos 3tan 40.答案 (1)C (2)A规律方法 熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键，对于已知三角函数式符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定各三角函数值的符号，再判断角所在象限【训练 1】 设 是第三象限角，且 cos ，则 是|cos 2| 2 2( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析 由 是第三象限角，知 为第二或第四象限角，2 cos ，cos 0，知 为第二象限角
6、|cos 2| 2 2 2答案 B考点二 三角函数定义的应用【例 2】 已知角 的终边经过点 P( ，m)(m0)且 sin m，试判断角 324所在的象限，并求 cos 和 tan 的值解 由题意得，r ，sin m.3 m2m3 m2 24m0，m .故角 是第二或第三象限角5当 m 时，r2 ，点 P 的坐标为( ， )，角 是第二象限角，5 2 3 5cos ，tan .xr 322 64 yx 5 3 153当 m 时，r2 ，点 P 的坐标为( ， )，角 是第三象限角5 2 3 5cos ，tan .xr 322 64 yx 5 3 153综上可知，cos ， tan 或 cos
7、 ，tan .64 153 64 153规律方法 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标 x、纵坐标 y、该点到原点的距离 r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)【训练 2】 已知角 的终边在直线 y3x 上，求 10sin 的值3cos 解 设角 终边上任一点为 P(k，3k )，则 r |k|.k2 3k2 10当 k0 时， r k，10sin ， ， 3k10k 310 1cos 10kk 1010sin 3 3 0；3cos 10 10当 k0 时， r k，10sin ， 3k
8、 10k 310 ，1cos 10kk 1010sin 3 3 0.3cos 10 10综上，10sin 0.3cos 考点三 扇形弧长、面积公式的应用【例 3】 已知一扇形的圆心角为 (0)，所在圆的半径为 R.(1)若 60，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值 C(C0)，当 为多少弧度时，该扇形有最大面积？审题路线 (1)角度化为弧度求扇形的弧长S 弓 S 扇 S 分别求 S 扇 lr，S r2sin 计算得 S 弓12 12(2)由周长 C 与半径 R 的关系确定 R 与 的关系式 代入扇形面积公式确定 S扇 与 的关系式 求解最 值解 (1)
9、设弧长为 l，弓形面积为 S 弓 ，则60 ，R10，l 10 (cm)，3 3 103S 弓 S 扇 S 10 102sin 12 103 12 3 50 (cm2)503 5032 (3 32)(2)法一 扇形周长 C2Rl2RR，R ，C2 S 扇 R2 212 12 ( C2 ) .C22 14 4 2 C22 14 4 C216当且仅当 2 4，即 2 rad 时，扇形面积有最大值 .C216法二 由已知，得 l2RC，S 扇 lR (C2R) R (2R 2RC)12 12 12 2 .(R C4) C216故当 R ，l2R，2 rad 时，这个扇形的面积最大，最大值为 .C4
10、C216规律方法 (1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷(2)求扇形面积 的最值应从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于 的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.学生用书第 50 页【训练 3】 (1)一个半径为 r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长为 20 cm；当扇形的圆心角 等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解 (1)设扇形的圆心角为 rad，则扇形的周长是 2rr.依题意：2rrr，(2)rad.扇形的面积 S r2 (2)r 2.12 12(2)设扇形的半径为 r，弧长为
11、l，则 l2r 20，即 l202r(0r10)扇形的面积 S lr (202r)r12 12r 210r (r5) 225.当 r5 cm 时，S 有最大值 25 cm2，此时 l10 cm， 2 rad.lr因此，当 2 rad 时，扇形的面积取最大值1在利用三角函数定义时，点 P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点| OP|r 一定是正值2三角函数符号是重点，也是难点， 在理解的基础 上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦3在解简单的三角不等式时，利用 单位圆及三角函数线是一个小技巧创新突破 4以任意角为背景的应用问题【典例】 (2012山东卷)如图，在平面直角坐标系
12、 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1) ，此时圆上一点 P 的位置在(0,0) ，圆在 x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1) 时， 的坐标为_OP 突破 1：理解点 P 转动的弧长是解题的关键，在单位圆中可寻找直角三角形突破 2：在直角三角形中利用三角函数定义求边长突破 3：由几何图形建立 P 点坐标与边长的关系解析 如图，作 CQx 轴，PQCQ, Q 为垂足根据题意得劣弧 2，故 DCP2，则在PCQ 中，PCQ 2 ，|CQ|cos sin 2，2 (2 2)|PQ|sin cos 2，(2 2)所以 P 点的横坐标为 2|CQ| 2sin 2，P 点的纵 坐标为
13、 1| PQ|1cos 2，所以 P 点的坐标为(2 sin 2,1cos 2)，故 (2sin 2,1cos 2)OP 答案 (2 sin 2,1cos 2)反思感悟 (1)解决此类问题时应抓住在旋转过程中角的变化，结合弧长公式、解三角形等知识来解决(2)常见实际应 用问题有：表针的旋转问题、儿童游乐场的摩天轮的旋转问题等【自主体验】已知圆 O：x 2y 24 与 y 轴正半轴的交点为 M，点 M 沿圆 O 顺时针运动 弧长2到达点 N，以 ON 为终边的角记为 ，则 tan ( )A1 B1 C2 D2解析 圆的半径为 2， 的弧长对应的圆心角为 ，故以 ON 为终边的角为2 4，故 ta
14、n 1.| 2k 4，kZ答案 B基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1若 sin 0 且 tan 0，则 是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角解析 sin 0，则 的 终边落在第三、四象限或 y 轴的负半轴；又 tan 0，在第一象限或第三象限，故 在第三象限答案 C2(2014汕头一中质检 )一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A. B. C. D.3 23 3 2解析 设圆的半径为 R，由 题意可知， 圆内接正三角形的边长为 R，圆弧长为3R.该圆弧所对圆心角的弧度数为 .33RR 3答案 C3点 P 从(1,0) 出发，沿单位圆 x2y 21 按逆时针方向运动 弧长到达 Q 点，23则 Q 的坐标为( ) A. B. C. D.( 12，32) ( 32， 12) ( 12， 32) ( 32，12)解析 由弧长公式得，P 点逆 时针转过的角度 ，所以 Q 点的坐标为23，即 .(cos23，sin23) ( 12，32)答案 A
