1、1高二年级 10 月月考错题整理王涛老师 15800711683【平面向量易错题】 易错点 1：向量的有关概念理解不透【易错点】对向量与有向线段、向量的模与夹角、平行向量（共线向量） 、相等向量、相反向量、单位向量、零向量等概念理解不透，做题考虑不全面，从而出错。【学法指导】回顾课本或笔记，把这些概念进行细读，理解性记忆，然后自己做题检验一下。1、下列命题正确的有_(2)(4)_.（1）若 ，则 所在的直线重合. ba,（2）若 ，则 .0(3）若 ，则 .ba,/(4) ,则 。/(5)若 ，则。cba/ca/解析: （1） 所在的直线重合或者平行， （5） 时，不满足，零向量方向是任意的.
2、, 0b2、给出下列六个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若 ，则 ；|ab若 ，则四边形 ABCD 是平行四边形；ABDC平行四边形 ABCD 中，一定有 ；ABDC若 ， ，则 ；mnk若 ，则bca ,.ca正确的是_解析：把一个向量平移后向量是不变的，A,B,C,D 有可能在一条直线上， 可能是零向量b3、判断下列各命题的真假：（1）向量 的长度与向量 的长度相等；ABA2（2）向量 与向量 平行，则 与 的方向一定相同或相反；abab（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）向量 和向量 是共线向量，则点 A、
3、B、C、D 必在同一条直线上；ABCD（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为（ C ）A、2 个 B、3 个 C、 4 个 D、5 个解：假命题是（2） （4） （5） （6）;（2）向量 与向量 有一个为零向量，ab4、已知 ， ， 是三个非零向量，则下列等价推出关系成立的个数是（ B ）abc ； ；2| cba ； 。|bab/|A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个解 可以推出 ，但 只能推出 ， ， 的方向不一定相同，所以 中等价推出关系ba22|a不成立。设 ， 的夹角为 ， ， 的夹角为 ， ，当 ，c1bc2 21cos|cos| bcb |ba时
4、，则 ；反之，由 也推不出 。所以中等价推出关系不成立。21|a |aa当 时，将向量 ， 的起点确定在同一点，则以向量 ， 为邻边作平行四边形，则该平行四边形为b矩形，于是它的两条对角线长相等，即 。反之，若 ，则以 ， 为邻边的四边形为|b|bab矩形，即 。所以中等价推出关系成立。a设 ， 的夹角为 ， ，则 或 。所以bcos|ab 01|cos| a /中等价推出关系成立。故应选择 B。易错点 2：向量的夹角不能正确找出【易错点】没有理解向量夹角的概念，夹角指的是两个箭头所指的角，且向量夹角范围是 。,0【学法指导】回归课本，重视概念的学习，将这类错题整理出来，搞懂后还要经常复习。1
5、在 中, ,则 的值为 ( )ABC60,85baCABA 20 B C D 23230错误认为 ,从而出错.,选3略解: 由题意可知 ,故 = .120,CABCAB 20185,cosCAB2在 中， ， ，有 ，则 的形状是 （D）ab0aA、 锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定错解：C错因：忽视 中 与 的夹角是 的补角0bAB正解：D3正三角形 ABC 的边长为 1，设 ，那么 的值是 ,bCacacba（ ）A、 B、 C、 D、32212321正确答案：(B)错误原因：不认真审题，且对向量的数量积及两个向量的夹角的定义模糊不清。易错点 3：不能正确理解向量的
6、夹角与数量积的关系【易错点】对向量数量积公式没有理解，尤其是不能理解向量夹角与数量积的关系。【学法指导】回归课本，理解数量积公式的含义，做好错题笔记，经常复习。1若向量 = ， = ，且 ， 的夹角为钝角，则 的取值范围是_.ax2,b2,3xabx错误分析：只由 的夹角为钝角得到 而忽视了 不是 夹角为钝角的充要条件,因为 的, ,00baba,夹角为 时也有 从而扩大 的范围,导致错误.180,0bax正确解法: ， 的夹角为钝角, xba23 0432x解得 或 (1)0x34又由 共线且反向可得 (2)ba, 1x由(1),(2)得 的范围是x3, ,340,答案: 31, ,40,2
7、、设平面向量 ，若 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是 （ A ）a)(1,),2(Rb， ab4A、 B、 （2，+ C、 （ D、 （-），（），（ 21） ）， 21）， 213、已知向量 ， ，若 与 的夹角是钝角，求实数 的取值范围。),(a)3,(kbabk解 若 与 的夹角是钝角，则 ，故 。b02cos23k若 时， ，解方程，得 ，故 且 。a)0(6k6说明 两个向量 ， 夹角为 ，当 时，含 ， 夹角为 的情况，需要排除这种情况。这一点容易被忽b0cosab略，要特别注意。易错点 4：未理解两向量平行的充要条件【易错点】没有理解两向量平行的充要条件，即外项积等于内向积，不
8、能转化为分式形式。【学法指导】上课认真听讲，注意公式和结论的推导过程，自己一定要理解推导一遍，同时要注意错题的整理与及时复习。1、设向量 ，则 是 的（ ）条件。),(),(21yxbyxa21yxba/A、充要 B、必要不充分 C、充分不必要 D、既不充分也不必要误解： ，反之，也成立。 选 Aba/0121yx21yx误解分析： ，未考虑分母为 0 时，此式是否成立。22正解：C若 则 ，若 ，有可能 或 为 0，故选 C。21yxbayx/,012/2xy2、非零向量 ， ， 是 的（ A ）ab|/A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件易错点 5
9、：不知定比分点公式如何使用【易错点】定比分点公式记得不熟，也没有理解公式的使用条件。【学法指导】记住公式的条件和结论，自己推导一遍，然后整理在笔记本上，如果不会推导的话要及时问老师。51、已知 ， 123P（1）若 ，则 _； 12（2）若 ，则 _。 图 8-1 所示 解 根据题意，点 在线段 的延长线上，画出示意P12图，如图 8-1 所示。从图 8-1 中可知， （1） ；（2）1。123P说明 解定比分点问题，根据条件画出图形能使问题很快得以解决。2、已知 的顶点 ， ， ，在边 上求一点 ，使 。ABC)2,1()3,(B)1,4(CADABCABS31解 把 、 看作底边，此时两个
10、三角形的高都是 到 的距离，即高相等，所以只要 即可。DBCD设点 的坐标为 ，当 时， ，则),(yx13AD12，21421)(所以，点 的坐标为 。D),3(说明 也可以把 看作公共底边， 、 作顶点， 到 的距离是 到 的距离的 ，即 。ABCDABCAB31ADC易错点 6：未注意向量的坐标的定义【易错点】审题不够仔细，没有注意到向量坐标的定义，从而导致没有解题思路。【学法指导】平时要养成认真审题的好习惯，审题时可以把重要数据和关键词划出来以帮助自己分析问题，同时要进行错题整理，总结错误的原因。61、 （普陀区 2011 年 4 月高三数学二模文 21）已知坐标平面内的一组基向量为
11、， ，其中1,sinex20,cosex，且向量 .0,2x123ae（1）当 和 都为单位向量时，求 ；1ea（2）若向量 和向量 共线，求向量 和 的夹角 .a1,2b1e2错解：由于当 和 都为单位向量时， ，所以1e2 3(,)a22131a错因：没有正确理解向量坐标的定义，把 和 当成 和 。1e2ij正解：(1)由题意，当 时， ，此时 ， 都为单位向量.故0xsin0,cosx1,0e2,1e，所以 .123,ae1a(2) 由条件 123,sincos2ex因为向量 和向量 共线，所以a,b1i0x，因为 ，所以 .13sincos1in023xx ,2x6x于是 ， ，设向量
12、 和 的夹角为1,e20,e1e2则 ，即向量 和 的夹角为 .12cose354= 1e25arcos2、已知向量 向量 与向量 的夹角为 ，且 。1,mnm341mn（1）求向量 ； n7（2）若向量 与 共线，向量 ， 其中 、 、 为 的内角，n(1,0)q2cos,CpABCA且 、 、 依次成等差数列，求 的取值范围ABCn解：（1）设 .由 ，得 (,)xym1xy又向量 与向量 的夹角为 ，得 n342由、解得 或 ， 或 .10y(,0)n(,1)（2）向量 与 共线知 ；n(,)q(,)由 知 .BAC22,0333ACA，21cos,cos,np221s2C.141cos
13、co33AA，250, ,s23A得 ，即 ， 1cos4215,4np25,np易错点 7：未能及时正确的进行分类讨论【易错点】一是对题意理解不全面，没有及时进行分类讨论；二是对化简后的式子没有进行参数讨论。【学法指导】培养自己认真审题的习惯，一定不要漏解或多解；复习一下含参专题。1已知向量 ,且 求2sin,co,23sin,coxbxa ,20(1) 及 ;b(2)若 的最小值是 ,求实数 的值.baxf223错误分析:(1)求出 = 后,而不知进一步化为 ,人为增加难度;xcosxcos2(2)化为关于 的二次函数在 的最值问题,不知对对称轴方程讨论.10答案: (1)易求 , = ;
14、ba2sbas28(2) = =baxf2xxcos2cos1cos42x= 1cos22,0x,0x从而:当 时, 与题意矛盾, 不合题意 ;minf 0当 时, ;121,312i 当 时, 解得 ,不满足 ;,4minxf 85综合可得: 实数 的值为 .212、在 中,已知 ,且 的一个内角为直角,求实数 的值.ABCkAC1,32ABCk错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角 ,而忽视对诸情况的讨论.答案: (1)若 即,90,B故 ,从而 解得 ;ACB,032k32(2)若 即 ,也就是 ,而 故,90AC0A,31kABC,解得 ;31k21k(3)若 即 ,也就是 而
15、 ,故 ,解得,90ABCB,03,1k032k.31k综合上面讨论可知, 或 或32k13.k易错点 8：未正确理解题意，或找不到解题思路【易错点】对新类型的题目没有抓住它的考点，从而不能正确理解题意，找不到解题思路。【学法指导】整理错题，然后认真审题，找出题目的考点，然后回归考点的定义，再从定义出发进行分析，慢慢培9养自己好的解题习惯。1已知向量 M= =(1,2)+(3,4) R， N= =(-2,2)+ (4,5) R ，则 MN=（ ）aaA （1，2） B C D )2,(,1)2,(正确答案：C 错因：学生看不懂题意，对题意理解错误。2已知 是关于 x 的一元二次方程，其中 是非
16、零向量，且向量 不共线，则该方程 02cxba cba, ba和（ ）A、至少有一根 B、至多有一根C、有两个不等的根 D、有无数个互不相同的根正确答案：(B)错误原因：找不到解题思路。3 O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 ,则 P)0),|(ACBO的轨迹一定通过ABC 的( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心正确答案：B。错误原因：对 理解不够。不清楚 与BAC 的角平分线有关。),0),|(ACBOP |AB|C4已知向量 则向量 的夹角范围是（ ）(2,0)(,2)(cos,2in)a ,OA、/12，5/12 B、0，/4 C、/
17、4，5/12 D、 5/12，/2 正确答案：A错因：不注意数形结合在解题中的应用。易错点 9：向量法证明比较陌生，找不到证明思路【易错点】对向量比较证明题陌生，导致没有解题思路，无从下手。【学法指导】认真听老师讲解证明过程，一定要搞懂。然后整理错题，自己推导一下，记住一些常用的证明方法。1、已知三点 互不重合，且满足 ，求证 三点共线的充要条件是 。,ABCOCmAnB,C1mn证明：必要性 三点共线，且 互不重合；,OABC10/ABC即存在 ，使 。0ABO。()1)OAB又 与 不平行，与 是 所在平面上所有向量的一组基向量，O,C又 ，根据平面分解定理，有mAnB， ， 所以必要条件成立。1n1充分性 ，又 ，OCAB。(1),mO若 ，则 ， 与 重合，这与 互不重合矛盾，0CB,ABC所以 ，m，又 与 起点相同，/BCA三点共线，,所以充分条件成立。点评：“ 三点满足 ，则 共线的充要条件是 ”可作为结论加以应用。,ABOmAnB,C1mn2、用向量知识证明：已知 ，则 （当且仅当 时，等号12,xyR222112()()xyxy121xy成立）证明：设 ，由向量数量积的定义，有 ，于是12(,)(,)ayb |cosab（当且仅当 时，等号成立）|cos|a/，即22121|xyxy
