1、 1 高等代数(上)：学习笔记这是我自学的笔记做成的电子档，其中有许多注释，尽量深入浅出，以供大家学习。有些笔误也修正差不多了。课本和王德明老师的符号略有不同，但意思是一样的，祝大家都能通过考试。第一章 行列式1.1 定义=|2 31 4|=24-31=5 =2 31 4(2 31 4)这是行列式（或写为|D|） 这是矩阵，注意区别这是三元线性方程组111+122+133=1211+222+233=2311+322+333=3=|111213212223313233| =112233+122331+132132 -1123321221331322311.2 逆序数(1,2, ,)1.3 n 阶
2、行列式的代数和=|111212122212|= (1,2, ,)(-1)(1,2, ,)11221.4 行列式性质1、行列式转置值不变： =2、k 可以乘上某行(列) ： 3、加法：某行之和 展开为两行列式之和： (+)=()+()4、互换两行( 列)：负号 =-5、两行相同( 成比例)：零值 =03 阶行列式 右下斜线为正左下斜线为负代数和n 阶排列，有 n!个逆序数 偶排列，正号奇排列，负号判断逆序数的奇偶性n 阶排列 2 6、某行乘以 k 加到另一行：值不变 += 3 1.5 代数余子式=(-1)+|=11+22+ (=1, 2, , )即展开第 行 (列 )1.6 范德蒙行列式|=|1
3、 1 1 11 2 3 21 22 23 2 -11 -12 -13 -1|= 1j如：(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1)(2-1)只有当常数项 b 不全为零时，且 s=n 时才可用克莱姆法则系数行列式 (b 在 1 列)该解法适用于 n 阶n 维基本向量组n 阶行列式 4 2.5 线性相关=11+22+线 性相关 充要 有解 充要 可 线 性表出 充要 系数矩 阵 =增广矩 阵 向量 组 等价： (1,2,)互相 线 性表出 (1,2,)11+22+=0 线性相关 线性无关K 有解，且不全 0 K 只有零解 0 0 0(半)负定矩阵： 全 ()0标准形矩阵： 对 角 线 1
4、0附 2：一般 n 维线性方程组、 sn 维矩阵、n 维向量组的表示法(1,2,)=111+122+1=1211+222+2=211+22+=11121212221212=12=11+22+1=(11,21,1)2=(12,22,2)=(1,2,)=(1,2,)Rank 即矩阵的秩b 即系数左下：对角线左三角形对角线上的元素 即特征值注：s 为行数，n 为列数(未知数个数)附：有的书行数用 m 表示注：这个 既可理解为：基础解系 的系数 也可以理解为：矩阵对角化后对角线的元素 1还可以理解为：二次型 的特征值 (同上句)| 1附：本书中用拉丁字母表示向量(或称矢量，但王老师或某书中用“ ”表示
5、，我认为不错，不易混淆。注： 全为 0 时，称齐次线性方程组不全为 0 时，称非齐次线性方程组 6 7 3.1 矩阵运算1、加( 减 )法： 性质：交换律： =结合律： +(+)=(+)+2、乘法：=性质：（当 ，称可交换）不一定 = =结合律： ()=()k 次幂： =+ ()=非交换律： ()3.2 分块 分块后矩阵的基本运算依然等价=1 23 41 23 4=11+23 12+2431+43 32+443.3 逆矩阵伴随矩阵：*=112111222212求逆公式： -1=1|*3.4 等价矩阵等价矩阵： 初等 变换初等矩阵： 由 做 1次初等 变换标准形：同时做行、列变换，对角线为 1
6、的个数r用单位矩阵求逆： 行 变换-1各个元素对应相加（减） ，即 a注：A 的|row|=B 的|column|例：=1 2 32 1 10 2 4 2 1 1 0 2 1 1 0 2=5 5 55 0 54 4 12 0 1 + + 51、求 aij 的代数余子式 Aij2、对应的元素要转置=11+22+附：这是一个求逆的简便方法，但易出错，3 阶矩阵建议用求逆公式。详见书 P183 页 AB 8 3.5 正交矩阵性质: = |=1(,)=11+22+=0内积性质：正交化： 1=12=2(2,1)(1,1)13=3(2,1)(1,1)1(3,2)(2,2)2=(2,1)(1,1)1(3,2
7、)(2,2)2(,1)(1,1)1施密特正交化方法单位化：=|第四章 矩阵的对角化4.1 相似矩阵1、反身性： 2、对称性： 3、传递性： , 4、行列式等值： |=|5、同时可逆 or 不可逆6、 1+2=1(1+2)7、 12=1(12)8、 1=1(1)向量组的内积 内积公式又称正交向量组，一定线性无关, 1, 2, 线 性无关，求正交化的 1, 2, 的公式详见书 P219 页 例 1注： |=(1,1)正交向量组=111、有相同的特征多项式12、有相同的特征值13、有相同的迹（即对角线元素个数）正交单位向量组这里我设 ，数学中并没有明确规定符号=(1,2,)附：由于向量通常是指列向量
8、，如把 改 更易理解，谨记！ 例：12 12 22 012 12 22 012 12 0 2212 12 0 22任意两行或列的内积必为 0（又称归一化）（ =)，且有矩形2=22 0222，且有矩形3=33 0333321=1 232303231附：正交化向量 关系 图分配律： (+)=(,)+(,)结合律： (,)=(,)交换律： = 9 9、 ()=1()10、 =1()对角矩阵： 1, 2, 3, , 准对角矩阵： 1, 2, 3, , 注：这里的 Ai 是指分块矩阵，不是代数余子式 10 4.2 特征值和特征向量=0求全部特征向量的步骤：第一步：列出特证多项式特证值 (根 )特征矩阵
9、 特征多项式 ()=|=|11 12 12122 212|=(11)(22)(3)第二步：求 的解 注：考虑是在 Q、R、C 数域范围内，特征根的个数不同第三步：求基础解系 将 代入 ，求基础解系 见2.7 第五步 |第四步：答：得特征向量4.3 对角化条件=1 4.4 实对称矩的对角化求正交矩阵 T 的步骤第一步：求特征值 即 ，求 见4.2| 第二步：求 的特征向量 代 ，求基础解系 见2.7 第五步1 1 | 1第三步：求特征向量 的正交化 见3.51 1,2,第四步：求单位化 见3.51,2,第五步：重复第二、三、四步，with 2,3,n 阶矩阵 特征值 特征向量特证值(根) 特征矩阵特征多项式属于 的特证向量：1 11+22+属于 的特证向量：2 11+22+详见书 P241 页 例 1等价于基础解系，只是表示方法略不同A 与对角矩阵相似，称 A 对角化一定是对角形矩阵充要：有 n 个线性无关的特征向量充要：有 n 个线性无关的特征向量，即 n 个不同的特特征值X 即 A 的特征向量构成的矩阵任何实对称矩阵都可以对角化详见书 P257 页 例 1是系数条件即注：X，即 A 的特征向量构成的矩阵，X 不是唯一的。
