1、包哥数学 百度文库 笑傲高数=兴趣+ 正确的学习方法【包哥数学】抽象函数专题抽象函数简介抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。抽象函数一些模型根据抽象函数的一些性质，联想到所学的基本初等函数模型，将抽象具体化，有助于分析问题。抽象函数 f(x)具有的性质 联想到的函数模型f(x1+x2)=f(x1)+f(x2);f(x1-x2)=f(x1)-f(x2)正比例函数模型：f(x)=kx (k 0)f(x1+x2)=f(x1)f(x2);f(x1-x2)=f(x1)f
2、(x2)指数函数模型：f(x)= (a0 且 a 1)f(x1x2)=f(x1)+f(x2);f(x1x2)=f(x1)-f(x2);(x1,x2R +)对数函数模型：f(x)= (a0 且 a 1)log例题：例 1：f (x)在 R+上是增函数，且 f (x)=f ( )+f (y),若 f (3)=1,f (x)f ( )2，求 x 的范yx51x围 。 例 2：设函数 f(x)的定义域为 R，对于任意实数 m、n，总有 f(m+n)=f(m)f(n)，且 x0 时，01;（2）证明：f(x)在 R 上单调递减；（3）设 A=(x,y)f (x 2)f(y2)f(1),B=(x,y)f
3、(ax-y+2)=1,aR ，若 AB=，确定 a 的范围。抽象函数的对称性（中心对称、轴对称）和周期性先深刻理解奇函数，偶函数概念方法：用哪个数代替 x包哥数学 百度文库 笑傲高数=兴趣+ 正确的学习方法一、 抽象函数的对称性定理 1. 若函数 y=f (x) 定义域为 R，且满足条件：f (a+x)=f (bx) ，则函数 y=f (x) 的图象关于直线 x= 2ab对称。推论 1. 若函数 y=f (x) 定义域为 R，且满足条件：f (a+x)=f (ax) （或 f (2ax)= f (x) ),则函数 y=f (x) 的图像关于直线 x= a 对称。推论 2. 若函数 y=f (x
4、) 定义域为 R，且满足条件：f (a+x)=f (ax)， 又若方程 f (x)=0 有 n个根，则此 n 个根的和为 na 。定理 2. 若函数 y=f (x) 定义域为 R，且满足条件：f (a+x)+f (bx)=c， （a,b,c 为常数） ，则函数 y=f (x) 的图象关于点(,)2abc对称。推论 1.若函数 y=f (x) 定义域为 R，且满足条件：f (a+x)+f (ax)=0， （a 为常数） ，则函数y=f (x) 的图象关于点（ a ，0）对称。了解定理 3.若函数 y=f (x) 定义域为 R，则函数 y=f (a+x) 与 y=f (bx) 两函数的图象关于直线
5、x= 2ba对称。对任意 x0,令 a+x0=b-x1,则 x0+x1=b-a此时令 y=f(a+x0)=f(b-x1),则(x0,y)在第一个函数图像上,(x1,y)在第二个函数图像上因为 x0+x1=b-a,所以有 x0-(b-a)/2=(b-a)/2-x1,(x0,y)和(x1,y)关于直线 x=(b-a)/2 对称所以这两个函数的图像关于直线 x=(b-a)/2 是对称的定理 4.若函数 y=f (x) 定义域为 R，则函数 y=f (a+x) 与 y=cf (bx) 两函数的图象关于点(,)2bac对称。二、抽象函数的周期性命题 1：若 a 是非零常数，对于函数 y=f(x)定义域的
6、一切 x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数 .函数 y=f(x)满足 f(x+a)=f(x)，则 f(x)是周期函数，且 2a 是它的一个周期.包哥数学 百度文库 笑傲高数=兴趣+ 正确的学习方法函数 y=f(x)满足 f(x+a)= ，则 f(x)是周期函数，且 2a 是它的一个周期.1()fx函数 y=f(x)满足 f(x+a)+f(x)=1，则 f(x)是周期函数，且 2a 是它的一个周期.命题 2：若 a、b( )是非零常数，对于函数 y=f(x)定义域的一切 x，满足下列条件之b一，则函数 y=f(x)是周期函数 .(1) 函数 y=f(x)满足 f(x+a)=f(x+
7、b)，则 f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.(2)函数图象关于两条直线 x=a，x=b 对称，则函数 y=f(x)是周期函数，且 2|a-b|是它的一个周期.(3) 函数图象关于点 M(a,0)和点 N(b,0)对称，则函数 y=f(x)是周期函数，且 2|a-b|是它的一个周期.(4)函数图象关于直线 x=a，及点 M(b,0)对称，则函数 y=f(x)是周期函数，且 4|a-b|是它的一个周期.命题 3：若 a 是非零常数，对于函数 y=f(x)定义域的一切 x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数 .(1)若 f(x)是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 x=
8、a 对称，则 f(x)是周期函数，且 2a 是它的一个周期.(2)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，其图象关于直线 x=a 对称，则 f(x)是周期函数，且 4a 是它的一个周期.我们也可以把命题 3 看成命题 2 的特例,命题 3 中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题 3（1） ，其他命题的证明基本类似.设条件 A: 定义在 R 上的函数 f(x)是一个偶函数. 条件 B: f(x)关于 x=a 对称 条件 C: f(x)是周期函数 ,且 2a 是其一个周期. 结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个 . 证明: 已知 A、B C （2001
9、年全国高考第 22 题第二问） f(x)是 R 上的偶函数f(-x)=f(x) 又f(x) 关于 x=a 对称f(-x)=f(x+2a) f(x)=f(x+2a)f(x)是周期函数 ,且 2a 是它的一个周期 已知 A、CB 定义在 R 上的函数 f(x)是一个偶函数f(-x)=f(x) 又2a 是 f(x)一个周期f(x)=f(x+2a) f(-x)=f(x+2a) f(x)关于 x=a 对称 已知 C、B A f(x)关于 x=a 对称f(-x)=f(x+2a) 又2a 是 f(x)一个周期f(x)=f(x+2a) f(-x)=f(x) f(x)是 R 上的偶函数 由命题 3(2)，我们还
10、可以得到结论:f(x)是周期为 T 的奇函数，则 f( )=02T包哥数学 百度文库 笑傲高数=兴趣+ 正确的学习方法【f(x+T)=f(x)，令 x=-T/2，f(T/2)=f(-T/2)，f(x) 为奇函数,所以 f(T/2)=f(-T/2)=-f(T/2)则 2f(T/2)=0,f(T/2)=0】基于上述命题阐述，可以发现，抽象函数具有某些关系。根据上述命题，我们易得函数周期，从而解决问题。 习题：1.若函数 f（x） =x2+bx+c 对于任意实数 t 均有 f（3+t）= f（1t ） ，那么（ ）A. f（2）(3)(72)5.f(x)满足 f(x) =-f(6-x)，f(x)=
11、f(2-x)，若 f(a) =-f(2000)，a5，9且 f(x)在5，9上单调.求 a的值. 包哥解析：由 f(x) =-f(6-x)， f(x)= f(2-x)得 f(2-x)= -f(6-x)用 x 代替-x, f(2+x)= -f(6+x)；用 x+2 代替 x，f(x)= -f(x+4)；用 x+4 代替 x, f(x+4)= -f(x+8)=-f(x),即 f(x)=f(x+8),T=8f(2000)=f(0+8*250)=f(0)又f(a) =-f(2000) f(a)=-f(0) 又f(x) =-f(6-x) f(0)=-f(6) f(a)=f(6)a5，9 且 f(x)在5
12、，9上单调a =6包哥数学 百度文库 笑傲高数=兴趣+ 正确的学习方法确定方程根的个数6.已知 f(x)是定义在 R 上的函数，f(x)= f(4x) ，f(7+x)= f(7x),f(0)=0 ，求在区间1000，1000上 f(x)=0 至少有几个根？解：由 f(7+x)= f(7x)，用 x-7 代替 x，f(x)=f(14-x)f(4x)= f(14x)，用 x 代替 4-x 故 f(x+10)=f(x) f(10)=f(0)=0 又 f(4)=f(0)=0即在区间(0，10上，方程 f(x)=0 至少两个根又 f(x)是周期为 10 的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程 f(x)
13、=0 在区间 1000 ，1000上至少有 1+2 =401 个根.20112.（仙游一中高一数学期末）在实数集 上定义一种新运算“ ”，对于任意给定的 ， 为唯一确定的实数，R,abR且具有下面三个性质：(1),;abba对 任 意 (2),0;a对 任 意3()()2.ccbc对 任 意关于函数 的性质，有以下说法：1)fx在区间 上函数 的最小值为 ； 函数 为奇函数；0+（ ， ） ()fx3()fx函数 的单调递增区间为 .()fx（ -,1)(,+)其中所有正确说法的个数为（ ） A B C D320解析：B由新运算“”的定义（3）令 c=0，则 ab=ab+a+b = （对勾函数）f （ x） = ， 令 f（ x） =0，则 x=1，1()fx+1+1 112当 x（- ， -1）或（1，+）时，f （ x） 0函数 f（x）的单调递增区间为（ -，-1） 、 （1，+） 故正确；正确，错误，f(-x)-f(x)12.（2018 厦门市高中毕业班模拟试题）已知函数 ，若 f( )+f( t（ sin2+sin+cos1） 21 2
