1、 二次函数与图形面积涉及图形：三角形、不规则四边形。考查设问：（1）首先求出不规则三角形或者四边形的面积；（2）通过已知图形的面积确定未知三角形的面积；（3）通过未知三角形的面积求点坐标。例 1：（2009 陕西 24 题 10 分）如图，在平面直角坐标系中， ，且 ，点 的坐OBA2OA标 (2)，（1）求点 的坐标；B（2）求过点 的抛物线的表达式；A、 、（3）连接 ，在（2）中的抛物线上求出点 ，使得 PABPOS 24（本题满分 10 分）解：（1）过点 作 轴，垂足为点 ，过点 作 轴，垂足为点 ，AFx FBEx E则 21FO， B90AE又 ，OFBRttAE yOBAx11
2、（第 24 题）图） yOBAx11（第 24 题答案图）F EP3 P4P22BEOFA4， （2 分）(2)，（2 ）设过点 ， ， 的抛物线为 (1)A， (2)B， (0)O， 2yaxbc解之，得21640.abc， ， 1320abc， ，所求抛物线的表达式为 （5 分）213yx（3 ）由题意，知 轴AB设抛物线上符合条件的点 到 的距离为 ，则 Pd12ABPSdABF2d点 的纵坐标只能是 0，或 4 （7 分）P令 ，得 解之，得 ，或 0y213x0x3符合条件的点 ， 1(0)， 2()P，令 ，得 解之，得 4y234x3412x符合条件的点 ， 31()P， 4()
3、P，综上，符合题意的点有四个：， ， ， （10 分）1(0)， 2(3)， 31(4)2， 31(4)2，（评卷时，无 不扣分）10P，1.能够根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积。 2.通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型，并掌握二次函数中面积问题的相关计算，从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用。 3.掌握利用二次函数的解析式求出相关点的坐标，从而得出相关线段的长度，利用割补方法求图形的面积。面积两大类型类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行例 1.已知：抛物线的顶点为 D（1，-4），并经过点 E（4，5），求:（1）
4、抛物线解析式；（2）抛物线与 x 轴的交点 A、B，与 y 轴交点 C；（3）求下列图形的面积ABD、ABC、ABE、 OCD、OCE解题思路：求出函数解析式_；写出下列点的坐标：A_；B_；C_；求出下列线段的长：AO_；BO_；AB_；OC_。求出下列图形的面积ABD、 ABC、ABE、 OCD、 OCE。类型二：三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。（歪歪三角形拦腰来一刀）关于 的知识点：如图 1，过 ABC 的三个顶点分别作出与水平线2铅 垂 高水 平 宽 S垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫 ABC 的“水平宽”( a)，中间的这条直线在 ABC 内部线BC铅垂高水平
5、宽h a 图 1段的长度叫 ABC 的“铅垂高( h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. ahSABC21想一想：在直角坐标系中，水平宽如何求？铅垂高如何求？例 2如图 2，抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0)，交 y 轴于点 B.(1)求抛物线和直线 AB 的解析式； (2)点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA， PB，当 P 点运动到顶点 C 时，求 CAB 的铅垂高 CD 及 ；(3)是否存在一点 P，使CABSSPAB= SCAB，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由 .89解题
6、思路：求出直线 AB 的解析式是为了求出 D 点的纵坐标 ；Dy铅垂高，注意线段的长度非负性；分析 P 点在直线 AB 的上方还是下方?注意：方法推导所谓的铅垂高度，实际上就是横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值，数学表达式为 。为了保证这个差值是正数，同学们可以用在铅垂线上靠上点DCy的纵坐标减去靠下点的纵坐标.因此，求出点 D 的坐标，是求铅垂高度 CD 的关键；所谓的水平宽，实际上就是，两个点的横坐标差的绝对值，数学表达式为.为了保证这个差值是正数，同学们可以用这两个靠右点的横坐标减去BAx靠左点的横坐标.因此，求出点 A、B 的坐标，是求水平宽的关键.在解这类存在性问题时，通常先假设所
7、要的点是存在的，然后利用给出的条件，认真加以推理求解.图-2xCOyABD11专项训练1、抛物线 与 轴交与 A、B（点 A 在 B 右侧），与 轴交与点 C， D32xy y为抛物线的顶点，连接 BD，CD，（1 ）求四边形 BOCD 的面积.（2 ）求 BCD 的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程）2、已知抛物线 与 轴交与 A、C 两点，与 轴交与点 B，421xy y（1 ）求抛物线的顶点 M 的坐标和对称轴；（2 ）求四边形 ABMC 的面积.3、已知一抛物线与 x 轴的交点是 A
8、（-2，0 ）、B（1， 0），且经过点 C（2，8 ）（1 ）求该抛物线的解析式；（2 ）求该抛物线的顶点 D 的坐标；（3 ）求四边形 ADBC 的面积.4、 在抛物线的对称轴上是否存点 N，使得 ，若存在直接写出 N 的坐标；ABCNS若不存在，请说明理由.5、如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c(a0)经过 A(-2,0)，B(0,4)，C(2,4) 三点，且与 x轴的另一个交点为 E。（1 ）求该抛物线的解析式；（2 ）求该抛物线的顶点 D 的坐标和对称轴；（3 ）求四边形 ABDE 的面积.A xyBOC6、 已知二次函数 与 轴交于 A、B 两点（ A 在 B 的左边），与 y 轴交32xy于点 C，顶点为 P.（1 ）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；（2 ）求 A、B、C、P 的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积；（3 ）在抛物线上（除点 C 外），是否存在点 N，使得 ,ABCNS若存在，请写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由。CPxOA By
