1、 二次函数的三种表达形式：一般式：y=ax2+bx+c(a0,a、b、c 为常数)，顶点坐标为 , 把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出 a、b、c 的值。顶点式：y=a(x-h)2+k(a0,a、h、k 为常数), 顶点坐标为对称轴为直线 x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数 y=ax2 的图像相同，当 x=h 时，y 最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数 y 的顶点 (1,2)和另一任意点(3,10)，求 y 的解析式。解：设 y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得 y=2(x-1)2+2。注意：与点在平面直角坐标
2、系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h0 时，h 越大，图像的对称轴离 y 轴越远，且在 x 轴正方向上，不能因 h 前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当 h0 时， y=a(x-h)2 的图象可由抛物线 y=ax2 向右平行移动 h 个单位得到；当 h0,k0 时，将抛物线 y=ax2 向右平行移动 h 个单位，再向上移动 k 个单位，就可以得到 y=a(x-h)2+k 的图象；当 h0,k0 时，将抛物线 y=ax2 向左平行移动|h|个单位，再向上移动 k 个单位可得到 y=a(x-h)2+k 的图象；当 h0 时，开口方向向上；a0，那么当 时，y 有最小值
3、且 y 最小 = ；如果 a0，那么，当 时，y 有最大值，且 y 最大 = 。告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当 x4 时有最小值3，且它的图象与 x 轴两交点间的距离为 6，求这个二次函数的解析式。点拨：析解二次函数当 x4 时有最小值3，顶点坐标为（4 ，-3 ），对称轴为直线 x4，抛物线开口向上。由于图象与 x 轴两交点间的距离为 6，根据图象的对称性就可以得到图象与 x轴两交点的坐标是（1，0）和（7 ，0）。抛物线的顶点为（4 ，-3）且过点（1，0）。故可设函数解析式为 y a(x4) 23。将（1， 0）代入得 0a(14)
4、 23, 解得 a13y13(x4) 2-3，即 y13x 283x73。典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：（1）已知二次函数的图象经过点 A（3，-2）和 B（1 ，0），且对称轴是直线x3 求这个二次函数的解析式. （2）已知关于 x 的二次函数图象的对称轴是直线 x=1，图象交 y 轴于点（0，2），且过点（ -1， 0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线 x=2，且通过点（1，4 ）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴 x=-4，且过原点，它的顶点到 x 轴的距离为4，求此函数的解析式典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线 y=ax2+bx+c 的图像向右平移 3 个单位 , 再向下平移 2 个单位, 所得图像的解析式是 y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_。点拨：解先将 y=x2-3x+5 化为 y=(x-32)2+5-94, 即 y=(x-32)2+114。它是由抛物线的图像向右平移 3 个单位, 再向下平移 2 个单位得到的，原抛物线的解析式是 y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。
