1、二阶微分方程： 时 为 非 齐 次时 为 齐 次， 0)()()(2 xfyxQdPxy二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 212,)(2 ,(*)0)(1,0(*)r yrqpqyp式 的 两 个 根、 求 出 的 系 数 ；式 中的 系 数 及 常 数 项 恰 好 是， 其 中、 写 出 特 征 方 程 ：求 解 步 骤 ： 为 常 数 ；， 其 中 式 的 通 解 ：出的 不 同 情 况 ， 按 下 表 写、 根 据 (*),321r的 形 式，1r(*)式的通解两个不相等实根 )04(2qp xrxrecy21两个相等实根 r1)(21一对共轭复根 )(2241pqpirir， ，
2、)sinco2xeyx二阶常系数非齐次线性微分方程 型为 常 数 ；型 ， 为 常 数， sin)(cos)()(,xPxexffylm二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是 ypqf（1）其中 ,是常数。方程（1）的通解为对应的齐次方程0y （2）的通解 Y 和方程（1）的一个特解 *之和。即 *yY.我们已解决了求二阶常系数齐次线性方程通解的问题，所以，我们只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 *y的方法。下面我们只介绍当方程（1）中的 )(xf为如下两种常见形式时求其特解 *y的方法。一、 fxePm()()型由于方程（1）右端函数 f是指数函数 ex与 m次多项式 Px()的
3、乘积，而指数函数与多项式的乘积的导数仍是这类函数，因此，我们推测：方程（1）的特解应为 yeQx()( 是某个次数待定的多项式 )yx()e2代入方程（1） ，得 ppqxePxx m ()()()2消去 ，得QxQ()()()2（3）讨论 01、如果 不是特征方程 rpq0的根。即 02qp由于 Pxm()是一个 次的多项式，欲使（3）的两端恒等，那未 x()必为一个次多项式，设为 Qbxbxmm011将之代入（3） ，比较恒等式两端 的同次幂的系数，就得到以 bm01, 为未知数的 个线性方程的联立方程组，解此方程组可得到这 个待定的系数，并得到特解 yex()02、如果 是特征方程 rp
4、q20的单根。即 ，但 欲使（3）式的两端恒等，那么 Qx()必是一个 m次多项式。因此，可令 x()并且用同样的方法来确定 的系数 bb01, 。03、如果 是特征方程 rpq2的二重根。 即 2q，且 。欲使（3）式的两端恒等，那么 x()必是一个 次多项式因此， 可令 Qxm()2并且用同样的方法来确定 )(的系数 bbm01, 。综上所述，我们有结论如果 fePx()，则方程（1）的特解形式为yxQekmx()其中 ()是与 P同次的多项式， k的取值应满足条件012不 是 特 征 方 程 的 根是 特 征 方 程 的 单 根是 特 征 方 程 的 二 重 根例 1 求 yxe562的
5、通解。解 特征方程为 02r 特征根为 3,1齐次方程的通解为 xxeCY2 因为 是特征单根，所以，设非齐次方程的特解为yb()0则 * 212xbxey()4844001bx将上述三式代入原方程，得 ()2012bxex，比较恒等式两端的系数，得 解得 210b， 因此 xey2)(*所以方程的通解为 cex1321()二、 fxePxln()cossi型由于方程（1）右端函数为 xpxpenlx )()(，这种形式得到非齐次方程的特解 *y的过程稍微复杂些，所以我们这里就只给出结论xRkmmcssi()12其中，()1、2是两个 次多项式， la,，且 是 特 征 方 程 的 根若 不 是 特 征 方 程 的 根若 ik10例 2 求方程 yxcos2 的通解。解 特征方程 r 特征根 i2,1齐次方程的通解为 xCYsinco2 这里 ,0m，由于 i不是特征方程的根，所以设方程的特解为yaxbd()()代入原方程，得 xax2cossin432cos43比较两端同类项的系数，得0431adCb解得 9,1a于是 yxx2cosin所以非齐次方程的通解为 x113249icosin
