1、二面角（2010-2012 真题）1.（2012 年全国高考课标卷）如图，直三棱柱 中 ， 是1ABC12ABCD棱 的中点， 。1ABDC1（1）证明： ；（2）求二面角 的大小。112.（2012 年全国高考全国卷一）如图，四棱锥 中，底面 为菱形，PABCDAB底面 ， ，PABCD2A是 上的一点， 。2,EPE（1）证明： 平面 ；（2）设二面角 为 ，求 与平面 所成90PB角的大小。3.（2011 年全国高考课标卷）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面 ABCD。()证明：PABD；()若 PD=AD，求二面角 A-PB
2、-C 的余弦值。ECB DAP4.（2011 年全国高考全国卷一）如图，四棱锥 中， , ，SABCD/BCD侧面 为等边三角形， 。SAB2,1ABC()证明： 平面 ；DS()求 与平面 所成角的大小。5.（2010 年全国高考全国卷一）如图，四棱锥 S-ABCD 中，SD 底面ABCD，AB/DC，AD DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱 SB 上的一点，平面 EDC 平面 SBC。（）证明：SE=2EB；（）求二面角 A-DE-C 的大小。6.（ 2010 年 全 国 高 考 全 国 卷 二 ） 如图，直三棱柱 1ABC中，ACB， 1A， D为 1B的中点， E为 上的一
3、点， 13AEB。（）证明： E为异面直线 与 的公垂线；（）设异面直线 1与 C的夹角为 45，求二面角 11C的大小。二面角（2010-2012 真题）参考答案1.（2012 年全国高考课标卷）【试题解析】 （1）证明：在 中， 得： ，RtDAC45ADC同理： 得： 面14590AC111,B。1BD（2）解： 面 ，1,BBC1ACA取 的中点 ，过点 作 于点 ，连接 ，1AOHD1,OH，面 面 面 。11CA11BD得：点 与点 重合。HBD且 是二面角 的平面角。1O11CB设 ，则 ， 。ACa12a111230DaOCD既二面角 的大小为 。11B302.（2012 年全
4、国高考全国卷一）【试题解析】设 AO,以 为原点， 为 x轴， 为 y轴建立空间直角坐标系，则 (2,0)(0)(2,)CP设 (0,)(,0)(,)BaDExyz。（）证明：由 得,3E， 所以 (2,)PC，P2(,)3BEa， (0,2)BDa，所以(2,0),03PCBEa，,C。所以 , D，所以 平面P；D（）解：设平面 PAB的法向量为 (,)nxyz，又 (0,2)(,0)APBa，由 0,n得21,0a，设平面 BC的法向量为 (,)mxyz，又(2,0)(2,0)BCaP，由 0,mBCP，得 2(1,)ma，由于二面角 为 ，所以 n，解得 2a。ABC9所以 (,)D，
5、平面 的法向量为 (1,)，所以 与平面D所成角的正弦值为|12PDm，所以 与平面 所成角为 6。PBPDBC3.（2011 年全国高考课标卷）【试题解析】 （）因为 , 由余弦定理得 ，从而60,ABA 3ADBD2+AD2= AB2，故 BD AD又 PD 底面 ABCD，可得 BD PD，所以 BD 平面 PAD. 故 PA BD。（）如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线 DA 为 轴的正半轴 建立空间x直角坐标系 D- ，则xyz, , , 。10A30B， 1,30C,1P(,),(,),(,)PB设平面 PAB 的法向量为 =（x,y,z） ，则 n即 ，30xyz
6、因此可取 = 。n(,1)设平面 PBC 的法向量为 ，则m=0PBC，可取 =（0，-1， ） ， 所以 。3427cos,n故二面角 A-PB-C 的余弦值为 。274.（2011 年全国高考全国卷一）【试题解析()证明：取 中点 ，连结 ，则四边形 为矩形，ABEDBCE。2DECB连结 ，则 ， 。S3S又 ,故 ,所以 为直角。 （31SD22ESDSE分）由 , , ,得 平面 ,所以 。ABABDABS即 与两条相交直线 、 都垂直，SABS所以 平面 。 （6D分）另解:由已知易求得 ,于是 ，可知 。1,5,2D22SASDA同理可得 ,又 ，所以 平面 。 （6SBASIB
7、分）()解：由 平面 知，平面 平面 。EBCSDE作 ,垂足为 ,则 平面 ABCD, 。SFDFS32F作 ,垂足为 ,则 。GBC1G连结 ，则 ，又 ,BCGI故 平 面 ,平 面 平 面 。 （ 9SFSF分 ）作 , 为垂足,则 平面 。HH,即 到平面 的距离为 。37SGSBC217由于 ,所以 平面 , 到平面 的距离 也为 ，/EDBC/ESd217设 与平面 所成的角为 ,则 , 。 （12 分）AS21sin7dBarcsin6.（2010 年全国高考全国卷一）【试题解析】解法一：（）证明：连结 BD，取 DC 的中点 G，连结 BG，由此知 DG=GC=BG=1,即D
8、BC 为直角三角形，故 BCBD。又 SD平面 ABCD，故 BCSD，所以，BC平面 BDS，BCDE。作 BKEC，K 为垂足，因平面 EDC平面 SBC，故 BK平面 EDC，BKDE。即 DE 与平面 SBC 内的两条相交直线 BK、BC 都垂直。所以 DE平面 SBC，DEEC，DESB。SB= ，6DBS2DE= ，3EB= ，SE=SB-EB= 。6E2362所以 SE=2EB。（）解：由 SA= ，AB=1，SE=2EB，ABSA，知5ADS2AE= ，又 AD=1，故ADE 为等腰三角形。1B)3()1(22取 ED 中点 F，连结 AF，则 AFDE，AF= 。36DF2连
9、结 FG，则 FGEC，FGDE，所以，AFG 是二面角 ADEC 的平面角。连结 AG，AG= ，FG= ，236DFG2，1Fcos2所以，二面角 ADEC 的大小为 120。（2010 年全国高考全国卷二）【试题解析】解法一：（）证明：连接 ，记 与 的交点为 F。1AB11因为面 为正方形，故 ，且 。1B1F又 ，所以 ，又 D 为 的中点，3AEFE1故 ， 。/D1A作 ，G 为垂足，由 知，G 为 AB 中点。CBCB又由底面 面 ，得 面 .连接 DG，则 ，11A1/DGAB故 ，由三垂线定理，得 。EDE所以 DE 为异面直线 与 CD 的公垂线。1AB（）解：因为 ，故
10、 为异面直线 与 CD 的夹角，/DGC1AB。45C设 ，则 。2AB12,2,3G作 ，H 为垂足.因为底面 面 ，故 面 ，又11ABC11BH1AC作 ，K 为垂足，连接 ，由三 垂线定理，得 ，因此1CKK为二面角 的平面角。1B1A，22111()3BHC，211B， ，221(3)7A1237AHCK二面角（2012 长春市调研题汇编）1.（2012 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合暨长春市二模）如图，正方形ABCD与直角梯形 AEF所在平面互相垂直， 90ADE， EF/，2E。求证： /平面 B；求平面 与平面 CD所成锐角的正切值。2.（2012 年东北三省四市教研协作
11、体等值诊断联合暨长春市三模）已知四棱柱 1ABCD中， 1ABCD底 面 , 90A， BCD，2。求证： 1；求二面角 1ABDC的正弦值；ABCA1CD1DA BB1C1（3）求四面体 1ABDC的体积。3.（2012 年长春市高三毕业班第四次调研测试）如图，棱柱 1DCBA的所有棱长都等于 2，601ACB，平面 1CA平面 BD。证明： D；求二面角 1的余弦值；在直线 上是否存在点 P,使 平面 1？若存在，求出点 P的位置；若不存在，请说明理由。4.（2012 年东北三省三校：东师附中、哈师附中、辽宁省实验中学 2013 届高三第一次联合模拟测试一）如图，底面为平行四边形的四棱柱
12、ABCDABCD， DD底面ABCD， DAB=60， AB=2AD， DD=3AD， E、 F 分别是 AB、 DE 的中点。（1）求证： DF CE；（2）求二面角 AEFC 的余弦值。5.（2012 年东北四校：东师附中、吉林省实验中学、哈尔滨三中、辽宁省实验中学联考一）已知斜三棱柱 ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面 ABB1A1是菱形，且 ，是160ABA1B1的中点， .M（1）求证： 平面 ABC；（2）求二面角 A1BB1C 的余弦值。二面角（2012 长春市调研题汇编）参考答案1.（2012 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合暨长春市二模）【试题解析】解：证明：【方法
13、一】.设 ACBDO，取 E中点 G，连结OGF、，则 DE且 。12 A/， AF， 且 OG， 是平行四边形， AF/。 F平面 B, 平面 BE, /平面 E，即 /C平面 。 (6 分)【方法二】.如图建立空间直角坐标系，设平面 的一个法向量为 (,nxyz，则0nFB，而(2,01)，20xzy，令 1x，则 ， 2，(1,2). (,)AC， nAC0， n，而 平面 E， /平面 BEF。 (6 分)设平面 D与平面 所成二面角的平面角为 ，由条件知 是锐角，由知平面 BF的法向量为 (1,2)。又平面 A与 z轴垂直，平面 C的法向量可取为 10,n，1126cos|,|3，ABCDFEyxz
