1、 一元二次方程培优专题复习考点一、概念(1)定义： 只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是 2，这样的 整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式： )0(2acbxa难点： 如何理解 “未知数的最高次数是 2”：该项系数不为“0” ； 未知数指数为“2” ；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论 典型例题：例 1、下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（ ）A、 B、 C、 D、123x 021x02cbxa2x变式：当 k 时，关于 x的方程 是一元二次方程。322xk例 2、方程 是关于 x的一元二次方程，则 m的值为 013mx。针对练习：1、方程
2、 的一次项系数是 ，常数项是 。782x2、若方程 是关于 x的一元一次方程，01m求 m的值： ；写出关于 x的一元一次方程： 。3、若方程 是关于 x的一元二次方程，则 m的取值范围是 2x。4 、若方程 nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1考点二、方程的解概念： 使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用： 利用根的概念求代数式的值； 典型例题：例 1、已知 的值为 2，则 的值为 。32y142y例 2、关于 x的一元二次方程 的一个根为 0，则 a的值为 axa。例 3、已知关于 x的
3、一元二次方程 的系数满足 ，则此方02acbxa bca程必有一根为 。例 4、已知 是方程 的两个根， 是方程 的两个根，ba, 042mx, 0582my则 m的值为 。针对练习：1、已知方程 的一根是 2，则 k为 ，另一根是 。012kx2、已知关于 x的方程 的一个解与方程 的解相同。求 k的值；2 31x方程的另一个解。3、已知 m是方程 的一个根，则代数式 。012m24、已知 是 的根，则 。a3xa625、方程 的一个根为（ ）2cbA B 1 C D 1cba6、若 。yx且yx324,035考点三、解法方法： 直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点： 降次类型一、直
4、接开方法： mxmx,02对于 ， 等形式均适用直接开方法a22nb典型例题：例 1、解方程： =0; ;082x2165x;09132x例 2、解关于 x的方程： 2ba例 3、若 ，则 x的值为 。2169针对练习： 下列方程无解的是（ ）A. B. C. D.2x02xx132092类型二、因式分解法 : 11,x或 方程特点： 左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0” ， 方程形式： 如 ， ，22nbxmaxcxabxa02x典型例题：例 1、 的根为（ ）35xxA B C D 23,251x52x例 2、若 ，则 4x+y的值为 。044yxyx变式 1： 。222,6b且a
5、ba变式 2：若 ，则 x+y的值为 。3yx变式 3：若 ， ，则 x+y的值为 。14282x例 3、方程 的解为（ ）062xA. B. C. D.21且321且x321且xx例 4、解方程： 得0432 x _,21xx例 5、已知 ,则 的值为 。02yxy变式：已知 ,且 ,则 的值为 。3220xyx针对练习：1、下列说法中：方程 的二根为 ， ，则02qpx1x2)(212xqpx . 486 )3(6522 aba 方程 可变形为)()(2 yxyx07)13(x正确的有（ ）A.1 个 B.2个 C.3个 0)713)(xxD.4个2、以 与 为根的一元二次方程是（）A B
6、 C D062x062x062yy3、 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为倒数： 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为相反数： 4、若实数 x、y 满足 ，则 x+y的值为（ ）023yxA、-1 或-2 B、-1 或 2 C、1 或-2 D、1 或 25、方程： 的解是 。126、已知 ，且 ， ，求 的值。062yxx0yyx362类型三、配方法 02acbxa 224acbx在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例、已知 x、y 为实数，求代数式 的最小值。7422yx针对练习：1、已知 ，则 .04
7、12xxx12、若 ，则 t的最大值为 ，最小值为 。93t类型四、公式法条件： 公式： ,04,02acba且 acbx24,2且典型例题：例、选择适当方法解下列方程： .6132x.863x0142x 0451类型五、 “降次思想”的应用求代数式的值； 解二元二次方程组。典型例题： 例 1、已知 ，求代数式 的值。0232x123x例 2、如果 ，那么代数式 的值。2x723例 3、已知 是一元二次方程 的一根，求 的值。a012x1523a考点四、根的判别式 acb42根的判别式的作用： 定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：例 1、若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则
8、k的取值范围是 x012xk。例 2、关于 x的方程 有实数根，则 m的取值范围是( )2mA. B. C. D.10且m011例 3、已知关于 x的方程 2kx(1)求证：无论 k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰 ABC的一边长为 1，另两边长恰好是方程的两个根，求 ABC的周长。例 4、已知二次三项式 是一个完全平方式，试求 的值.2)6(92mxm例 5、 为何值时，方程组m.3,y有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？针对练习：1、当 k 时，关于 x的二次三项式 是完全平方式。92kx2、当 取何值时，多项式 是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？4323、已知方程 有两个
9、不相等的实数根，则 m的值是 .022mx4、 为何值时，方程组 （1）有两组相等的实数解，并求此解；k.04,2yk（2）有两组不相等的实数解；（3 ）没有实数解.5、当 取何值时，方程 的根与 均为有理数？04232 kmxx(2012 山东德州中考,15,4,)若关于 x 的方程 有实数解，那么实数 a()axa的取值范围是_（2012 湖北襄阳，12，3 分）如果关于 x 的一元二次方程 kx2 x10 有两个不k相等的实数根，那么 k 的取值范围是Ak Bk 且 k0 C k D k 且 k0121212考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例 1、关于 x的方程 有两个实数根
10、，则 m为 ,只有0321mx一个根，则 m为 。 例 2、不解方程，判断关于 x的方程 根的情况。322k例 3、如果关于 x的方程 及方程 均有实数根，问这两方程02k0x是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及 k的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题“碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯 990次，问晚宴共有多少人出席？2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了 90张，那么这个小组共多少人？3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划
11、，第一年投入资金 600万元，第二年比第一年减少 ，第三年比第二年31减少 ，该产品第一年收入资金约 400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部21收回，还要盈利 ，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结3果精确到 0.1， ）61.34、某商店经销一种销售成本为每千克 40元的水产品，据市场分析，若按每千克 50元销售，一个月能售出 500千克，销售单价每涨 1元，月销售量就减少 10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克 55元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过 10000元的情况下，使得月销售利润达到 8000元，销售单价应定为多少？
12、5、将一条长 20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于 12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。 （3）两个正方形的面积之和最小为多少？6、 A、 B两地间的路程为 36千米.甲从 A地，乙从 B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走 2小时 30分到达 B地，乙再走 1小时 36分到达 A地，求两人的速度.考点七、根与系数的关系前提： 对于 而言，当满足 、 时，才能用02cbxa0a韦达定理。主要内容： 常用变形：2121,， ，
13、211212()xxx122x221112()()4xxx， ，12121|42112等2121212()xxx应用： 整体代入求值。典型例题：例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程 的两根，则这个直角0782x三角形的斜边是（ ） A. B.3 C.6 D.36例 2、解方程组： .2,10)(;24,10)(yxxy例 3、已知关于 x的方程 有两个不相等的实数根 ， （1）求k 2,xk的取值范围；（2 ）是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k的值；若不存在，请说明理由。例 4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为 1）时，小明因看错常
14、数项，而得到解为 8和 2，小红因看错了一次项系数，而得到解为 -9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例 5、已知 ， ， ，求 ba01a012bba变式：若 ， ，则 的值为 。22例 6、已知 是方程 的两个根，那么 .,x34针对练习 1已知 ， ，求 的值。2、已知472a72b)(aba是方程 的两实数根，求 的值。21,x092x 63231xx3.（湖北中考题）设 ，且 ，则421,0ab0a=_。523ab4. ( 四川中考题）如果方程 x2pxq0 的两个根是 x1，x 2，那么x1x 2p，x 1x2q请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于 x
15、的方程 x2mx n0 (n0) ，求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数；（2）已知 a、b 满足 a215a 50，b 215b50，求 ab的值；（3）已知 a、b、c 均为实数，且 abc 0，abc 16，求正数 c 的最小值ba1.当 k 为何值时，关于 x 的方程 有实数根0212xkk2.已知方程 是关于 x 的一元二次方程，求 a，b 的值02abxba3 设 和 都是关于 x 的一元二次方程，01xa 0843bx求： 的值。2012.ab4 解下列方程：（1） （2）052x 0216132x（3） （4）5xx 02x5 已知方程 求证：不论 m 为何值
16、，次方程均有两个不相等的mxx2142实根。6 已知三个关于 x 的一元二次方程 02cbxa 02acxb恰有一个公共实数根，求 的值。02bacx ab227 已知 试求 的值。012a0124b2012ab8 关于 x 的方程 和方程 只有一个相同的实根，02)1(2xk 0)1(2kx求 k 的值及公共根。9 已知 a.b.c 分别是三角形 ABC 的三边长。当 m0 时，关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实根，试判断三角形 ABC 的形状。0222 axmxbmc10 已知方程 与方程 的公共根和方程 与652x02x 0243x方程 的公共根相同，求 m，n 的值。01n11 m，n 是方程 的两个根，且 求 a 的012x1276314722 nam值。
