五年级奥数专题二十:多边形的面积.doc

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资源描述

1、五年级奥数专题二十:多边形的面积关键词 :多边 正方 面积 边长 周长 多边形 奥数 正方形 之和 厘米我们已经学习过三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形以及圆、扇形等基本图形的面积计算,图形及计算公式如下:正方形面积=边长 边长=a 2,长方形面积=长 宽=ab,平行四边形面积=底 高=ah,圆面积=半径 半径=r 2,扇形面积=半径 半径圆心角的度数360在实际问题中,我们遇到的往往不是基本图形,而是由基本图形组合、拼凑成的组合图形,它们的面积不能直接用公式计算。在本讲和后面的两讲中,我们将学习如何计算它们的面积。例 1 小两个正方形组成下图所示的组合图形。已知组合图形的周长是 52

2、厘米,DG=4 厘米,求阴影部分的面积。分析与解:组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和,因为 CG 部分重合了。用组合图形的周长减去 DG,就得到大、小正方形边长之和的三倍,所以两个正方形的边长之和等于(52-4)3=16(厘米)。又由两个正方形的边长之差是 4 厘米,可求出大正方形边长=(16+4 ) 2=10(厘米),小正方形边长=(16-4)2=6 (厘米)。两个正方形的面积之和减去三角形 ABD 与三角形 BEF 的面积,就得到阴影部分的面积。10 2+62-(10102)-( 10+6)62=38 (厘米 2)。例 2 如左下图所示,四边形 ABCD 与 DEFG 都是平行四边

3、形,证明它们的面积相等。分析与证明:这道题两个平行四边形的关系不太明了,似乎无从下手。我们添加一条辅助线,即连结 CE(见右上图),这时通过三角形 DCE,就把两个平行四边形联系起来了。在平行四边形 ABCD 中,三角形 DCE 的底是 DC,高与平行四边形 ABCD 边DC 上的高相等,所以平行四边形 ABCD 的面积是三角形 DCE 的两倍;同理,在平行四边形 DEFG 中,三角形 DCE 的底是 DE,高与平行四边形 DEFG 边 DE 上的高相等,所以平行四边形 DEFG 的面积也是三角形 DCE 的两倍。两个平行四边形的面积都是三角形 DCE 的两倍,所以它们的面积相等。例 3 如左

4、下图所示,一个腰长是 20 厘米的等腰三角形的面积是 140 厘米 2,在底边上任意取一点,这个点到两腰的垂线段的长分别是 a 厘米和 b 厘米。求 a+b 的长。分析与解:a,b 与三角形面积的关系一下子不容易看出来。连结等腰三角形的顶点和底边上所取的点,把等腰三角形分为两个小三角形,它们的底都是 20 厘米,高分别为 a 厘米和 b 厘米(见右上图)。大三角形的面积与 a, b 的关系就显露出来了。根据三角形的面积公式,两个小三角形的面积分别为 20a2 和 20b2。因为这两个小三角形的面积之和等于原等腰三角形的面积,所以有20a2+20b2=140,10(a+b)=140,a+b=14

5、(厘米)。在例 2、例 3 中,通过添加辅助线,使图形间的关系更清晰,从而使问题得解。下面再看一例。例 4 如左下图所示,三角形 ABC 的面积是 10 厘米 2,将 AB,BC,CA 分别延长一倍到 D,E,F,两两连结 D,E,F,得到一个新的三角形 DEF。求三角形 DEF 的面积。分析与解:想办法沟通三角形 ABC 与三角形 DEF 的联系。连结 FB(见右上图)。因为 CA=AF,所以三角形 ABC 与三角 ABF 等底等高,面积相等。因为 AB=BD,所以三角形 ABF 与三角形 BDF 等底等高,面积相等。由此得出,三角形 ADF 的面积是10+10=20(厘米 2)。同理可知,

6、三角形 BDE 与三角形 CEF 的面积都等于 20 厘米 2。所以三角形 DEF 的面积等于 203+10=70(厘米 2)。例 5 一个正方形,将它的一边截去 15 厘米,另一边截去 10 厘米,剩下的长方形比原来正方形的面积减少 1725 厘米 2,求剩下的长方形的面积。分析与解:根据已知条件画出下页左上图,其中甲、乙、丙为截去的部分。由左上图知,丙是长 15 厘米、宽 10 厘米的矩形,面积为 1510=150(厘米 2)。因为甲、丙形成的矩形的长等于原正方形的边长,乙、丙形成的矩形的长也等于原正方形的边长,所以可将两者拼成右上图的矩形。右上图矩形的宽等于 10+15=25(厘米),长

7、等于原正方形的边长,面积等于(甲+丙)+ (乙+ 丙)= 甲+乙+ 丙)+丙= 1725+150= 1875(厘米 2)。所以原正方形的的边长等于 187525=75(厘米)。剩下的长方形的面积等于 7575-1725=3900(厘米 2)。例 6 有红、黄、绿三块同样大小的正方形纸片,放在一个正方形盒的底部,它们之间互相叠合(见右图)。已知露在外面的部分中,红色面积是 20,黄色面积是 14,绿色面积是 10,求正方形盒子底部的面积。分析与解:把黄色正方形纸片向左移动并靠紧盒子的左边。由于三个正方形纸片面积相等,所以原题图可以转化成下页右上图。此时露出的黄、绿两部分的面积相等,都等于(14+

8、10 )2=12。因为绿:红=A黄,所以绿黄=红A,A= 绿黄红=121220=7.2。正方形盒子底部的面积是红+黄+绿+A=20+12+12+7.2=51.2。练习 201.等腰直角三角形的面积是 20 厘米 2,在其中做一个最大的正方形,求这个正方形的面积。2.如左下图所示,平行四边形 ABCD 的周长是 75 厘米,以 BC 为底的高是 14 厘米,以 CD 为底的高是 16 厘米。求平行四边形 ABCD 的面积。3.如右上图所示,在一个正方形水池的周围,环绕着一条宽 2 米的小路,小路的面积是 80 米 2,正方形水池的面积是多少平方米?4.如右图所示,一个长方形被一线段分成三角形和梯形两部分,它们的面积差是 28 厘米 2,梯形的上底长是多少厘米?5.如下图,在三角形 ABC 中,BD=DF=FC,BE=EA。若三角形 EDF 的面积是 1,则三角形 ABC 的面积是多少?6.一个长方形的周长是 28 厘米,如果它的长、宽都分别增加 3 厘米,那么得到的新长方形比原长方形的面积增加了多少平方厘米?7.如下图所示,四边形 ABCD 的面积是 1,将 BA,CB,DC,AD 分别延长一倍到E,F,G,H,连结 E,F,G,H 。问:得到的新四边形 EFGH 的面积是多少?

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