1、 三角函数、解三角形专题测试(时间 120 分钟， 满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1cos( )sin( )的值是 ( )174 174A. B C0 D.2 222解析：原式cos(4 ) sin(4 )4 4cos( )sin( ) 4 4cos sin .4 4 2答案：A2已知 sin ，cos ，且 为第二象限角，则 m 的允许值为( )2m 5m 1 mm 1A. m6 B6m Cm 4 Dm 4 或 m52 52 32解析：由 sin2cos 21 得，( )2( )21，2m
2、5m 1 mm 1m4 或 ，又 sin0，cos0，把 m 的值代入检验得，32m4.答案：C3已知 sin(x ) ，则 sin2x 的值等于 ( )4 35A B. C D.725 725 1825 1825解析：sin(x ) (sinxcosx) ，4 22 35所以 sinxcosx ，325所以(sinxcosx) 21sin2x ，故 sin2x .1825 725答案：A4设 asin15cos15，bsin17cos17，则下列各式中正确的是 ( )Aa b Baba2 b22 a2 b22Cb a Dbaa2 b22 a2 b22解析：a sin(1545) sin60，
3、2 2b sin(1745) sin62，ba.2 2sin 260sin 2622sin60sin62 sin62，a2 b22 3 ba.a2 b22答案：B5(2010惠州模拟)将函数 ysinx 的图象向左平移 (02)个单位后，得到函数ysin(x )的图象，则 等于 ( )6A. B. C. D.6 116 76 56解析：依题意得 ysin(x )sin(x 2 )sin(x )，将 ysin x 的图象向左平6 6 116移 个 单位后得到 ysin( x )的图象，即 ysin( x )的图象116 116 6答案：B6在ABC 中，角 A，B 均为锐角，且 cosAsin
4、B，则ABC 的形状是 ( )A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形解析：cosAsin( A)sinB， A， B 都是锐角， 则 AB， AB ，C .2 2 2 2 2答案：C7给定性质：最小正周期为 ；图象关于直线 x 对称则下列四个函数中，同3时具有性质的是 ( )Aysin( ) Bysin(2x )x2 6 6Cysin|x| Dysin(2x )6解析：T ，2.对于选项 D，又 2 ，所以 x 为对称轴2 3 6 2 3答案：D8ABC 的两边长分别为 2,3，其夹角的余弦值为 ，则其外接圆的半径为( )13A. B. C. D9922 924 928 2解析
5、：由余弦定理得：三角形第三边长为3，22 32 22313且第三边所对角的正弦值为 ，2()223所以 2R R .3223 928答案：C9在ABC 中，角 A，B 所对的边长为 a，b，则“ab”是“acosAbcosB”的 ( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析：abABacosAbcos B，条件是充分的；acosAbcosBsinAcosAsinBcosBsin2A sin2B2A2B 或 2A2B，即AB 或 AB ，故条件是不必要的2答案：A10已知函数 f(x)asin2xcos2x( aR)图象的一条对称轴方程为 x ，则 a 的值为(
6、 )12A. B. C. D212 3 33解析：函数 ysin x 的对称轴 方程为 xk ，kZ ，f(x) sin(2x )，其中2 a2 1tan ，故函数 f(x) 的对称轴方程为 2xk ，kZ，而 x 是其一条对称1a 2 12轴方程，所以 2 k ，kZ ，解得 k ，kZ，故 tan tan(k 12 2 3 1a ) ，所以 a .3 3 33答案：C11已知函数 f(x)的部分图象如图所示，则 f(x)的解析式可能为 ( )Af(x)2cos( )x2 3Bf(x) cos(4x )24Cf(x)2sin( )x2 6Df(x)2sin(4x )4解析：设函数 f(x)A
7、 sin(x)，由函数的最大值为 2 知 A2，又由函数 图象知该函数的周期 T 4( )4 ，所以 ，将点(0,1)代入得 ，所以 f(x)53 23 12 62sin( x ) 2cos( x )12 6 12 3答案：A12(2010抚顺模拟)当 0x 时，函数 f(x) 的最小值为 ( )2 1 cos2x 8sin2xsin2xA2 B2 C4 D4 3 3解析：f( x) 2 4，1 cos2x 8sin2xsin2x 2cos2x 8sin2x2sinxcosx cosxsinx 4sinxcosx cosxsinx4sinxcosx当且仅当 ，即 tanx 时，取 “” ，0x
8、 ，存在 x 使 tanx ，这时cosxsinx 4sinxcosx 12 2 12f(x)min4.答案：C二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，将答案填写在题中的横线上)13在ABC 中，角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c，已知 B60，C75，a4，则 b_.解析：易知 A45 ，由正弦定理 得 ，解得 b2 .asinA bsinB 4sin45 bsin60 6答案：2 614计算： _.cos10 3sin101 cos80解析： .cos10 3sin101 cos80 2cos(10 60)2sin240 2cos502sin40 2答案： 2
9、15在ABC 中，已知 tanA3tanB，则 tan(AB )的最大值为_，此时角 A 的 大小为_解析：由于 tan(AB) .当且仅当tanA tanB1 tanAtanB 3tanB tanB1 3tanBtanB 2tanB1 3tan2B 331 tanB 时取 “”号，则 tanB tanA A60.333 3答案： 603316如图是函数 f(x)A sin(x)(A0，0，) ，xR 的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为_函数 f(x)的最小正周期为 ；2函数 f(x)的振幅为 2 ；3函数 f(x)的一条对称轴方程为 x ；712函数 f(x)的单调递增区间为 ， ；
10、12 712函数的解析式为 f(x) sin(2x )323解析：由图象可知，函数 f(x)的最小正周期为( )2，故 不正确；函数 f(x)56 3的振幅为 ，故不正确；函数 f(x)的一条对称轴方程为 x ，故正确；356 32 712不全面，函数 f(x)的单调递 增区间应为 2k， 2k，kZ；由12 712sin(2 ) 得 2 2k，kZ，即3712 3 712 22k ，kZ，故 k 取 0，从而 ，故 f(x)23 23 sin(2x )323答案：三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)已知 tan( )
11、3， (0 ， )4 2(1)求 tan 的值；(2)求 sin(2 )的值3解：(1)由 tan( )3 可得 3.4 tan 11 tan解得 tan2.(2)由 tan2，(0， )，可得 sin ，cos .因此2 255 55sin22sin cos ，cos212sin 2 ，sin(2 )sin2 cos cos2 sin 45 35 3 3 3 .45 12 35 32 4 331018(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)2sinxcosx (2cos2x1)3(1)将函数 f(x)化为 Asin(x)(0，| | )的形式，填写下表，并画出函数 f(x)在2区间 ， 上
12、的图象；16 56xx 0 2 322f(x)(2)求函数 f(x)的单调减区间解：(1)f( x)2sinxcos x (2cos2x1)3sin2x cos2x2sin(2x ).33x 6 12 3 712 56x 0 2 322f(x) 0 2 0 2 0图(2)由 2k 2x 2k (kZ)得2 3 32k xk (kZ)，12 712故函数 f(x)的单调减区间为k ，k (kZ)12 71219(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)2sinxcos( x) sin(x)cosxsin( x)cosx.2 3 2(1)求函数 yf(x) 的最小正周期和最值；(2)指出 yf(
13、x)图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于原点对称解：(1)f( x)2sin 2x sinxcosxcos 2x31sin 2x sinxcosx31 sin2x1 cos2x2 32sin(2x ) ，6 32yf(x)最小正周期 T .yf(x)的最大值为 1 ，最小值为 1 .32 52 32 12(2)y sin(2x )的图象32 6ysin2 x 的图 象123 左 移 个 单 位下 移 个 单 位20(本小题满分 12 分)在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，cos A C2.33(1)求 cosB 的值；(2)若 2，b2 ，求 a 和 c 的值CA2解
14、：(1)cos ，A C2 33sin sin( ) ，B2 2 A C2 33cosB12sin 2 .B2 13(2)由 2 可得 accosB2，又 cosB ，故 ac6，AC13由 b2a 2c 22ac cosB 可得 a2c 212，(ac )20，故 ac，a c .621(本小题满分 12 分)如图所示，甲船由 A 岛出发向北偏东45的方向做匀速直线航行，速度为 15 海里/小时，在甲2船从 A 岛出发的同时，乙船从 A 岛正南 40 海里处的 B 岛出发，朝北偏东 (tan )的方向作匀速直线航行，速度12为 10 海里/小时5(1)求出发后 3 小时两船相距多少海里？(2
15、)求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？解：以 A 为原点，BA 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系设在 t 时刻甲、乙两船分别在 P(x1，y1)，Q(x2，y2)则Error!，由 tan 可得，cos ，12 255sin ，55故Error!(1)令 t3，P、 Q 两点的坐标分别为(45,45)，(30,20)，|PQ| 5 .(45 30)2 (45 20)2 850 34即出发后 3 小时两船相距 5 海里34(2)由(1)的解法过程易知：|PQ| (x2 x1)2 (y2 y1)2 (10t 15t)2 (20t 40 15t)2 50t2 400t 1
16、 600 20 ，50(t 4)2 800 2当且仅当 t4 时，| PQ|取得最小值 20 .2即两船出发后 4 小时时，相距 20 海里为两船的最近距离222(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)2cosxsin( x ) .3 32(1)求函数 f(x)的最小正周期 T；(2)若ABC 的三边 a，b，c 满足 b2ac，且边 b 所对角为 B，试求 cosB 的取值范围，并确定此时 f(B)的最大值解：(1)f( x)2cosxsin( x )3 322cosx(sinxcos cosxsin )3 3 322cosx( sinx cosx)12 32 32sinxcosx cos2x332 sin2x 12 31 cos2x2 32 sin2x cos2x12 32sin(2x )3T .2| 22(2)由余弦定理 cosB 得，cosBa2 c2 b22ac a2 c2 ac2ac ， cosB1，a2 c22ac 12 2ac2ac 12 12 12而 0B ，0B .函数 f(B)sin(2B )，3 3 2B ，当 2B ，3 3 3 2即 B 时， f(B)max1.12
