1、-_往届高等数学期终考题汇编2009-01-12一解答下列各题(6*10 分):1求极限 .)1ln(im0xxe2.设 ,求 .222laay yd3.设 ，求 .32tyx2dxy4.判定级数 的敛散性.0!1nne5.求反常积分 . 0darcsix6.求 .xrtn7. .03dsi8.将 在 上展为以 为周期的付里叶级数，并指出收敛于 的区xxf2,)(,2 xf间.9.求微分方程 的解.0d)4(dyy10.求曲线 与直线 所围平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积.1x,21xy二.(8 分)将 展开为 的幂级数,并指出其收敛域.5lnf三.(9 分)在曲线 上取点 ,过点 作平
2、行于 轴的直线 ,由siy10,sin,2aaAAoxL直线 , 轴及曲线 所围成的图形记为 ,由直线 ,直线 及曲线Lox02 SL1所围成的图形面积记为 ,问 为何值时, 取得最小值.1sin2xay 2S2四.(9 分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度为 30时,物体由 100经 15 分钟冷却至 70,问该物体冷却至 40需要多少时间?五.(8 分)(学习工科数学分析的做（1） ，其余的做（2）)（1）证明级数 在 上一致收敛.02nxe),（2）求幂级数 的收敛域及和函数.1212)(nn六.(6 分)设 ,试证存在 ,使baCxfba a
3、 fabafbdxf 3241-_2008115一解答下列各题(6*10 分):1.计算极限 .xex30sin2lim2.设 求 .,5arctog22yx yd3.设 求 .,;sin,cl tt 32tx4.判定级数 的敛散性.123n5.计算反常积分 .dxl6.计算不定积分 .cosi37.计算定积分 .102xe8.求函数 在 上展成以 4 为周期的正弦级数.,f,09.求微分方程 的通解.dd132yxy10.求由曲线 及 所围成的图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积.725ox二.(9 分)证明:当 时,有.22 1lnarct4lnxx 三.(9 分) 设抛物线 通过点 ,为
4、了使此抛物线与直线 所围成02bxy3Mxy2的平面图形的面积最小,试确定 和 的值.四.(8 分)设一车间空间容积为 10000 立方米,空气中含有 0.12%的二氧化碳(以容积计算),现将含二氧化碳 0.04%的新鲜空气以 1000 立方米每分钟的流量输入该车间,同时按 1000 立方米的流量抽出混合气体，问输入新鲜空气 10 分钟后，车间内二氧化碳的浓度降到多少？五 （8 分）求幂级数 的收敛域及其和函数.nnx0!21六.(6 分)设函数 在 的邻域内有连续的一阶导数,且 ,f axf0lim0-_证明: 条件收敛.nfn112007 年 1 月一. 计算下列各题(6*10 分):1计
5、算极限 .xexarctn1llim02. 设 , 求 .21arcsyyd3. 设 求 .0in02teuxyt 0x4. 判定级数 的敛散性.1345. 计算反常积分 .dx6 设 为 的原函数, 求 .2lnxfxfd7. 将 展开成以 为周期的傅立叶正弦级数, 并求此级数分别.2 ,0; ,1xf 2在 和 两点的收敛值.23x58. 将函数 展开为 的幂级数,并指出其收敛域.fln9 求微分方程 的通解.2711xy10. 求抛物线 与 所围图形的面积.25x二. (9 分) 若函数 在 点可导 . 求 和 .0 ,;dcos2xatefx a0f三. (9 分) 在曲线 上求一点
6、,使得过该点的切线与两个坐标轴所围yx0xe平面图形的面积最大, 并求出此最大面积.四(8 分) 半径为 的半球形水池充满水,将水从池中抽出, 当抽出的水所作的功为将水全部R抽出所作的功的一半时, 试问此时水面下降的深度 为多少?H五.(8 分) 求幂级数 的和函数并求出级数 的和.1nnx12nn六. (6 分) 已知函数 在 上可导, 且 并满足等式f00f-_, 求 并证明0d10xtffxf xf.0 1xfex2006 年 1 月一. 计算下列各题(6*10 分):1. 30sintalimxx2.设 , 求 .2t1rcyyd3.设 , 求 .0 ,xexfx xfd124. 判定
7、级数 的敛散性.21nn5. 设 由方程 所确定,求 .xyyxtay6.计算不定积分 .exd27. 将 , 展成以 为周期的傅立叶级数.f,28. 将函数 展成 的幂级数, 并指出收敛区间.312x49. 求微分方程 的通解.ey410. 设曲线 与 交于点 A, 过坐标原点 和点 的直a0,21xyOA线与曲线 围成一个平面图形. 问: 当 为何值时,该图形绕 轴旋转一周所产2 ax生的旋转体体积最大?二. (8 分) 证明不等式: 当 时, , .xx10三. (9 分). 设 , 求 .21dtef 10df四. (9 分). 一物体在某一介质中按 作直线运动,已知介质的阻力与物体速
8、度的3ct平方成正比, 计算物体由 移动到 时克服阻力所作的功.xax五. (9 分) 求级数 的和.03nn六. (5 分). 设 , , 证明:fba. fxfbaf 2d12-_2005 年 1 月 15 日一. 解答下列各题（610 分）1 计算极限 xexsinlim02 设 ，求 .1l212y yd3 设 在 处可导,求常数 和 .0 ,xbaxf ab4 判定级数 的敛散性. 若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?13n5 设 由方程 所确定,求 .xyye)ln(6 设 连续,且满足 .求 .f xtfx103d ?26f7 求 的极值.238 计算不定积分 .xln49 计算定积
9、分 .darct1010 求由曲线 , 直线 , 所围成的平面图形绕 轴旋转一周所2xy,0y1xy产生的旋转体的体积.二. (8 分). 试证明不等式 时, .3tan三. (9 分) 将函数 展成 的幂级数 ,并指出收敛区间.321xf四. (9 分) 已知 在 的邻域内可导, 且 , .x0lim12xf205li12xfx求极限 .312dlimxtuftx五.(8 分) 求幂级数 的收敛域及和函数.nn0!六. (6 分) 设 在 上连续, 在 内可导, 且 , .f11010xf0f证明 xfdxd320-_2004 年 1 月 一、解下列各题1、 10lim,(0,)2xxaba
10、b其 中2、设 ,求2sin)xyey3、求不定积分 rctd4、求不定积分 21()x5、求定积分 40e6、求由曲线 及 轴围成的图形的面积。|ln,yxe7、判定级数 的敛散性541n8、将 展开为 的幂级数，并求收敛域。20()xtfedx9、求幂级数 的收敛域及和函数。11nn10、曲线 上哪一点的法线在 轴上的截距最小6,()3yxy二、证明：当 时，022sinx三、设某产品的成本函数为 ，需求函数为 ，其中 为成本，Caqbc1()qdpeC为需求量(也是产量)， 为单价， 都是正常数，且 。求(1)qp,deb利润最大时的产量及最大利润；(2)需求价格弹性 ；(3) 需求价格
11、弹性的绝对值小于 1 时的产量。四、曲线 轴旋转一周，得一旋转体，若把它在 与之间部分的体积记为 ，21xy 0x()V试求 lim()V五、设 为 上连续，且 ，求证：在 内存在一点 ，在f,ab()0fx(,)ab4()()5axdfxd-_2003 年 1 月 一、解下列各题1、 01limxxe2、设 由方程 确定，求()ycos()yxy3、设 在 点连续，试确定 的值2in0abxx,ab4、判定级数 的敛散性1!n5、设曲线方程为 ，求此曲线在 点处的切线方程2sicoxtty2x6、设 在点 处有 ，而 在 点及其邻域有定义且有界，试证明()f000()ffx()0函数 在点
12、处可导，并求F0F7、将 展开成周期为 的付立叶正弦级数2()0fxx28、计算不定积分21xed9、计算定积分 4010、求由 所围成的平面图形绕 轴旋转所成的立体的体积ln,2y和 y二、证明：当 时，xsintaxx三、A，B 两厂在直河岸的同侧，A 沿河岸，B 离岸 4 公里，A 与 B 相距 5 公里，今在河岸边建一水厂 C，从水厂 C 到 B 厂每公里水管材料费是 A 厂的 倍，水厂 C 设在离 A 厂多远处才使两厂所耗总的水管材料费最省？四、试求幂级数 的收敛域及和函数02nnx五、设 为 上单减连续函数，有 ，证明当 时，()fx,)a1()()xaFftdxa为单调减函数F-
13、_六、设 在 上连续，在 内可导，且 ，证明：存在一点 ，()fx0,1(0,1)10()ftd (0,1)使得 2f七、已知可导函数 满足 ，求()0()cos2()sinxfxftx()fx2002 年 1 月一、试解下列各题(每小题 5 分，共 25 分)1求极限 。2limnn2设 ，研究 在点 处的左连续性与右连续性。01)(xexf )(xf03设 ，求 。4求函数 的单调区间。sinarct(l)xyy 14932xy5计算定积分 。dex25l0二、解下列各题(每小题 5 分，共 25 分) 。1求极限 ；1ln0)(silmxx2设函数 由方程 所确定，求 。)(xyyxe2
14、0dxy3求积分 ； 4求极限 ；xdcos1in23 dt)sin(li022xt5试判定级数 的敛散性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？11)(nn三、(7 分) 求积分 。2arcsdx四、(7 分) 将函数 ，展开成以 为周期的傅里叶级数，其中 为|()0|2Hfx2H常数。五、(7 分) 将函数 展开成 的幂级数，并指出收敛区间。61)(2xf 1六、(7 分) 试证明不等式 ，其中 。3sin20x七、(8 分) 一容器由抛物线 绕 轴旋转而成，其容积为 ，其中盛满水，水的比重2y 3m7为 1，现将水从容器中抽出 ，问需作多少功？3m64-_八、(8 分) 设水以匀速注入右图所示
15、的罐中，直至将将水罐注满。1) 画出水位高度随时间变化的函数 的图形(不要求精确图形，但应画出曲线凹凸)ty性并表示出拐点)2) 何处增长的最快，何处最慢？并估计这两个增长率的比值。)(ty九、(6 分) 设函数 在0,1上连续，在(0,1)内可导，并且满足 ，)(xf 130()()dfxf试证存在一点 ，使 。1,0)(f2000 年 1 月一、求解下列各题：（每小题 6 分，共 60 分）1设 ，求 。 2求极限 。236)(1xxyy xex1lim03将 展开成以 4 为周期的傅里叶级数。|,0)(f4试求过点 且与曲线 上点 的切线相垂直的直线方)1M1cos2yex 3,程。5设
16、 ，求 。 6将 展开为 的幂级数。xxttflim)( )(tf )1()xf x7设 是由曲线 与三条直线 ， ， 所围成的曲线梯形，求Dysin10x0y绕 轴旋转一周所得旋转体积。o8求极限 。 9求不定积分 。20cosdt)(li2xextarctndx(1)10判别级数 的敛散性。1tan二、 （8 分）求不定积分 。 三、 （8 分）求定积分 。2(l)d 220daxx)0(a四、 （8 分）设 ，其中 有二阶连续导数。且 ，0,0)xegxfx)(xg1)g。 1)求 ； 2) 讨论 在 上的连续性。1)0(g)(ff,五、 （8 分）试确定 的值，使曲线 与该曲线在 及
17、两点处的法线所围a)1(2ay)0,1(,成图形面积最小。 （其中 ） 。六、 （8 分）设 ，0|sin|dnx,求极限 n22lm1-_98 年 1 月一、填空题1 2 在 上的最小值为 xxsin20)3(limxysin2,03设 ，则 0)(1fefyt0dtx4设 ，则 203)(xtt)()limxfa5设 在 条件收敛，则 的敛区为 na01nn二、选择题1当 时，变量 是（ ）0x21sixA) 无穷小 B) 无穷大 C) 有界但不是无穷小 D) 无界但不是无穷大2 是 的（ ）间断点1in()|xfeA) 跳跃 B) 可去 C) 无穷 D) 振荡3若 是导函数是 ，则 有一个原函数为（ ）)(xfsi)(fA) B) C) D) sin1nxcos1xcos14设 ，则在 处 （ ）0|1|)(2xf )(fA) 不连续 B) 连续但不可导 C)可导但导数不连续 D) 可导且导数连续5设 是 的以 为周期的傅里叶正弦级数的和函数，)(xsxxf2102则 等于（ ）)2(A) B) 1 C) D) -141)4(
