1、-_二次函数的图像与性质一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫2yaxbca，0a做二次函数。 【说明】这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为bc，零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数 的结构特征：2yaxbc 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是 2xx 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项bc， bc二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： 的性质：2yaxa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2. 的性质：2yxc上加下减。3. 的性质：2yaxh左加右减。的符号a开口方向 顶点坐标
2、对称轴 性质0向上 0，轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小值y0向下 ，轴时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大值xx的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 0c，轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小值yc向下 ，轴时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大值x0x的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 0h，X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小值y0-_4. 的性质：2yaxhk5. 二次函数 的性质2
3、yaxbc1. 当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 0 2bxa24bac，当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；当2bxayxyx时， 有最小值 24acb2. 当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 当0a 2bxa24bac，时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时，2bxyxy2x有最大值 y24ac三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；2yaxhkhk， 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：2yax， 【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(
4、h0)【(k0)【(k0)【|k|【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax20向下 0h，X=h 时， 随 的增大而减小； 时，xhyxxh随 的增大而增大； 时， 有最大值y0的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 hk，X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小值yk向下 ，X=h时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大值yxxh-_2. 平移规律在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”hk概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二： 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成
5、cbxay2ymcbxay2（或 ）mcbxa2 沿轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成cxy2 cxy2（或 ）ba)()( mxbxy)()(2四、二次函数 与 的比较2yaxhk2ac从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通过yxb配方可以得到前者，即 ，其中 224bacyax 242bacbhk，五、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： （ ， ， 为常数， ） ；2cc02. 顶点式： （ ， ， 为常数， ） ；()yaxhkahka3. 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.1201x2x注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有
6、的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以40bc用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.六、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 中， 作为二次项系数，显然 2yxbca0a 当 时，抛物线开口向上， 的值越大，开口越小，反之 的值越小，开口越0大； 当 时，抛物线开口向下， 的值越小，开口越小，反之 的值越大，开口越a大总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决aa定开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴ab 在 的前提下，0当 时， ，即抛物线
7、的对称轴在 轴左侧；02y当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；ba-_当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的右侧0b02ay 在 的前提下，结论刚好与上述相反，即a当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴右侧；当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；0b02ay当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的左侧总结起来，在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置b的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，abax2y0aby0ab概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项 c 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正；0yxy 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物
8、线与 轴交点的纵坐标为 ； 0 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为0cyxy负/ 总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置总之，只要 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的abc，4.利用二次函数与 轴的交点的个数来确定判别式 的符号，利用特殊点的坐标确定特x殊代数式的值的范围。有时还要利用等量代换来判断特殊代数式的值的范围。二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶
9、点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；x4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式二次函数的图像与性质应用举例：例 1：小强从如图所示的二次函数 的图象中，观察得出了下面五条信息：2yaxbc（1） ；（2） ；（3） ；（4） ； （5） . 你0a1c000abc认为其中正确信息的个数有（C）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 2102yx3-_例 2：已知二次函数的图象如图所示，yaxbc有以下结论： ；/0； ；1； 其中所有正确结论的序号是（ C ）420abc1aA B C D例 3：小明从图所示的二次函数 的
10、图象中，观察得出了下面五条信息：2yxbc； ； ； ； ，你认为其中正确信cc0bc30a40b息的个数有（ C ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个分析：错误.由 得 ；由前面的分析知 ，又由题图知当12a32a时， ，将 代入 中得 .x40ybc 2x0abc 40b【练】已知二次函数 的图象如图所示，有下列)0(25 个结论： ； ； ； ac24； ， （ 的实数）其中正确的结论有bc32)(bm1（ C ） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个分析：由图可知， ，从而 ，错误；又当0,02ac 20,abc 时 ，错误；由抛物线的对称轴为直线 知，当 与1x
11、yb 1x0x时函数值相等，所以正确；因为2，所以正确；因为二次函数的对322()0ccabc称轴为直线 ，所以当 时，函数取得最大值，即当 时的函数值小于1x1x1,mx当 时的函数值，所以 ，得2bcmc，所以正确.)(amb例 4：如图，是二次函数 yax 2bx c（a0）的图象的一部分， 给出下列命题 ：a+b+c=0；b2a；ax 2+bx+c=0 的两根分别为-3 和 1；a-2b+c 0其中正确的命题是 （只要求填写正确命题的序号）分析：由图知正确且 ，所以 ，所以错10ba11O xy21Oxy-_误；由正确得 ，所以 ，所以错误.cab230bcab【练】1. 已知二次函数
12、 的部分图象如图所示，它的顶点的横坐标0yx为1，由图象可知关于 的方程 的两根为2=abc3 2,x2.二次函数图象的对称轴是直线 ，其图象的一部分如图所1x示对于下列说法： 0； 0； 0；当1x3 时，abcbcacy0其中正确的是 （把正确的序号都填上） 分析：由图可知，抛物线的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点为 ，得 ，3,012ba，与 轴的另一个交点为 ，所以 ， .2bax1,0abcac例 5：在同一直角坐标系中，函数 和 （ 是常数，且ymx2yxm）的图象可能是（ C ）0m例 6：（1）已知二次函数的图象以 A（1，4）为顶点，且过点 B（2，5）求该函数的关系式；求该
13、函数图象与坐标轴的交点坐标；答： ，交点坐标23yx1,03（2）抛物线过（1，0） ， （3，0） ， （1，4）三点，求二次函数的解析式；答： 2yx例 7：已知函数 是关于 的二次函数，求：2481mxx（1）求满足条件的 的值；（2） 为何值时，抛物线有最低点？最低点坐标是多少？当 x 为何值时，y 随 x 的增大而m增大？（3）m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？答：（1） 或 ；32xy Oxy Oxy Oxy O-_例 8：（1）利用配方求函数 的对称轴、顶点坐标。214yx254yx（2）利用公式求函数 的对称轴、顶点坐标。2
14、617yx，612ba224763411cba例 9：已知二次函数 的图象的对称轴是 ，且最高点在直线2ymxn2x上，求这个二次函数的解析式。12yx答： 24x例 10.如图，二次函数 的图象经过坐标原点，与 x 轴交于点 A（4，0） 2yac（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点 P，满足 ，请直接写出点 P 的坐标8AOPS答： ，P 的坐标为 或24yx2,2,例 11.如图，抛物线 经过直线 与坐标轴的两个交点 A、B，此抛物2bxc3yx线与 轴的另一个交点为 C，抛物线顶点为 D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点 P 为抛物线上的一个动点，求使 ： 5 APCSD
15、：4 的点 P 的坐标。答： ，C ，D ， ，所以23yx1,0,48AC，P 的坐标为 或 .10ACS452二次函数练习试题一、选择题1. 二次函数 的顶点坐标是( )247yx-_A.(2, 11) B.（ 2，7） C.（2，11） D. （2，3）2. 函数 和 在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )2ykx0)kyx3. 已知二次函数 的图象如图所示,则下列结论: a,b 同号;当2(0)yaxbc和 时,函数值相等; 当 时, 的值只能1x342yx取 0.其中正确的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C. 3 个 D. 4 个4. 已知二次函数 的顶点坐标（-1，-3.2
16、）及2(0)yaxbc部分图象(如图 ),由图象可知关于 的一元二次方程x的两个根分别是 （ ）20axbc12.3和. B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 5. 已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为（ y）A. B. 2yx2yxC. 或 D. 或2yx2yx二、填空题6. 二次函数 的对称轴是 ，则 _。23yxb2xb7. 已知抛物线 ，如果 y 随 x 的增大而减小，那么 x 的取值范围是 .258. 一个函数具有下列性质：图象过点（1，2） ，当 0 时，函数值 随自变量 的yx增大而增大；满足上述两条性质的函数的
17、解析式是 （只写一个即可） 。9. 抛物线 的顶点为 C，已知直线 过点 C，则这条直线与两坐2()6yx3ykx标轴所围成的三角形面积为 。三、解答题：10.已知二次函数图象的对称轴是 ,图象经过(1,-6),且与 轴的交点为(0, ).30xy52-_(1)求这个二次函数的解析式;(2)当 x 为何值时,这个函数的函数值为 0?(3)当 x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值 随 x 的y增大而增大?11.如图，抛物线 经过直线 与坐标轴的两个2yxbc3yx交点 A、B，此抛物线与 轴的另一个交点为 C，抛物线顶点为 D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点 P 为抛物线上的一个动点，求使 ： 5 ：4APSD的点 P 的坐标。第 15 题图
