1、- 1 -初中数学圆【知识结构】侧 面 积 、 全 面 积 计 算侧 面 展 开 图定 义圆 柱 和 圆 锥 形 面 积 计 算圆 面 积 、 扇 形 、 组 合 图 形 周 长 计 算圆 周 长 、 弧 长 、 组 合 图画 法 应 用边 长 、 面 积 的 计 算 计 算半 径 、 边 心 距 、 中 心 角计 算概 念正 多 边 形正 多 边 形 与 圆 内 含内 切相 交外 切外 离圆 和 圆 的 位 置 关 系 切 割 线 定 理 及 推 论相 交 弦 定 理 及 推 论相 交性 质判 定相 切相 离直 线 和 圆 的 位 置 关 系反 证 法点 的 轨 迹 圆 内 接 四 边 形圆
2、 周 角 定 理 距 之 间 的 关 系圆 心 角 、 弧 、 弦 、 弦 心垂 径 定 理 及 推 论基 本 性 质三 点 定 圆 定 理点 与 圆 的 位 置 关 系定 义圆 的 有 关 性 质圆- 2 -1、圆及与圆相关的概念二、圆的对称性(1)圆既是轴对称图形,又是中心对称图形。(2)对称轴直径所在的直线,对称中心圆心。三、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;知 2 推 3 定理: 是直径 弧ABABCDE弧 弧 弧BCDC推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。四、圆心角定理圆心角定理:同圆或等圆中
3、,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。知 1 推 3 定理: ; ; ; 弧 弧AOBDEABOCFBAD五、圆周角定理1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。2、推论:1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。六、圆内接四边形圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。七、点与圆的位置关系1、点在圆内 点 在圆内;drC2、点在圆上 点 在圆上;B3、点在圆外
4、 点 在圆外;A8、三点定圆定理三角形外接圆1、三点定圆:不在同一直线上的三个点确定一个圆。2、三角形的外接圆:经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。3、三角形的外心:三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心。九、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点;dr2、直线与圆相切 有一个交点;3、直线与圆相交 有两个交点;OE DCBA OC DA BFEDC BAOCBAOD CBAOCB AOEDCBA- 3 -drd=rr d十、切线的性质与判定定理1、判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线(两个条件,缺一不可)2、性质定理:切线垂直于过切点
5、的半径推论 1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。十一、切线长定理切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。十二、内切圆及有关计算。(1)三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点,它到三边的距离相等。(2)ABC 中,C=90,AC=b,BC=a,AB=c,则内切圆的半径 r= 。 2cba(3)S ABC = ,其中 a,b,c 是边长,r 是内切圆的半径。)(21cbar(4)弦切角:角的顶点在圆周上,角的一边是圆的切线,另一边是圆的弦。如图,BC 切O 于点 B,AB 为弦,ABC 叫弦切角,AB
6、C=D。 十三、圆与圆的位置关系外离(图 1) 无交点 ;dRr外切(图 2) 有一个交点 ;相交(图 3) 有两个交点 ;内切(图 4) 有一个交点 ;内含(图 5) 无交点 ;r周1rRd周3rRd十四、 圆内正多边形 的计算(1)正 三角形 在 中O是正三角形,有关ABC计算在 中进行:RtOD:1:2DB;DCB AO周2rRd 周4rRd周5rRdNM AOPBAOB OA D- 4 -(2)正四边形同理,四边形的有关计算在 中进行, :RtOAE:1:2AEO(3)正六边形同理,六边形的有关计算在 中进行,B.:1:32ABO十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形:(1)弧长
7、公式: ;180nRl(2)扇形面积公式: 236Sl:圆心角 :扇形多对应的圆的半径 :扇形nR弧长 :扇形面积S2、圆柱: (1)圆柱侧面展开图=2S侧表 底 2rh(2)圆柱的体积: V3、圆锥侧面展开图(1) =侧表 底 2Rr(2)圆锥的体积: 13h十六、补充定理一、圆幂定理1、相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。即: PABCD推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即: 2E2、切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即: 2PACB3、割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等即: CBDE二、两圆公共弦定理圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。ECBA DOBAOS lBAO周周周周周周周周 C1D1DCBA PO DCBAO EDCB AD EC BPAOBAO1 O2B1RrC BAO- 5 -三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式:(1)公切线长: 中, ;12RtOC221ABOC(2)外公切线长: 是半径之差; 内公切线长: 是半径之和 2CO2O1BA