1、 中考专题复习page 1 of 18教学准备一. 教学目标（1）掌握圆的有关概念和计算知道圆由圆心与半径确定，了解圆的对称性通过图形直观识别圆的弦、弧、圆心角等基本元素利用圆的对称性探索弧、弦、圆心角之间的关系，并会进行简单计算和说理探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征掌握垂径定理及其推论，并能进行计算和说理了解三角形外心、三角形外接圆和圆内接三角形的概念掌握圆内接四边形的性质（2）点与圆的位置关系能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”并会作图（3）直线与圆的位置关系能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的
2、位置关系了解切线的概念能运用切线的性质进行简单计算和说理掌握切线的识别方法了解三角形内心、三角形内切圆和圆的外切三角形的概念能过圆上一点画圆的切线并能利用切线长定理进行简单的切线计算（4）圆与圆的位置关系 了解圆与圆的五种位置关系及相应的数量关系能根据两圆的圆心距与两圆的半径之间的数量关系判定两圆的位置关系掌握两圆公切线的定义并能进行简单计算（5）圆中的计算问题掌握弧长的计算公式，由弧长、半径、圆心角中已知两个量求第三个量掌握求扇形面积的两个计算公式，并灵活运用了解圆锥的高、母线等概念结合生活中的实例（模型）了解圆柱、圆锥的侧面展开图会求圆柱、圆锥的侧面积、全面积，并能结合实际问题加以应用能综
3、合运用基本图形的面积公式求阴影部分面积二. 教学难点与重点：与圆的性质有关的计算、开放题以及与圆和多边形结合的探索题是本单元的重点也是难点三. 知识要点：知识点 1：知识点之间的关系中考复习之专题十 圆中考专题复习page 2 of 18圆 切 线 长 切 线 圆 与 圆 的 位 置 关 系系 圆 的 切 线 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 点 与 圆 的 位 置 关 系 垂 径 定 理 及 其 推 论 圆 周 角 、 同 弧 上 圆 周 角 的 关 系 弧 、 弦 与 圆 心 角 与 圆 有 关 的位 置 关 系 圆 的 基 本 性 质 圆 的 对 称 性 两 圆 公 切 线 与 圆 有
4、 关 的 计 算 弧 长 和 扇 形 的 面 积 圆 锥 的 侧 面 积 和 全 面 积 知识点 2：圆的有关性质和计算弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧） 、两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半圆内接四边形的性质：圆的内接四边形对角
5、互补，并且任何一个外角等于它的内对角知识点 3：点与圆的位置关系设点与圆心的距离为 ，圆的半径为 ，dr则点在圆外 ； 点在圆上 ； 点在圆内 rddr过不在同一直线上的三点有且只有一个圆 一个三角形有且只有一个外接圆三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等知识点 4：直线与圆的位置关系设圆心到直线 的距离为 ，圆的半径为 ，ldr则直线与圆相离 ；直线与圆相切 ；直线与圆相交 rddr切线的性质：与圆只有一个公共点；圆心到切线的距离等于半径；圆的切线垂直于过切点的半径切线的识别：如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线到圆心的距离等于半径
6、的直线是圆的切线经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点中考专题复习page 3 of 18三角形的内心到三角形三边的距离相等切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角知识点 5：圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含设两圆心的距离为 ，两圆的半径为 ，则两圆外离d12r、 12dr两圆外切 两圆相交 1212rr两圆内切 d两圆内含 12r两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴由对称性
7、知：两圆相切，连心线经过切点两圆相交，连心线垂直平分公共弦两圆公切线的定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线公切线上两个切点的距离叫做公切线的长 知识点 6：与圆有关的计算弧长公式： 扇形面积公式：180nrl21360nrSl扇 形（其中 为圆心角的度数， 为半径）圆柱的侧面展开图是矩形圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体圆柱的侧面积底面周长高 圆柱的全面积侧面积2底面积圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长圆锥体可以看成是由一
8、个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体圆锥的侧面积 底面周长母线；圆锥的全面积侧面积底面积12例题精讲例 1. ABC 中，AC6，BC8，C 90，以点 C 为圆心，CA 为半径的圆与 AB 交于点 D，求 AD 的长【分析】圆中有关弦的计算问题通常利用垂径定理构造直角三角形求解，所以作 CHAB，这只要求出AH 的长就能得出 AD 的长中考专题复习page 4 of 18【解】作 CHAB，垂足为 HC90，AC6，BC8 AB 10C90， CHAB AB2又AC6， AB10 AH 3.6CHAB AD2AH AD7.2答：AD 的长为 7.2. 【说明】解决与弦有关的问题，往往
9、需要构造垂径定理的基本图形由半径、弦心距、弦的一半构成的直角三角形，它是解决此类问题的关键定理的应用必须与所对应的基本图形相结合，同学们在复习时要特别注重基本图形的掌握例 2. （1）如图，ABC 内接于O，AB 为直径，CAEB，试说明 AE 与O 相切于点 A（2）在（1）中，若 AB 为非直径的弦，CAEB，AE 还与O 相切于点 A 吗？请说明理由【分析】第（1）小题中，因为 AB 为直径，只要再说明BAE 为直角即可第（2）小题中，AB 为非直径的弦，但可以转化为第（1）小题的情形【解】 （1）AB 是O 的直径 C90BACB90又CAEBBACCAE 90即BAE 90AE 与O
10、 相切于点 A.（2）连结 AO 并延长交O 于 D，连结 CD.AD 是O 的直径 ACD90DCAD90又DB B CAD90又CAE B CAECAD90即EAD 90 AE 仍然与O 相切于点 A. 【说明】本题主要考查切线的识别方法渗透了“由特殊到一般”的数学思想方法，这对于学生的探索能力的培养非常重要例 3. 如图，已知O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于 E，连结 AD、BD、OC、OD ，且 OD5中考专题复习page 5 of 18（1）若 ，求 CD 的长sin BAD35（2）若ADO：EDO 4： 1，求扇形 OAC（阴影部分）的面积（结果保留 ） 【分析】图形中有 “
11、直径对直角” ，这样就出现了“直角三角形及斜边上的高”的基本图形，求 CD 的长就转化为求 DE 的长第（ 2）小题求扇形 OAC 的面积其关键是求AOD 的度数，从而转化为求AOD 的大小【解】 （1）AB 是O 的直径， OD5ADB90，AB 10又在 RtABD 中， 3sinBDA BD6ADB90，AB CDBD 2BEABAB10 BE 185在 RtEBD 中，由勾股定理得 DE245 CDE24答：CD 的长为 85（2）AB 是O 的直径，ABCD BA ，BADCDB，AOCAODAODO BADADOCDBADO设ADO 4k，则CDB4kADO EDOEDB 90 得
12、 k1090AOD 180 （OADADO）100AOCAOD100则 SOAC扇 形 1365128答：扇形 OAC 的面积为【说明】本题涉及到了圆中的重要定理、直角三角形的边角关系、扇形面积公式等知识点的综合，考查了学生对基本图形、基本定理的掌握程度求 DE 长的方法很多，可以用射影定理、勾股定理，也可以运用面积关系来求，但都离不开“直角三角形及斜边上的高”这个基本图形解题中也运用了比例问题中的设 k中考专题复习page 6 of 18法，同时也渗透了“转化”的思想方法例 4. 半径为 2.5 的O 中，直径 AB 的不同侧有定点 C 和动点 P已知 BC ：CA4 ： 3，点 P 在半圆
13、AB 上运动（不与 A、B 两点重合） ，过点 C 作 CP 的垂线，与 PB 的延长线交于点 Q.（1）当点 P 与点 C 关于 AB 对称时，求 CQ 的长；（2）当点 P 运动到半圆 AB 的中点时，求 CQ 的长； （3）当点 P 运动到什么位置时，CQ 取到最大值？求此时 CQ 的长【分析】当点 P 与点 C 关于 AB 对称时，CP 被直径垂直平分，由垂径定理求出 CP 的长，再由 RtACBRtPCQ ，可求得 CQ 的长当点 P 在半圆 AB 上运动时，虽然 P、Q 点的位置在变，但PCQ 始终与ACB 相似，点 P 运动到半圆 AB 的中点时，PCB 45，作 BEPC 于点
14、 E， CPPEEC. 由于 CP与 CQ 的比值不变，所以 CP 取得最大值时 CQ 也最大【解】 （1）当点 P 与点 C 关于 AB 对称时，CP AB，设垂足为 DAB 为O 的直径， ACB90AB5，AC： CA4：3BC4，AC3SRt ACB ACBC ABCD21 1,.5CDP 在 RtACB 和 RtPCQ 中， ACB PCQ90，CABCPQ Rt ACB RtPCQ ABPQ 5324PCC（2）当点 P 运动到弧 AB 的中点时，过点 B 作 BEPC 于点 E（如图） P 是弧 AB 的中点，又CPBCABCPB tanCAB 43中考专题复习page 7 of
15、 18 32,tan4BEPC 从而 7由（1）得， 412.3QP（3）点 P 在弧 AB 上运动时，恒有 PCABCQ34故 PC 最大时，CQ 取到最大值当 PC 过圆心 O，即 PC 取最大值 5 时，CQ 最大值为 20【说明】本题从点 P 在半圆 AB 上运动时的两个特殊位置的计算问题引申到求 CQ 的最大值，一方面渗透了“由特殊到一般”的思想方法，另一方面运用“运动变化”的观点解决问题时，寻求变化中的不变性（题中的 RtACB RtPCQ）往往是解题的关键例 5. 如图，PA，PB 是O 的切线，A，B 为切点， OAB30（1）求APB 的度数； （2）当 OA3 时，求 AP
16、 的长【点评】本题用到的知识点较多，主要知识点有：圆的切线的性质；等腰三角形的性质；四边形内角和定理；垂径定理；锐角三角函数等【解】 （1） 在ABO 中， OAOB，OAB 30，AOB180230120，PA、PB 是O 的切线，OAPA，OBPB ，即OAPOBP90 AOB+APB=180APB=60（2）如图，作 ODAB 交 AB 于点 D，在OAB 中，OAOB，AD AB，12在 RtAOD 中，OA3，OAD30，ADOAcos30 ，APAB3例 6. 如图，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件， 它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”中考专题复习page 8 of 1
17、8一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径 AB12cm，高 BC8cm，求这个零件的表面积 （结果保留根号）【解】这个零件的底面积 （ ） 236 cm2 1这个零件的外侧面积12 896 cm2 圆锥母线长 OC 10cm 218()这个零件的内侧面积 12 1060 cm2，12这个零件的表面积为：36 96 60 192 cm2 例 7. 如图，O 是圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦 AD， 沿母线 AB 剖开，得剖面矩形ABCD，AD 24cm，AB25cm，若 AmD 的长为底面周长的 ，如图所示：3（1）求O 的半径；（2）求这个圆柱形木块的表面积 （结果可保留根号）【解
18、】 （1）连结 OA、OD，作 OEAD 于 E，易知AOD120，AE12cm，可得 AOr 8 cm sin60A3（2）圆柱形木块的表面积2S 圆 S 圆柱侧 （384 400 ）cm 2例 8. 在图 1 和图 2 中，已知 OAOB，AB24，O 的直径为 10. （1）如图 1，AB 与O 相切于点 C，试求 OA 的值；（2）如图 2，若 AB 与O 相交于 D、E 两点，且 D、E 均为 AB 的三等分点，试求 tanA 的值（1） 【解】连结 OC，AB 与O 相切于 C 点，OCA90，OAOB，ACBC12 在 RtACO 中， OA 13 2215A中考专题复习page
19、 9 of 18（2）作 OFAB 于点 F，连结 OD，DFEF ；AFAD DF8412，在 RtODF 中，OF 3，2254OD在 RtAOF 中，tanA 31A例 9. 如图，在ABC 中，C90 ，以 BC 上一点 O 为圆心，以 OB 为半径的圆交 AB于点 M，交 BC于点 N（1）求证：BABMBCBN；（2）如果 CM 是O 的切线，N 为 OC 的中点，当 AC 3 时，求 AB 的值（1） 【证明】连接 MN 则BMN90 ACB ，ACBNMB， ，ABBM BCBN BCAMN（2） 【解】连接 OM，则OMC90 ，N 为 OC中点， MNONOM，MON60，
20、OMOB ， B MON30 12ACB90，AB2AC236 例 10. 已知：如图，ABC 内接于O，点 D 在 OC 的延长线上，sinB ，CAD3012（1）求证：AD 是O 的切线；（2）若 ODAB ，BC5，求 AD 的长（1） 【证明】如图，连结 OA，因为 sinB ，12中考专题复习page 10 of 18所以B30，故 O60，又 OAOC，所以ACO 是等边三角形，故OAC60，因为CAD30 ，所以OAD90，所以 AD是O 的切线 （2） 【解】因为 ODAB，所以 OC 垂直平分 AB，则 ACBC5，所以 OA5， 在OAD 中，OAD90，由正切定义，有 tanAOD ，所以 AD5 ADO3课后练习一、填空题1. 已知扇形的圆心角为 120，半径为 2cm，则扇形的弧长是 _cm，扇形的面积是_cm 22. 如图，两个同心圆中，大圆的半径 OA4cm，AOBBOC60，则图中阴影部分的面积是_cm23. 圆锥的底面半径为 6cm，高为 8cm，那么这个圆锥的侧面积是_cm 24. 如图， O 的半径为 4cm，直线 lOA， 垂足为 O， 则直线 l 沿射线 OA方向平移_cm 时与O 相切 5. 两圆有多种位置关系，图中不存在的位置关系是_
