1、1第四讲：旋转和圆的基础知识一、旋转（一） 概念：1.旋转：如果一个图形绕某一个定点沿某一个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心,转动的角度称为旋转角.例：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转，点 A、B、C 分别移动到什么位置？ 来源:学_科_网 Z_X_X_K 2 .中心对称图形：图形绕着中心旋转 180后与自身重合称中心对称图形（如：平行四边形、圆等） 。（二） 性质1旋转的性质：来源:学科网 旋转 不改变图形的形状和大小(即旋转前后的两个图形全等 ). 任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等(都是旋转角). 经过旋转,对应 点到旋转中心的
2、距离相等22.旋转三要点:旋转中心,方向,角度.二、圆（一）.圆的相关概念 1、圆的定义在一个个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。2、圆的几何表示以点 O 为圆心的圆记作“O” ，读作“圆 O”(二).弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。 （如图中的 AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。 （如途中的 CD）直径等于半径的 2 倍。（3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
3、弧用符号“”表示，以 A，B 为端点的弧记作“ ”，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”。大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示） ；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）三、垂径定理及其推论 3EDCBA AD BC垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径 平分弦 知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧
4、四、圆的对称性 1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。第五讲：圆心角和圆周角课堂练习：1如图，弦 AD=BC，E 是 CD 上任一点（C，D 除外） ，则下列结论不一定成立的是（ ）4CD ABBEOE D CBAO CBAO CBAAB CDO DCBAA. = B. AB=CD C. AED=CEB. D. =2. 如图，AB 是 O 的直径，C，D 是 上的三等分点，AOE=60 ，则COE 是（ ）A 40 B. 60 C. 80 D. 120 3. 如图，AB 是 O 的直径， = ,A=25， 则B
5、OD= .BC BD 4.在O 中, = , A=40,则C= .AB AC 5. 在O 中, = , ACB=60.求证: AOB = BOC = AOC. AB AC 课堂检测1 如果两个圆心角相等，那么（ ）A这两个圆心角所对的弦相等。 B 这两个圆心角所对的弧相等。C 这两个圆心角所对的弦的弦心距相等。 D 以上说法都不对2在同圆中，圆心角AOB=2COD，则 与 的关系是（ ）5ONMDC BAOCBAA =2 B. C. 2 D. 不能确定AB CD AB CD AB CD 3. 在同圆中， = ,则（ ）AB BCA AB+BC=AC B AB+BCAC C AB+BCAC D.
6、 不能确定4下列说法正确的是（ ）A等弦所对的圆心角相等 B. 等弦所对的弧相等C. 等弧所对的圆心角相等 D. 相等的圆心角所对的弧相等5如图，在O 中，C、D 是直径上两点，且 AC=BD，MCAB，NDAB，M、N 在O 上。求证： = AM BN二、圆周角课堂练习：1下列说法正确的是（ ）A 相等的圆周角所对弧相等形 B 直径所对的角是直角C 顶点在圆上的角叫做圆周角 D 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。2如图，ABC 内接于O，若OAB=28，则C 的大小为（ ）A . 28 B. 56 C. 60 D. 626O CBA 21 OEDCBAO
7、D CBAOD CBAOCBA3.如图,在O 中, ABC=40 ,则AOC= . 4. 如图,AB 是O 的直径,C,D,E 都是圆上的点,则1+2= .5.如图,AB 是O 的直径,BD 是O 的弦,延长 BD 到 C,使 AC=AB.求证:BD=CD. 三、课堂检测1. 如图,AB 是O 的直径, BC,CD,DA 是O 的弦,且 BC=CD=DA,则BCD=( ).A . 100 B. 110 C. 120 D1302. 如图,O 是ABC 的外接圆,AB 是直径,若BOD=80,则A=( )A . 60 B. 50 C. 40 D307OCBAO DCBAOEDCBA3.如图,A,B
8、,C 是O 上三点, AOC=100, 则ABC= .4. 如图,正方形 ABCD 内接于O,点 E 在劣弧 AD 上, 则BEC 等于 5. 如图,在O 中, ACB=BDC=60,AC= ,(1)求BAC 的度数;(2)求O 的周长. 32四小结1,圆周角与圆心角的概念比较接近,因此容易混淆,要结合图形观察角的位置进行判断.2.一条弦所对的 圆周角有两种(直角除外),一种是锐角，一种是钝角。3有关圆的计算常用勾股定理计算，因此构造直角三角形是解题的关键。8第六讲：圆的知识复习一、圆的基本性质1 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分
9、弦所对的弧。垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。来源:学科网 ZXXK圆周角定理推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径。例 1 如图，在半径为 5cm 的O 中，圆心 O 到弦 AB 的距离为 3cm，则弦 AB 的长是（ ）A4cm B6cm C8cm D1
10、0cm例 2、如图，A 、B、C、D 是 O 上的三点， BAC=30，则 BOC 的大小是( )A、60 B、45 C、30 D、15例 3、如图 1 和图 2，MN 是 O 的直径，弦 AB、CD 相交于 MN上的一点P， APM=CPM（1 ）由以上条件，你认为 AB 和 CD 大小关系是什么，请说明理由（2 ）若交点 P 在O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由9FOED CBAPBOACDBA CEDPONMFBACEDPNMF(1) (2)例 4：如图,AB 是O 的直径，C 是 的中点，CEAB 于 E，BD 交 CE 于点 F。 BD求证：CF=BF 练习：1、 已知：如图，AB 为O 的直径，弦 CD 交 AB 于 P，且APD 60，COB30，求ABD 的度数10EDOCAB2、 如图，ABC 中，ABAC ，A 80，以 AB 为直径的半圆交 AC 于 D，交 BC 于 E求所对圆心角的度数ADEB、 、
