1、初三数学复习统计初步的有关知识一. 本周教学内容：复习统计初步的有关知识知识要点平均数、众数、中位数、方差、标准差等都是统计学中的基本统计量。其中平均数、众数及中位数是从不同角度描述一组数据的集中趋势的特征数；方差和标准差都是用来衡量一组数据相对它们的平均数的离散程度的大小。（一）平均数、众数与中位数1. 总体、个体、样本和样本容量。总体是考察对象的全体，总体中的每一个考察对象叫做个体。从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量。2. 平均数。设 样 本 数 据 为 ， ， ， 那 么 样 本 平 均 数 为 ： x xnxn n12 12()加 权 平 均 数
2、， 其 中 ，fxfffi i12 12( )3. 中位数、众数。中位数：将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间位置的一个数据， （或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。4. 众数、中位数、平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势，其中以平均数的应用最为广泛。（二）方差与标准差1. 方差：（1）定义：样本中各数据与样本平均数的差的平方的平均数叫做该样本的方差。（2）方差的计算公式：Snxxxn1222()()()（3）方差的简化计算公式：xxn2122()（4）数据的规律变化对平均数、方差的影响。数 据 平 均 数 方 差 xn
3、12， ， x S2 axa， ， a kxkn12， ，kx k2 x， ， S 2. 标准差：样本方差的算术平方根叫做样本标准差Snxxxn1222()()()3. 样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的特征数，样本方差、标准方差越大，表明样本数据的波动就越大，也就是说稳定性越差。（三）频率分布：1. 频率分布：频率分布反映的是样本数据在各个小范围内所占比例的大小，从而估计总体的分布规律。2. 获得一组数据频率分布的一般步骤：（1）计算最大值与最小值的差。（2）决定组距和组数。（3）决定分点。（4）列频率分布表。（5）画频率分布直方图。3. 有关的名词：在频率分布表里，落在各小组内
4、的数据的个数叫做频数；每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率。即 ： 频 率 频 数数 据 总 数 频 数样 本 容 量在频率分布直方图里：小 长 方 形 的 面 积 组 距 频 率组 距 频 率小 长 方 形 的 高 频 率组 距 组 距 数 据 总 数 频 数1例 1. 为了考察北京市初中毕业升学数学考试的情况，从十二万五千考生中抽取了 1200 名考生的成绩，在下列说法中正确的是（ ）A. 十二万五千名考生数学考试成绩的总和是总体B. 每个考生考试成绩是个体C. 1200 名考生是样本D. 1200 名考生的成绩是样本容量分析：本题主要考查对四个基本概念的理解，这里的考察对象是
5、考生的“数学成绩” ，而不是“学生” 。因此，十二万五千名考生的数学考试成绩是总体，每个考生的数学考试成绩是个体。1200 名考生的数学考试成绩是总体的一个样本，1200 是样本容量，故选 B。例 2. 为制定本市初中一、二、三年级学生校服的生产计划，有关部门准备对 180 名初中男生的身高作调查，现有三种调查方案：A. 测量少年体校中 180 名男子篮球、排球队员的身高B. 查阅有关外地 180 名男生身高的统计资料C. 在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学，在这几所学校有关年级的（1）班中，用抽签的方法分别选出 10 名男生，然后测量他们的身高为了达到估计本市初中这三个年级男
6、生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理，为什么？分析：本题要求从所给的三种调查方案中选出合理的方案并阐释理由，这需要领悟统计的基本思想，才能做出正确选择及合理说明。解：方案 C 比较合理，因为方案 C 采用了随机抽样的方法，随机抽样比较具有代表性，符合用样本估计总体的统计思想。例 3. 求下列各组数据的平均数。（1）0.1，0.3，0.6，0.2，0.4（2）39，29，31，36，38，37（3）3.7，3.5，3.5，3.6，3.5，3.7，3.7分析：（1）中有五个数据，大小比较分散，宜用定义法。（2）中的六个数据，都比较接近 35，可用新数据法。（3）中一些数据重复出现
7、多次，可选择加权平均数公式来求。解： ()(.)50136024x.（2）取 a=35，用原数据分别减去 35，得到新数据是：4，6，4，1，3，2 x()41320 原 数 据 的 平 均 数 是 xa35（3）数据中 3.7 出现 3 次，3.5 出现 3 次，3.6 出现 1 次则 x173536(.)2.例 4. 某公司欲聘请一位员工，三位应聘者 A、B、C 的原始评分如下表评 分 项 目 原 始 评 分 应 聘 人 仪 表 工 作 经 验 电 脑 操 作 社 交 能 力 工 作 效 率 A 4 5 5 3 3 B 4 3 3 4 4 C 3 3 4 4 5 如果按五项原始评分的平均数
8、评分，谁将被聘用？如果按仪表、工作经验、电脑操作、社交能力、工作效率的原始评分分别占 10%、15%、20%、25%、30%综合评分，谁将被聘用？解： () .14368计 算 可 得 ： ， ， 按 原 始 评 分 的 平 均 分 ， 应 聘xxABC人 A 最高，将被录用。（2）按第二种方法综合评分，得 xA=3.8，x B=3.65，x C=4.05，故应聘人 C 得分最高，将被录用。注：按原始评分的平均数评分，突出了“工作经验”和“电脑操作” ，按后一项方法综合评分突出“社交能力”和“工作效率” ，各有所长。例 5. 一家鞋店在一段时间里销售了某种女鞋 20 双，其中各种尺码的鞋的销售
9、量如表所示：鞋 的 尺 码 (cm) 30 28 20 23 21 25 销 售 量 （ 双 ） 5 1 2 3 5 4 指出这组数据的众数、中位数。分析：数据频数最高的数就是众数，由于 20 是偶数，所以排在最中间的两个数据的平均数是中位数。解：这组数据中，30、21 出现的频数都是 5，最多，因此众数是 30cm，21cm，将这 个 数 据 进 行 排 列 ， 最 中 间 的 两 个 数 为 ， ， 故 中 位 数 为 。20 232354cm注：1. 一组数据中的众数可能不止一个。2. 本题求中位数，在排列数据时，易犯如下错误：排列数据 20，21，23，25，28，30中 位 数 为
10、。2354cm例 6. 有 14 个数据，由小到大排列，其平均数为 34，现在有一位同学求得这组数据前 8 个数的平均数为 32，后 8 个数的平均数为 36，求这组数据的中位数。分析：这一组数据共有 14 个数，且排列顺序是由小到大排列的，那么中位数应该是最中间两个数据的平均数，只需求出最中间两个数据或它们的和即可。解：设这组数据前 6 个数据的和为 x，中间两数据的和为 y，后 6 个数据的和为 z，由题意，得：xyz34128，得 y=68最中间两个数据的平均数为 34，故这 14 个数的中位数是 34。例 7. 如图所示，ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC=120 毫米，高 AD=
11、80 毫米，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，设该矩形的长 QM=y 毫米，宽 MN=x 毫米。（1）求 y 与 x 之间的函数关系式。（2）当 x 与 y 分别取什么值时，矩形 PQMN 的面积最大？最大面积为多少？（ 3） 当 矩 形 PQMN 的 面 积 最 大 时 ， 它 的 长 和 宽 是 关 于 t 的 一 元 二 次 方 程tptqpqab00 10235的 两 个 根 ， 而 、 的 值 又 恰 好 分 别 是 ， ， ， ， 这个数据的众数与平均数，试求 a 与 b 的值。分析：本题综合性强，内容涉及几何、函数、方程、统计
12、知识。解：（1）由题意知，APNABC ， 即 ，PNBCAEDyxyx1208120380()（2）设矩形 PQMN 的面积为 S则 ，Sxyxxx()()()32422 当 时 ， 有 最 大 值 ， 此 时Sy404006故当 x=40 毫米，y=60 毫米时，矩形 PQMN 面积最大，最大面积为 2400 平方毫米。()36140212由 根 与 系 数 的 关 系 ， 得 pqa，10，12，13，b 众数为 10a=10 或 b=10当 时 ， 有 ， ab1010235125当 b=10 时，同理可得 a=15。例 8. 从甲、乙两种农作物中各抽取 10 株苗，分别测得它们的苗高
13、如下（单位：cm）：甲：9，10，11，12，7，13，10，8，12，8；乙：8，13，12，11，10，12，7，7，9，11。问：（1）哪种农作物的苗长得比较高？（2）哪种农作物的苗长得比较整齐？分析：比较两种农作物苗高的平均数可得出哪种农作物长得高，计算出两种农作物苗高的方差，通过比较可得出哪种农作物长得比较整齐。解： ()()1091810 甲x乙 832() 甲 乙x两种农作物的苗平均高度相同。()()()().21091081036222S甲 乙2222834()()(). 甲 乙S2甲种农作物的苗长得比较整齐。答：甲、乙两种农作物的苗长得一般高，甲种农作物的苗长得比较整齐。例
14、9. 一组数据 1，2，3，x，1，2，3，其中 x 是小于 10 的正整数，且数据的方差是整数，求该数据的方差。分析：本组数据中有未知数据，要求方差，必须先求出未知数据，而建立方差与未知数据之间的关系是解决本题的关键。解： xxx17231237() S x222222()()1728746922()(xx又x 是小于 10 的正整数，S 2是整数x=7当 时 ， 该 数 据 的 方 差 。x746791022例 10. 在对某班的一次数学测验成绩进行统计分析中，各分数段的人数如图所示（分数取正整数，满分为 100 分） ，请观察图形，并回答下列问题：（1）该班有_名学生；（2）69.579
15、.5 这一组的频数是_，频率是_；（3）请估算该班这次测验的平均成绩。分析：图表反映了每一分数段所对应的人数，这是理解图表语言的关键。解：（1）该班人数为：6+8+10+18+16+2=60（人）(). .269571818603分 数 为 这 一 组 的 有 人 ， 故 频 率 为 ()( )()3104650759271x分该班这次测验的平均成绩约为 71 分。1. 一组数据 2，4，6，a，b 的平均数为 10，（1）求 a，b 的平均数。（2）求 4a+7，4b+10 的平均数。2. 有 10 个样本数据，2 出现过 4 次，2.5 出现过 4 次，3 出现过 2 次，求样本平均数和方
16、差。3. 已知数据 a，a，b，c，d，b，c，c，且满足 abcd，求这组数据的众数、中位数、平均数。4. 已知一组数据的方差为 S2，将这组数据中的每个数都乘以 R，证明所得的一组新数的方差是 R2S2。5. 已知一组数据 4，8，x，5，9 的平均数为 y，且 x、y 是方程 Z210Z240 的两根，求这组数据的众数、中位数及平均数。6. 某班有 48 名学生，在一次数学测验中，此班学生中最高得分 100 分，最低得分 51 分，分数只取整数，统计其成绩，绘制出频率分布直方图如图，图中从左到右的小长方形的高度比是 1：3：6：4：2，求分数在 70.5 到 80.5 之间的人数。7.
17、一次科技知识竞赛，两组学生成绩统计如下表： 分 数 50 60 70 80 90 10 甲 组 2 5 10 13 14 6 人数 乙 组 4 4 16 2 12 12 已经算得两个组的人均分都是 80 分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁劣，并说明理由。参考答案 1. （1）19 （2）84.52. xS401.，3. 众数 c；中位数 ；平均数 。bc2238abcd5. 解：x、y 是方程 的两根。Z104x46或又当 x=6 时，数据 4，8，x，5，9 的平均数不可能为 4，故 舍去。xy6 原数据为 4，8，4，5，9xy6众数为 4，中位数为 5，平均数为 6。6. 18 人7. 解：（1）从众数看，甲为 90 分，乙为 70 分，甲组成绩较好。（2）从中位数看，两组中位数均为 80 分，但在 80 分以上（包括 80 分） ，甲组有 33 人，乙组有 26人，甲组人数多于乙组人数，甲组成绩较好。（3）从方差看， S甲 乙，221756 S甲 乙2从成绩的稳定情况比较，甲组成绩优于乙组。（4）甲组成绩高于 90 分的人数有 20 人，乙组成绩高于 90 分（包括 90 分）的人数 24 人，这说明，乙组成绩集中在高分段的人数较多，同时乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多 6 人，从“优生层”看，乙组的成绩较好。
