1、- 1 -二次函数知识点归纳1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.cbaxy,(2)0ayx2.二次函数 的性质2axy（1）抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴.y（2）函数 的图像与 的符号关系.2xy当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；0a当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点 .（3）顶点是坐标原点，对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 .y 2axy）（ 03.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线.cbxay24.二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中 .2 khxay2 abckbh422，5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
2、 ； ； ；2kaxy22hxy； .khxay2 cbxay26.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下；0a0a相等，抛物线的开口大小、形状相同.a平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .yhxyx7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开口a大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法： ，顶点是 ，对称轴是直线abcxacbaxy4222 ），（ abc422.bx（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形
3、式，得到顶点为( , )，khxy2 hk对称轴是直线 .hx（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.- 2 -用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线 中， 的作用cbxay2ba,（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.2axy（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置 .由于抛物线 的对称轴是直线cbxay2，故： 时，对称轴为 轴； （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧；abx0y0b y（即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧.0（3） 的大小决
4、定抛物线 与 轴交点的位置.c cbxay2y当 时， ，抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）：xc2 c ，抛物线经过原点 ; ,与 轴交于正半轴； ,与 轴交于负半轴.0c0cy0cy以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .0ab10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标2axy（ 轴）0xy（0,0）k（ 轴） (0, )k2hxyhx( ,0)hka( , )kcbxy2当 时0a开口向上当 时开口向下 abx2( )abc422，11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的
5、值，通常选择一般式.cbxay2 xy（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.kh（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： .x1x2 21xay12.直线与抛物线的交点（1） 轴与抛物线 得交点为(0, ).ycbay2 c（2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).hxbxayhcba2- 3 -（3）抛物线与 轴的交点x二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程cbay2x1x2的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判02cbxa定：有两个交点 抛物线与 轴相交；x有一个交
6、点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；x0x没有交点 抛物线与 轴相离.0（4）平行于 轴的直线与抛物线的交点x同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.kkcbxa2（5）一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，由方程组 knxyl 02acbxyG的解的数目来确定： 方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; 方程组只cbak2 l有一组解时 与 只有一个交点；方程组无解时 与 没有交点.lGl（6）抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为 ，由于x cbxay2 021， xB
7、A、 是方程 的两个根，故12 02cbaxx21, acbacbxxAB 442221212121- 4 -二次函数图象的平移（左加右减）1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；2yaxhkhk， 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：2yax ， 【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0)【|k|【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22. 平移规律在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二： 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成cbxay2ymcbxay2（或 ）mcbxa2 沿轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成cxy2 cxy2（或 ）bxa)()( cmxbxy)()(2
