1、第- 1 - 页 二次函数知识点归纳及提高训练1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.cbaxy,(2)0ayx2.二次函数 的性质2ax(1)抛 物 线 的 顶 点 是 坐 标 原 点 ， 对 称 轴 是 轴 .(2)函 数 的 图 像 与 的 符 号 关 系 .y）（ 0y2a 当 时 抛 物 线 开 口 向 上 顶 点 为 其 最 低 点 ； 当 时 抛 物 线 开 口 向 下 顶 点 为 其 最 高 点3.二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合) 轴的抛物线.cb24.二 次 函 数 用 配 方 法 可 化 成 ： 的 形 式 ， 其 中 .xakhxa2 abc
2、kbh422，5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ； ； ； ； .2yky22yy2xay6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 决 定 抛 物 线 的 开 口 方 向 ：a当 时 ， 开 口 向 上 ； 当 时 ， 开 口 向 下 ； 相 等 ， 抛 物 线 的 开 口 大 小 、 形 状 相 同 .00aa平行于 轴(或重合)的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .yhxy0x7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开口a大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法： ， 顶点是 ，对称轴
3、是直线 .abcxacbxy4222 ），（ bc422abx2(2)配 方 法 ： 运 用 配 方 法 将 抛 物 线 的 解 析 式 化 为 的 形 式 ， 得 到 顶 点 为 ( , )， 对 称 轴 是 .khxyhkh(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9.抛物线 中， 的作用cbxay2a,(1) 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.2xya(2) 和 共 同 决 定 抛 物 线 对 称 轴 的 位 置 .由
4、 于 抛 物 线 的 对 称 轴 是 直 线 ,故 ：b cbx2 abx2 时 ， 对 称 轴 为 轴 ； (即 、 同 号 )时 ,对 称 轴 在 轴 左 侧 ；0y0ay (即 、 异 号 )时 ,对 称 轴 在 轴 右 侧 .aby(3) 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.ccbx2当 时， ，抛物线 与 轴有且只有一个交点(0， )：0xcy2yc ，抛物线经过原点; ,与 轴交于正半轴； ,与 轴交于负半轴.00cy以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .0ab10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标2axy
5、( 轴)0xy(0,0)k( 轴) (0, )khh( ,0)hxy2当 时0a开口向上当 时开口向下 x( , )第- 2 - 页 cbxay2 abx2( )abc422，第- 3 - 页 11.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.cbxay2 xy(2)顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.kh(3)交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： .1x2 21xa12.直线与抛物线的交点(1) 轴与抛物线 得交点为( )ycbaxy2c,0(2)与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).h
6、bay2 hcb2(3)抛物线与 轴的交点二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程2x1x2的 两 个 实 数 根 .抛 物 线 与 轴 的 交 点 情 况 可 以 由 对 应 的 一 元 二 次 方 程 的 根 的 判 别 式 判 定 ：02cbxa有两个交点 抛物线与 轴相交；有一个交点(顶点在 轴上) 抛物线与 轴相切；x0没有交点 抛物线与 轴相离.x(4)平行于 轴的直线与抛物线的交点x同(3)一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.kkcbax2(5)一次函数 的图像
7、与二次函数 的图像 的交点，由方程组knyl 02acbxyG的解的数目来确定：cx2方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; lG方程组只有一组解时 与 只有一个交点；方程组无解时 与 没有交点.l(6)抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为 ，由于cbxay2 021， xBA、 是方程 的两个根，故 1x202cbxa ac211,baxAB 4422212113二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程 就是二次函数 当函数 y 的值为 0 时的情况cbxaycy(2)二 次 函 数 的 图 象 与 轴 的 交 点 有 三 种 情 况 ： 有 两 个 交 点 、
8、有 一 个 交 点 、 没 有 交 点 ；2当 二 次 函 数 的 图 象 与 轴 有 交 点 时 ， 交 点 的 横 坐 标 就 是 当 时 自 变 量 的 值 ，x x即 一 元 二 次 方 程 的 根 0(3)当二次函数 的图象与 轴有两个交点时，则一元二次方程 有两个不cbxay2 cbay2相等的实数根；当二次函数 的图象与 轴有一个交点时，则一元二次方程cbay2x有两个相等的实数根；当二次函数 的图象与 轴没有交点时，则一02cbxa cbay2x元二次方程 没有实数根214.二次函数的应用：(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；(2)二次函
9、数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出第- 4 - 页 它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等提高训练一、 填空题:1. 已知函数 y=(m+2)xm(m+1)是二次函数,则 m=_.2. 二次函数 y=-x2-2x 的对称轴是 x=_3. 函数 s=2t-t2,当 t=_时有最大值,最大值是_.4. 已知抛物线 y=ax2+x+c 与 x 轴交点的横坐标
10、为-1,则 a+c=_.5. 抛物线 y=5x-5x2+m 的顶点在 x 轴上,则 m=_.6. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点,那么一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的情况是_.7. 已知二次函数 y=x2-2x-3 的图象与 x 轴交于 A,B 两点,在 x 轴上方的抛物线上有一点 C,且ABC 的面积等于 10,则点 C 的坐标为_.8. 把抛物线 y=2(x+1)2 向下平移_单位后,所得抛物线在 x 轴上截得的线段长为 5.9. 如果二次函数 y=x2-3x-2k,不论 x 取任何实数,都有 y0,则 k 的取值范围是_10.函数 y=ax2+bx
11、+c(a,b,c 是常数)问当 a,b,c 满足什么条件时：(l）它是二次函数 ；(2）它是一次函数 ；(3）它是正比例函数 ；二.选择题:13.抛物线 y=(x-1)2+1 的顶点坐标是 ( )(A) (1,1) (B) (-1,1) (C) (1,-1) (D) (-1,-1)14.抛物线 y=-x2+x+7 与坐标轴的交点个数为( )(A) 3 个 (B) 2 个 (C) 1 个 (D) 0 个15.把抛物线 y=x2+bx+c 的图象向右平移 3 个单位,再向下平移 2 个单位,所得图象的解析式是 y=x2-3x+5,则有( )(A) b=3,c=7 (B) b=-9,c=-15 (C
12、) b=3,c=3 (D) b=-9,c=2116.若二次函数 y=ax2+c,当 x 取 x1,x2(x1x 2)时,函数值相等,则当 x 取 x1+x2 时,函数值为(A) a+c (B) a-c (C) -c (D) c17.当 a,b 为实数，二次函数 y=a(x-1)2+b 的最小值为-1 时有( )(A) ab (D) ab 18.已知函数 y=3x2-6x+k(k 为常数)的图象经过点 A(0.85,y1)， B(1.1,y2),C( ,y3),则有( )(A) y1y2y3 (C) y3y1y2 (D) y1y3y219 如果二次函数 y=ax2+bx+c 的顶点在 y=2x2
13、-x-1 的图象的对称轴上，那么一定有( )(A) a=2 或-2 (B) a=2b (C) a=-2b (D) a=2,b= -1,c=-1 20 抛物线 y=ax2+bx+c(a0.以下结论(1)a+b0;(2)a+c0;(3)-a+b+c0;(4)b 2-2ac5a2 其中正确的个数有( )(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个三解答题：22已知抛物线 y= x2-2x-8（1）求证：该抛物线与 x 轴一定有两个交点；第- 5 - 页 （2）若该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A、B，且它的顶点为 P，求ABP 的面积。23抛物线 y= ax2+bx+c 经过
14、A(1,4)、B(-1,0)、C(-2,5)三点（1）求抛物线的解析式并画出这条抛物线；（2）直角坐标系中点的横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点。试结合图象，写出在第四象限内抛物线上的所有整点的坐标。24某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利过程。下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润 s（万元）与销售时间 t（月）之间的关系（即前 t 个月的利润总和 s 和 t 之间的关系） 。根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润 s（万元）与时间 t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到 30 万
15、元；（3）求第 8 个月公司所获利润是多少万元？-11243-1 1 2 3 4 5 6 t（月）S(万元)(第 24 题)25已知抛物线 y= ax2+bx+c 开口向下，并且经过 A（0，1）和 M（2，-3）两点。（1）若抛物线的对称轴为直线 x= -1,求此抛物线的解析式；（2）如果抛物线的对称轴在 y 轴的左侧，试求 a 的取值范围；第- 6 - 页 A、 4 B、 -4 C、-2 D、 27、零不是（ ） 。A、非负数 B、有理数 C、正数 D、整数8、下列说法错误的是（ ） 。A、-0.5 是分数 B、0 不是正数也不是负数 C、 -2.74 是负分数 D、非负数就是正数9、下列
16、说法正确的是（ ）(A)一个数的平方必是非负数； (B)一个数的平方必大于这个数；(C)一个数的奇次方是负数； (D)一个数的奇次方是正数。三 计算：-14-(1-0.5) 2-(-3) 2 )36()(12436131);20()10()3(2;)()3(4124322)10()1212814.3214.3514.3 2316.91 4（10.5） 2（3） 22.、用“” “” “=” 填空：（1）若 ab0c,则 0_cba;(2）若 a0bc,则 0_cba3、观察算式： 9213 3213 1043213 第- 7 - 页 按规律填空： _10.432133 _.432133 n。4、小吃店一周中每天的盈亏情况如下（盈余为正）：128.3 元，-25.6 元，-15 元，27 元，-7 元，36.5 元，100 元,一周总的盈亏情况如何？测得某小组 10 位同学身高如下（单位：厘米）162，160，157，161，156，153，165，157，162，178请用简便方法计算 10 位同学的平均身高。5 如果 a、b 互为相反数（a、b 均不为 0） ，c、d 互为倒数，|m|=2，求 + 的值2m6 阅读：计算： 1094321解： 10941 ； 1094312 01 9计算： 20143121 20197513
