1、 优派思！ you pass！作业全托、单科辅导 咨询电话：0575-86932137二次函数应用题专题训练知识要点：二次函数的一般式 ( )化成顶点式 ，如果自变cbxay20aabcxay4)2(2量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值） 即当 时，函数有最小值，并且当 ， ；0ab2c4最 小 值当 时，函数有最大值，并且当 ， axaby2最 大 值如果自变量的取值范围是 ，如果顶点在自变量的取值范围 内，则当21 21x， ，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增abx2abcy42最 值减性；如果在此范围内 随 的增大而增大，则当 时，x2
2、x，当 时， ；x2最 大 1 cbay1最 小如果在此范围内 随 的增大而减小，则当 时， ，当 时，y cbxay12最 大 2xcbay2最 小在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1运用配方法求最值；2构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3建立函数模型求最值；4利用基本不等式或不等分析法求最值例 1：求下列二次函数的最值：（1）求函数 的最值32xy解： 4)(
3、2xy当 时， 有最小值 ，无最大值（2）求函数 的最值2 )30(x解： )1(2 ，对称轴为30x1x当 123有 最 大 值时； 当有 最 小 值时 yy例 2：某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：每涨价 1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件 元，利润为 元，xy为涨价时的利润， 为降价时的利润1y2y则： )103)(406(优派思！ you pass！作业全托、单科辅导 咨询电话：0575-86932137)601(02x5)当
4、 ，即：定价为 65 元时， （元）5x 250maxy)3(46(2y120x65.当 ，即：定价为 57.5 元时， （元）.x 6125maxy综合两种情况，应定价为 65 元时，利润最大练习：1某商店购进一批单价为 20 元的日用品，如果以单价 30 元销售，那么半个月内可以售出400 件根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高 1 元，销售量相应减少20 件如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？解：设每件价格提高 元，利润为 元，xy则： )204)(30(xy1252当 ， （元）5xmax答：价格提高 5 元，才能在半个月内获得最大利润2某旅行社组团去外地旅
5、游，30 人起组团，每人单价 800 元旅行社对超过 30 人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低 10 元你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？解：设旅行团有 人 ，营业额为 元，x)30(y则： 18y25)(当 ， （元）5x30max答：当旅行团的人数是 55 人时，旅行社可以获得最大营业额例 3： 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 (元) 与x产品的日销售量 (件)之间的关系如下表：y若日销售量 是销售价 的一次函数x求出日销售量 (件)与销售价 (元) 的函数关系式；要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？
6、此时每日销售利润是多少元？解：设一次函数表达式为 bky则 解得 ，152,0kb401即一次函数表达式为 x 设每件产品的销售价应定为 元，所获销售利润为 元wyx)1()(4052 x（元） 15 20 30 y（件） 25 20 10 优派思！ you pass！作业全托、单科辅导 咨询电话：0575-8693213725)(x当 ， （元）maxy答：产品的销售价应定为 25 元时，每日获得最大销售利润为 225 元【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，“ 某某”要设为自变量， “什么”要设为函数
7、；求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程3 （2006 十堰市）市“健益” 超市购进一批 20 元/ 千克的绿色食品，如果以 30元/ 千克销售，那么每天可售出 400 千克由销售经验知，每天销售量 (千克) 与销售单价 (元)yx( ）存在如下图所示的一次函数关系式0x试求出 与 的函数关系式；yx设“健益” 超市销售该绿色食品每天获得利润 P 元，当 销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过 4480 元， 现 该超市经理要求每天利润不得低于 4180 元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价 的范围( 直接写出x答案)解：设 y
8、=kx+b 由图象可知，30420,:21kbkb之即一次函数表达式为 xy)53(x xP)0()(20142 P 有最大值a当 时， （元）35)(45maxP（或通过配方， ，也可求得最大值）0)(202答：当销售单价为 35 元/千克时，每天可获得最大利润 4500 元 841816)35(2x31x34 或 36x394 （2006 年青岛市）在 2006 年青岛崂山北宅樱桃节前夕， 某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价 x（元/千克） 25 24 23 22 销售量 y（千克） 2000 2500 3000 3500 （1）在
9、如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点连接各点并观察所得的图形，判断 y 与 x 之间的函数关系，并求出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为 13 元/千克，试求销售利润 P（元）与销售价 x（元/ 千克）之间的函数关系优派思！ you pass！作业全托、单科辅导 咨询电话：0575-86932137式，并求出当 x 取何值时，P 的值最大？解：（1）由图象可知，y 是 x 的一次函数，设 y=kx+b，点（25 ，2000） ， （24，2500 ）在图象上， ，20550,:414kbk之y=-500x+14500（2）P=(x-13)y=(x-13)(-
10、500x+14500) )37412(50)9)13x=-500(x-21)2+32000P 与 x 的函数关系式为 P=-500x2+21000x-188500，当销售价为 21 元/千克时，能获得最大利润，最大利润为 32000 元5有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹 1000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克 30 元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升 1 元，但是，放养一天需支出各种费用为 400 元，且平均每天还有 10 kg
11、蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克 20 元(1)设 x 天后每千克活蟹的市场价为 p 元，写出 p 关于 x 的函数关系式；(2)如果放养 x 天后将活蟹一次性出售，并记 1000 kg 蟹的销售总额为 Q 元，写出 Q 关于 x 的函数关系式(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q收购总额)？解：(1)由题意知：p=30+x,(2)由题意知：活蟹的销售额为(1000 10x)(30+x)元,死蟹的销售额为 200x 元.Q=(100010x)(30+x)+200x=10x 2+900x+30000.(3)设总利润为 W 元则：W=Q100030400x
12、=10x 2+500x=10(x 250x) =10(x25) 2+6250.当 x=25 时，总利润最大，最大利润为 6250 元答：这批蟹放养 25 天后出售，可获最大利润6(2008 湖北恩施)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农” 优惠政策，使农民收入大幅度增加某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为 20 元/千克市场调查发现，该产品每天的销售量(千克)与销售价(元/千克) 有如下关系： =280设这种产品每天的销售利润为( 元) (1)求与之间的函数关系式；(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少
13、?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于 28 元/千克，该农户想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为多少元?优派思！ you pass！作业全托、单科辅导 咨询电话：0575-86932137解： )802)()20(xwxy4(863212当 ， （元）30x0maxy(1) 与 之间的的函数关系式为；y 1602xy(2)当销售价定为 30 元时，每天的销售利润最大，最大利润是 200 元(3) ，152)(5)3(x（不合题意，舍去）8351x2答：该农户想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为 25 元7(2008 河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了
14、研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为 (吨) 时，所需的全部费用 (万元）与 满足关系式xyx，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价 ， （万元）90512xy均与 满足一次函数关系 （注：年利润年销售额全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售 吨时， ，请你用含 的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润 （万元）与 之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售 吨时， （ 为常数） ，且在乙地当年的最大年利润为 35 万元试确定 的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品 18 吨，根据（1）
15、 ， （2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？解：（1）甲地当年的年销售额为 万元；（2）在乙地区生产并销售时，年利润 由 ，解得 或 经检验， 不合题意，舍去， （3）在乙地区生产并销售时，年利润 ，将 代入上式，得 （万元） ；将 代入 ，得 （万元） ， 应选乙地优派思！ you pass！作业全托、单科辅导 咨询电话：0575-86932137例 4：在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点 P 从点 A 出发，沿 AB 边向点 B 以 1cms 的速度移动，同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cms 的速度移动
16、，如果 P、Q 两点同时出发，分别到达 B、C 两点后就停止移动（1）运动第 t 秒时，PBQ 的面积 y(cm)是多少？（2）此时五边形 APQCD 的面积是 S(cm)，写出 S 与 t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围（3）t 为何值时 s 最小，最小值时多少？答案： 63360721266)( 2有 最 小 值 等 于时 ；当 ）（）（ ）（）（）（ ）（ St tttty例 2：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长 10 米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了 32 米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出
17、一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个 1 米宽的门（木质） 花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为 米，面积为 平方米xS则长为： (米)x43243则： )(Sx2489)17(4x优派思！ you pass！作业全托、单科辅导 咨询电话：0575-86932137 10430x 276 ， 与 的二次函数的顶点不在自变量 的范围内，417Sx而当 内， 随 的增大而减小，xx当 时， (平方米)6604289)176(4ma 答：可设计成宽 米，长 10 米的矩形花圃，这样的花圃面积最大例 5：已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图） ，其中
18、 AF=2，BF=1 试在AB 上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积 解：设矩形 PNDM 的边 DN=x，NP=y ，则矩形 PNDM 的面积 S=xy（ 2x4）易知 CN=4-x，EM=4-y过点 B 作 BH PN 于点 H则有AFB BHP ，即 ，PFA3412yx ，5xy，S2)4(x此二次函数的图象开口向下，对称轴为 x=5，当 x5 时，函数值 随 的增大而增大，y对于 来说，当 x=4 时， 4x 124521最 大S【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间例
19、 6：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为 0.4 米的正方形 ABCD，点 E、 F分别在边 BC 和 CD 上，CFE、ABE 和四边形 AEFD 均由单一材料制成，制成CFE 、ABE 和四边形 AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为 30 元、20 元、10 元，若将此种地砖按图(2) 所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形 EFGH(1)判断图(2)中四边形 EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E、 F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解：(1) 四边形 EFGH 是正方形图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕 C 点按顺(逆) 时针方
20、向旋转 90后得到的，优派思！ you pass！作业全托、单科辅导 咨询电话：0575-86932137故 CE=CF =CGCEF 是等腰直角三角形因此四边形 EFGH 是正方形 (2)设 CE=x, 则 BE=0.4x ，每块地砖的费用为 y 元那么：y= x 30+ 0.4(0.4-x)20+0.16- x - 0.4(0.4-x)10)24.0.(1023)x).(x当 x=0.1 时，y 有最小值，即费用为最省，此时 CE=CF=0.1答：当 CE=CF=0.1 米时，总费用最省作业布置：1(2008 浙江台州)某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度 (单位：米)与小球运动时间
21、(单ht位：秒)的函数关系式是 ，那么小球运动中的最大高度 4.9 米 最 大2(2008 庆阳市)兰州市“ 安居工程 ”新建成的一批楼房都是 8 层高，房子的价格 y(元/平方米)随楼层数 x(楼)的变化而变化(x =1，2，3，4，5，6，7，8)；已知点 (x，y)都在一个二次函数的图像上，( 如图所 示)，则 6 楼房子的价格为 元/平方米 5 m12 mA B C D提示： 利用对称性，答案：20803如图所示，在一个直角MBN 的内部作一个长方形 ABCD，其中 AB 和 BC 分别在两直角边上，设 AB=x m，长方形的面积为 y m2，要使长方形的面积最大，其边长 x 应为(
22、D )A m B6 m C15 m D m42 25解：AB=x m， AD= ，长方形的面积为 y m2bADBC MAD MBN ，即 ，MBND512x)5(1xb, 当 时， 有最大值()(2xby .2y4(2008 湖北恩施)将一张边长为 30的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为 的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体当取下面哪个数值时，长方体的体积最大（ C ）A7 B6 C5 D45如图，铅球运动员掷铅球的高度 (m)与水平距离 (m)之间的函数关系式是：yx优派思！ you pass！作业全托、单科辅导 咨询电话：0575-86932137，则该运动员此次掷铅球的成绩是( D
23、 ) 3521xyA6 m B12 m C8 m D10m解：令 ，则： 002820)1(2xx y OA B M O（图 5） （图 6） （图 7）6某幢建筑物，从 10 m 高的窗口 A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图 6，如果抛物线的最高点 M 离墙 1 m，离地面 m，则水流落地点 B 离墙的距340离 OB 是( B )A2 m B3 m C4 m D5 m解：顶点为 ，设 ，将点 代入，40,130)1(2xay),(1a令 ，得： ，所以 OB=3)(2xy 7(2007 乌兰察布)小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 23.5yx的
24、一部分，如图 7 所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离 L 是（ B ）A4.6m B4.5m C4m D3.5m8某居民小区要在一块一边靠墙(墙长 15m)的空地上修建一个矩形花园 ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为 40m 的栅栏围成若设花园的宽为 x(m) ，花园的面积为 y(m)(1)求 y 与 x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当 x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？解： )40()20(x122x 5 0.二次函数的顶点不在自变量 的范围内，x而当 内， 随 的增大而减小，2.1xy
25、当 时，5(平方米)5.1870).(2max y优派思！ you pass！作业全托、单科辅导 咨询电话：0575-86932137答：当 米时花园的面积最大，最大面积是 187.5 平方米5.12x9如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用 50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为 x 米(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少 m？(2)如果中间有 n(n 是大于 1 的整数 )道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？ x解：(1)长为 x 米，则宽为 米，设面积为 平方米350xS)(13502S6)
26、(x当 时， (平方米)255maxS即：鸡场的长度为 25 米时，面积最大(2) 中间有 道篱笆，则宽为 米，设面积为 平方米n20nS则： )5(1250xxS6)(2n当 时， (平方米)5xmaxnS由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是 25 米即：使面积最大的 值与中间有多少道隔墙无关10如图，矩形 ABCD 的边 AB=6 cm，BC=8cm，在 BC 上取一点 P，在 CD 边上取一点 Q，使APQ 成直角，设 BP=x cm，CQ=y cm，试以 x 为自变量，写出 y 与 x 的函数关系式A B C D P Q 解：APQ=90, APB+QPC=90.APB+BAP=90,QPC=BAP，B= C=90.ABP PCQ.
