1、1人教版九年级数学下册知识点总结第二十六章 二次函数 .1261 二次函数及其图像 .1262 用函数观点看一元二次方程 .6263 实际问题与二次函数 .6第二十七章 相似 .6271 图形的相似 .6272 相似三角形 .7273 位似 .7第二十八章 锐角三角函数 .8281 锐角三角函数 .8282 解直角三角形 .10第二十九章 投影与视图 .12291 投影 .12292 三视图 .12第二十六章 二次函数 261 二次函数及其图像 二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为 f(x)=ax2+bx+c(a 不为 0)
2、。其图像是一条主轴平行于 y 轴的抛物线。一 般 的 ， 自 变 量 x 和 因 变 量 y 之 间 存 在 如 下 关 系 ： 一 般 式y=ax 2;+bx+c(a 0,a、 b、 c 为 常 数 )， 顶 点 坐 标 为 (-b/2a， -(4ac-2b 2)/4a) ； 顶 点 式y=a(x+m) 2+k(a 0,a、 m、 k 为 常 数 )或 y=a(x-h) +k(a 0,a、 h、 k 为 常 数 )， 顶 点 坐 标 为 （ -m， k） 对 称 轴 为 x=-m， 顶点 的 位 置 特 征 和 图 像 的 开 口 方 向 与 函 数 ax 的 图 像 相 同 ， 有 时 题
3、 目会 指 出 让 你 用 配 方 法 把 一 般 式 化 成 顶 点 式 ； 交 点 式y=a(x-x1)(x-x2) 仅 限 于 与 x 轴 有 交 点 A（ x1， 0） 和 B（ x2， 0） 的抛 物 线 ； 重 要 概 念 ： a， b， c 为 常 数 ， a 0， 且 a 决 定 函 数 的 开 口 方 向 ， a0 时 ，开 口 方 向 向 上 ， a0, 所 以 b/2a 要 小 于 0， 所 以 a、 b 要 异 号 可 简 单 记 忆 为 左 同 右 异 ， 即 当 a 与 b 同 号 时 （ 即 ab 0） ， 对 称 轴 在 y轴 左 ； 当 a 与 b 异 号 时
4、 （ 即 ab 0 ） ， 对 称 轴 在 y 轴 右 。 事 实 上 ， b 有 其 自 身 的 几 何 意 义 ： 抛 物 线 与 y 轴 的 交 点 处 的 该 抛 物 线 切线 的 函 数 解 析 式 （ 一 次 函 数 ） 的 斜 率 k 的 值 。 可 通 过 对 二 次 函 数 求 导 得 到 。 决 定 抛 物 线 与 y 轴 交 点 的 因 素5.常 数 项 c 决 定 抛 物 线 与 y 轴 交 点 。 抛 物 线 与 y 轴 交 于 （ 0， c） 抛 物 线 与 x 轴 交 点 个 数6.抛 物 线 与 x 轴 交 点 个 数 = b2-4ac 0 时 ， 抛 物 线
5、与 x 轴 有 2 个 交 点 。 = b2-4ac=0 时 ， 抛 物 线 与 x 轴 有 1 个 交 点 。 _ = b2-4ac 0 时 ， 抛 物 线 与 x 轴 没 有 交 点 。 X 的 取 值 是 虚 数 （ x= -b b2 4ac 的 值 的 相 反 数 ， 乘 上 虚 数 i， 整 个 式 子 除 以 2a） 当 a0 时 ， 函 数 在 x= -b/2a 处 取 得 最 小 值 f(-b/2a)=4ac-b/4a； 在 x|x-b/2a上 是 增 函 数 ； 抛 物 线 的 开 口 向 上 ； 函 数 的 值 域 是y|y 4ac-b2/4a相 反 不 变 当 b=0 时
6、 ， 抛 物 线 的 对 称 轴 是 y 轴 ， 这 时 ， 函 数 是 偶 函 数 ， 解 析 式 变 形为 y=ax2+c(a 0) 特 殊 值 的 形 式7.特 殊 值 的 形 式 5 当 x= 时 y=a+b+c 当 x=-1 时 y=a-b+c 当 x=2 时 y=4a+2b+c 当 x=-2 时 y=4a-2b+c 二 次 函 数 的 性 质8.定 义 域 ： R 值 域 ： （ 对 应 解 析 式 ， 且 只 讨 论 a 大 于 0 的 情 况 ， a 小 于 0 的 情 况 请读 者 自 行 推 断 ） (4ac-b2)/4a， 正 无 穷 ） ； t， 正 无 穷 ） 奇 偶
7、 性 ： 当 b=0 时 为 偶 函 数 ， 当 b 0 时 为 非 奇 非 偶 函 数 。 周 期 性 ： 无 解 析 式 ： y=ax2+bx+c一 般 式 a 0 a 0， 则 抛 物 线 开 口 朝 上 ； a 0， 则 抛 物 线 开 口 朝 下 ； 极 值 点 ： （ -b/2a， (4ac-b2)/4a） ； =b2-4ac, 0， 图 象 与 x 轴 交 于 两 点 ： （ -b- /2a， 0） 和 （ -b+ /2a， 0） ； 0， 图 象 与 x 轴 交 于 一 点 ： （ -b/2a， 0） ； 0， 图 象 与 x 轴 无 交 点 ； y=a(x-h)2+k顶 点
8、式 此 时 ， 对 应 极 值 点 为 （ h， k） ， 其 中 h=-b/2a， k=(4ac-b2)/4a； y=a(x-x1)(x-x2)交 点 式 （ 双 根 式 ） （ a 0） 对 称 轴 X=(X1+X2)/2 当 a0 且 X (X1+X2)/2 时 ， Y 随 X 的 增 大 而 增大 ， 当 a0 且 X （ X1+X2） /2 时 Y 随 X 的 增 大 而 减 小 此 时 ， x1、 x2 即 为 函 数 与 X 轴 的 两 个 交 点 ， 将 X、 Y 代 入 即 可 求 出 解6析 式 （ 一 般 与 一 元 二 次 方 程 连 用 ） 。 交 点 式 是 Y=A
9、(X-X1)(X-X2) 知 道 两 个 x 轴 交 点 和 另 一 个 点 坐 标 设 交点 式 。 两 交 点 X 值 就 是 相 应 X1 X2 值 。262 用函数观点看一元二次方程 1. 如果抛物线 与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是 ，那么当yaxbc2 x0时，函数的值是 0，因此 就是方程 的一个根。x0 0axbc22. 二次函数的图象与 x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。263 实际问题与二次函数 在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等
10、问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。第二十七章 相似 271 图形的相似 概 述如 果 两 个 图 形 形 状 相 同 ,但 大 小 不 一 定 相 等 ,那 么 这 两 个 图 形 相 似 。 （ 相似 的 符 号 ： ） 判 定如 果 两 个 多 边 形 满 足 对 应 角 相 等 ， 对 应 边 的 比 相 等 ， 那 么 这 两 个 多 边 形相 似 。 相 似 比7相 似 多 边 形 的 对 应 边 的 比 叫 相 似 比 。 相 似 比 为 1 时 ， 相 似 的 两 个 图 形全 等 。 性 质相 似 多 边 形 的 对 应 角 相 等 ， 对 应 边 的 比 相 等
11、。 相 似 多 边 形 的 周 长 比 等 于相 似 比 。 相 似 多 边 形 的 面 积 比 等 于 相 似 比 的 平 方 。272 相似三角形 判 定1.两 个 三 角 形 的 两 个 角 对 应 相 等 2.两 边 对 应 成 比 例 ,且 夹 角 相 等 3.三 边 对 应 成 比 例 4.平 行 于 三 角 形 一 边 的 直 线 和 其 他 两 边 或 两 边 延 长 线 相 交 ， 所 构 成 的 三角 形 与 原 三 角 形 相 似 。 例 题 A= A; B= B ABC ABC 性 质1.相 似 三 角 形 的 一 切 对 应 线 段 (对 应 高 、 对 应 中 线
12、、 对 应 角 平 分 线 、 外接 圆 半 径 、 内 切 圆 半 径 等 ） 的 比 等 于 相 似 比 。 2.相 似 三 角 形 周 长 的 比 等 于 相 似 比 。 3.相 似 三 角 形 面 积 的 比 等 于 相 似 比 的 平 方8273 位似 如 果 两 个 图 形 不 仅 是 相 似 图 形 ， 而 且 每 组 对 应 点 的 连 线 交 于 一 点 ，对 应 边 互 相 平 行 ， 那 么 这 两 个 图 形 叫 做 位 似 图 形 ， 这 个 点 叫 做 位 似 中 心 ，这 时 的 相 似 比 又 称 为 位 似 比 。性 质位 似 图 形 的 对 应 点 和 位
13、似 中 心 在 同 一 直 线 上 ， 它 们 到 位 似 中 心 的 距 离 之比 等 于 相 似 比 。 位 似 多 边 形 的 对 应 边 平 行 或 共 线 。位 似 可 以 将 一 个 图 形 放 大 或 缩 小 。位 似 图 形 的 中 心 可 以 在 任 意 的 一 点 ， 不 过 位 似 图 形 也 会 随 着 位 似 中 心 的 位 变而 位 变 。 根 据 一 个 位 似 中 心 可 以 作 两 个 关 于 已 知 图 形 一 定 位 似 比 的 位 似 图 形 ,这两 个 图 形 分 布 在 位 似 中 心 的 两 侧 ,并 且 关 于 位 似 中 心 对 称 。 注 意
14、 1、 位 似 是 一 种 具 有 位 置 关 系 的 相 似 ， 所 以 两 个 图 形 是 位 似 图 形 ， 必 定是 相 似 图 形 ， 而 相 似 图 形 不 一 定 是 位 似 图 形 ； 2、 两 个 位 似 图 形 的 位 似 中 心 只 有 一 个 ； 3、 两 个 位 似 图 形 可 能 位 于 位 似 中 心 的 两 侧 ， 也 可 能 位 于 位 似 中 心 的 一侧 ； 4、 位 似 比 就 是 相 似 比 利 用 位 似 图 形 的 定 义 可 判 断 两 个 图 形 是 否 位 似 ；5、 平 行 于 三 角 形 一 边 的 直 线 和 其 它 两 边 相 交 ，
15、 所 构 成 的 三 角 形 与 原 三 角形 位 似 。9第二十八章 锐角三角函数 281 锐角三角函数 锐 角 角 A 的 正 弦 （ sin） ,余 弦 （ cos） 和 正 切 （ tan） ,余 切 （ cot） 以 及 正割 （ sec） ， （ 余 割 csc） 都 叫 做 角 A 的 锐 角 三 角 函 数 。 正 弦 （ sin） 等 于 对 边 比 斜 边 ， 余 弦 （ cos） 等 于 邻 边 比 斜 边 正 切 （ tan） 等 于 对 边 比 邻 边 ； 余 切 （ cot） 等 于 邻 边 比 对 边 正 割 （ sec)等 于 斜 边 比 邻 边 余 割 (cs
16、c)等 于 斜 边 比 对 边 正 切 与 余 切 互 为 倒 数 互 余 角 的 三 角 函 数 间 的 关 系 。sin(90- )=cos , cos(90- )=sin , tan(90- )=cot , cot(90- )=tan .同 角 三 角 函 数 间 的 关 系平 方 关 系 ： sin2( )+cos2( )=1 tan2( )+1=sec2( ) cot2( )+1=csc2( ) 积 的 关 系 ： sin =tan cos cos =cot sin tan =sin sec cot =cos csc sec =tan csc csc =sec cot 倒 数 关 系
17、 ： tan cot =1 sin csc =1 10cos sec =1 直 角 三 角 形 ABC 中 , 角 A 的 正 弦 值 就 等 于 角 A 的 对 边 比 斜 边 , 余 弦 等 于 角 A 的 邻 边 比 斜 边 正 切 等 于 对 边 比 邻 边 , 余 切 等 于 邻 边 比 对 边三 角 函 数 值（ 1） 特 殊 角 三 角 函 数 值 （ 2） 0 90的 任 意 角 的 三 角 函 数 值 ， 查 三 角 函 数 表 。 （ 3） 锐 角 三 角 函 数 值 的 变 化 情 况 （ i） 锐 角 三 角 函 数 值 都 是 正 值 （ ii） 当 角 度 在 0
18、90间 变 化 时 ， 正 弦 值 随 着 角 度 的 增 大 （ 或 减 小 ） 而 增 大 （ 或 减 小 ） 余 弦 值 随 着 角 度 的 增 大 （ 或 减 小 ） 而 减 小 （ 或 增 大 ） 正 切 值 随 着 角 度 的 增 大 （ 或 减 小 ） 而 增 大 （ 或 减 小 ） 余 切 值 随 着 角 度 的 增 大 （ 或 减 小 ） 而 减 小 （ 或 增 大 ） （ iii） 当 角 度 在 0 90间 变 化 时 ， 0 sin 1, 1 cos 0, 当 角 度 在 00, cot 0. 特 殊 的 三 角 函 数 值 0 30 45 60 90 0 1/2 2/2 3/2 1 sin 1 3/2 2/2 1/2 0 cos 0 3/3 1 3 None tan None 3 1 3/3 0 cot282 解直角三角形 勾 股 定 理 ， 只 适 用 于 直 角 三 角 形 （ 外 国 叫 “毕 达 哥 拉 斯 定 理 ”）
