1、 第 1 页 共 10 页 教学设计42 简单线性规划 整 体 设 计教学分析 线性规划是优化的具体模型之一，二元一次不等式有着丰富的实际背景，是刻画平面区域的重要工具学生能够体会线性规划的基本思想，并能借助几何直观解决一些简单的线性规划问题，本节的主要目的是让学生体会数学知识形成过程中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用求线性目标函数的最值问题是本节的重点，也是本节的难点实际教学中要注意以下几个问题：充分利用数形结合来理解线性规划的几个概念和思想方法可行域就是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域如果可行域是一个多边形，那
2、么一般在其顶点处使目标函数取得最大值或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点到底哪个顶点为最优解，可有两种确定方法：一是将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是；另一种方法可利用围成可行域的直线的斜率来判断三维目标 1使学生了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法2通过本节内容的学习，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力重点难点 教学重点：求线性目标函数的最值问题，培养学生“用数学”的意识教学难点：求线性目标函数的最值问题课时安排 2 课时 教 学 过
3、 程第 1 课时导入新课 思路 1.(问题导入)由身边的线性规划问题导入课题，同时阐明其重要意义如 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元而 4 枝玫瑰与 5 枝康乃馨的价格之和小于 22元如果想买 2 枝玫瑰或 3 枝康乃馨，那么价格是怎样的呢？可由学生列出不等关系，并画出平面区域由此导入了新课思路 2.(复习导入)前面已经学习了二元一次不等式组的解集的几何形式，先让学生在坐标系中画出Error!的解集表示的区域学生画出后，教师点拨 ：怎样找到符合不等式的 x、y 值，使得 z2xy 取得最大、最小值呢？z2x y 在坐标平面上表示的几何意义又是什么呢？由此展开新课推进新课 Er
4、ror!Error!回忆二元一次不等式 AxBy C0 在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法.探究交流导入新课思路 2 中的问题.活动：教师引导学生回顾二元一次不等式表示平面区域常用的方法是：直线定界、原点定域即先画出对应直线，再将原点坐标代入直线方程中，看其值比零大还是比零小不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，是它们平面区域的公共部分接下来教师引领学生探究交流导入新课思路 2 中的问题，设 x，y 满足以下条件Error!求 z2xy 的最小值和最大值来源:Z.xx.k.Com由前面知道，满足每个不等式的解集都可以表示一个平面区域，满足不等式组的解集则表示这些平面区域
5、的公共区域(如图 1)第 2 页 共 10 页 图 1这时，问题转化为：当点(x，y)在公共的平面区域内时，求 z2xy 的最小值和最大值为此，我们先来讨论当点(x，y)在整个坐标平面上变化时，z2xy 值的变化规律当 z3，1,0,2,4 时，可得到直线：l2：2xy3；来源:Zxxk.Coml1：2xy1；l0：2xy0；l1：2xy2；l2：2xy4.显然，这是一组平行线由图 2 可看出，当直线 l0 向上平移时，所对应的 z 随之增大；当直线 l0 向下平移时，所对应的 z 随之减小图 2如图 3，在把 l0 向上平移过程中，直线与平面区域首先相交的顶点 A 所对应的 z(13，1)最
6、小；最后相交的顶点 B 所对应的 z 最大(245，1)图 3从而得到 zmin2 1 ；13 53zmax2 1 .245 535讨论结果：略Error!上述探究的问题中，z 的几何意义是什么？结合图形说明.结合以上探究，理解什么是目标函数？线性目标函数？什么是线性规划？弄清什么是可行解？可行域？最优解？活动：教师引导学生结合前面的探究与学生一起理解 z 的几何意义就是直线 z2xy在 y 轴上的截距，让学生明确这点对灵活解题非常有帮助第 3 页 共 10 页 进一步探究上述问题，不等式组是一组对变量 x、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于 x、y 的一次 不等式，所以又可称其为线性约
7、束条件z2xy 是欲达到最 大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式，我们把它称为目标函数由于 z 2xy 又是关于x、y 的一次解析式，所以又可叫作线性目标函数线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题例如：我们刚才研 究的就是求线性目标函数 z2xy 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题满足线性约束条件的解(x，y )叫作可行解，由所有可行解组成的集合叫作可行域其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫 作这个问题的最优解讨论结果：略Error!例 1 已知 x，y 满足不等
8、式Error!求 z3xy 的最小值活动：可先找出可行域，平行移 动直线 l0：3x y0 找出可行解，进而求出目标函数的最小值解：不等式 x2y 2 表示直线 x2y2 上及其右上方的点的集合；不等式 2xy1 表示直线 2xy1 上及其 右上方的点的集合可行域如图 4 阴影部分所示图 4作直线 l0：3x y0，作一组与直线 l0 平行的直线 l：3x yt (tR)x、y 是上面不等式组表示的区域内的点的坐标，由图 4 可知，当直线 l：3x yz 通过点 P(0,1)时，z 取到最小值 1，即 zmin1.点评：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是
9、以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；(3)在可行域内求目标函数的最优解.变式训练设变量 x、y 满足约束条件Error!则 z2x3y 的最大值是 _解析：画出可行域如图 5，使 2x3y 取得最大值的点为 P.图 5第 4 页 共 10 页 由Error! 得Error!z max233418.答案：18例 2 求 z3x5y 的最大值和最小值，使式中的 x、y 满足约束条件Error!解：不等式组所表示的平面区域如图 6 所示图 6从图示可知直线 3x5y t 在经过不等式组所表示的公共区域内的
10、点时，以经过点(2， 1)的直线所对应的 t 最小，以经过点 的直线所对应的 t 最大(32，52)所以 zmin3(2)5(1)11，z max3 5 17.32 52变式训练已知 x，y 满足Error!且 z2 x4y 的最小值为6，则常数 k 等于( )图 7A2 B9 C3 D010解析：如图 7 所示，当直线 z2x4y 经过两直线 x3 和 xy k0 的交点时，z 有最小值6，所以 6234y.y3，代入 xyk 0，得 k0.答案：D例 3 已知 x、y 满足不等式组 Error!试求 z300x900y 取最大值时整点的坐标及相应的 z 的最大值活动：先画出平面区域，然后在
11、平面区域内寻找使 z300x900y 取最大值时的整点图 8第 5 页 共 10 页 解：如图 8 所示，平面区域 AOBC，点 A(0,125)，点 B(150,0)，由方程组Error! Error!得 C .(3503，2003)令 t300x900 y，即 y x ，13 t900欲求 z300x900y 的最大值，即转化为求截距 的最大值，从而可求 t 的最大值t900因直线 y x 与直线 y x 平行，13 t900 13故作 y x 的平行线13当过点 A(0,125)时，对应的直线的截距最大，所以此时整点 A 使 z 取最大值，z max3000900125112 500.点
12、评：解决此类问题的关键是准确画出可行域.变式训练求 z600x300y 的最大值，使式中的 x、y 满足约束条件Error! 的整数值解：可行域如图 9 所示的四边形 AOBC，易求点 A(0,126)，B (100,0)，图 9由方程组Error! Error!得点 C 的坐标为 .(6935，9115)因题设条件要求整点(x，y)使 z600x300y 取最大值，将点(69,91)，(70,90) 代入z600x 300y，可知当Error! 时，z 取最大值为 zmax600703009069 000.例 4 设 x，y 满足约束条件 Error!(1)求目标函数 z2x3y 的最小值与
13、最大值；(2)求目标函数 z4x3y24 的最小值与最大值解：(1)作出可行域(如图 10 阴影部分 )图 10令 z0，作直线 l：2x 3y0.当把直线 l 向下平移时，所对应的 z2x 3y 的函数值随之减小，所以，直线经过可行域的顶点 B 时，z2x3y 取得最小值从图中可以看出，顶点 B 是直线 x3 与直线 y4 的交点，其坐标为( 3，4)；第 6 页 共 10 页 当把 l 向上平移时，所对 应的 z2x 3y 的函数值随之增大，所以直线经过可行域的顶点 D 时，z2x 3y 取得最大值解方程组Error!可以求得顶点 D 的坐标为(3,8)此时，顶点 B(3，4) 与顶点 D
14、(3,8)为最优解所以zmin2 (3)3(4) 18，zmax233830.(2)可行域同(1)(如图 11 阴影部分)图 11作直线 l0：4x 3y0，把直线 l0 向下平移时，所对应的 z4x3y 的函数值随之减小，即 z4x3y 24 的函数值随之减小，从图 11 可以看出，直线经过可行域顶点C 时，z 4x3y 取得最小值，即 z4x3y24 取得最小值顶点 C 是直线 4x3y36 与直线 y4 的交点，解方程组Error!得到顶点 C 的坐标(12，4)，代入目标函数 z4x3 y24，得zmin 4123(4)2484.由于直线 l0 平行于直线4x 3y12，因此当把直线
15、l0 向上平移到 l1 时，l 1 与可行域的交点不止一个，而是线段 AD 上的所有点此时，z max122412.点评：(1)有条件的可用图形计算器或数学软件作出可行域，并动态显示目标函数的变化情况，进而直观地判断最优解(2)二元线性规划问题中，最优解可能有无数多个(3)设目标函数 zAxByC，在约束条件下，当 B0 时，求目标函数zAx ByC 的最小值或最大值的求解程序为：作出可行域；作出直线 l0AxBy 0；确定 l0 的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最小值或最大值Error!课本本节练习 1 14.Error!1由学生归纳整合本
16、节学习的相关内容，重点探究了目标函数中 y 的系数大于 0 的情况2教师简要强调，线性规划问题求解的格式与步骤主要是寻找线性约束条件，目标函数，画出可行域，在可行域内求目标函数的最优解Error!课本习题 34 A 组 5. 设 计 感 想1本教案设计强调多媒体教学新大纲明确指出：要积极创造条件，采用现代化的教学手段进行教学根据本节知识本身的抽象性以及作图的复杂性，为突出重点、突破难点，增加教学容量，激发学生的学习兴趣，增强教学的条理性、形象性，本节课采用计算机辅助教学，以直观、生动地揭示可行域以及平移直线的动态变化情况2优化教学过程根据本节课的内容特点，本节课的设计采用启发引导、讲练结合的教
17、学方法，着重于培养学生分析、解决问题的能力，以及良好的学习品质的形成第 7 页 共 10 页 3本教案注重学生的探究过程，让学生体验探究问题的成就感，一切以学生自己的自主探究活动为主，教师不要越俎代庖第 2 课时导入新课 思路 1.(直接导入)上节课，我们讨论了目标函数中 y 的系数大于 0 的情况，现在我们探究 y 的系数小于 0 的情况思路 2.(复习导入)让学生回忆以前我们探究的二元一次不等式 (组)表示平面区域的方法、步骤以及上节课所学线性规划的几个概念教师提出，这一节我们将应用这些知识来进一步探究目标函数的最大值、最小值问题进而引入新课推进新课 Error!Error!来源 :学.科
18、.网回忆上节课用图解法解决线性规划问题的步骤是什么？怎样利用约束条件求出目标函数的最优解？怎样求目标函数的最优解的整数解？活动：教师与学生一起回忆上节课用图解法解决线性规划问题的步骤，之后教师可出示多媒体课件与学生共同探究求目标函数易错的地方在解题中，平行移动直线时易出现失误，避免这个错误的办法是：首先图形要画准确，把已知区域边界直线的斜率从小到大依次排序再与目标函数的斜率相比较，这个斜率在已知区域边界直线的哪两个斜率之间，这个最优解就在哪两条直线的交点处取得这是由斜率与倾斜角的递增关系所决定的若要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解) ，则应作适当的调整，其方法应以
19、与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近与此直线距离最近的整点，不要在近似解附近寻找讨论结果：略Error!例 1 在约束条件Error!下，求目标函数 z3xy 的最小值和最大值活动：本例目标函数中 y 的系数为1，从直线截距的角度看 z 的几何意义是直线3xyz 0 截距的相反数因此当直线 l0：3xy0 向上平移时，所对应的 z 随之减小；当直线 l0：3x y0 向下平移时，所对应的 z 随之增大解：当 z4，2,0,1,3 时，可得到一组平行线l2：3xy4；l1：3xy2；l0：3xy0；l1：3xy1；l2：3xy3.图 12 图 13由图 12 可知，当直线 l0 向上平
20、移时，所对应的 z 随之减小；当直线 l0 向下平移时，所对应的 z 随之增大作出可行域(如图 13)可知，z3xy 随直线 l0：3xy0 向上平移而减小，随 l0 向下平移而增大，所以，在顶点 B 取得最小值，在点 A 取得最大值顶点 B 是直线 x2y 4 与直线 x20 的交点，解方程组 Error!可求出顶点 B 的坐标(2,3) ，代入目标函数，即可得最小值 zmin3( 2) 39.顶点 A 是直线 x2y 4 与直线 xy1 的交点，解方程组 Error!第 8 页 共 10 页 得到顶点 A 的坐标为(2,1)，代入目标函数，即可得最大值 zmax3215.点评：充分利用数形
21、结合，理解 z 的几何意义，弄清直线 l0 平移方向与目标函数的函数值的变化趋势的关系.变式训练已知 x，y 满足约束条件Error!求目标函数 z2xy 的最大值和最小值解：根据 x，y 满足的约束条件作出可行域，即如图 14 所示的阴影部分( 包括边界).图 14作直线 l0：2x y0，再作一组平行于 l0 的直线 l：2xyt ，tR.可知，当 l 在 l0 的右下方时，直线 l 上的点(x，y )满足 2xy0，即 t0，而且直线 l往右平移时，t 随之增大当直线 l 平移至 l1 的位置时，直线经过可行域上的点 B，此时所对应的 t 最大；当 l 在 l0 的左上方时，直线 l 上
22、的点(x，y )满足 2xy0，即 t0，而且直线 l 往左平移时，t 随之减小当直线 l 平移至 l2 的位置时，直线经过可行域上的点 C，此时所对应的 t 最小由Error! 解得点 B 的坐标为(5,3)；由Error! 解得点 C 的坐标为(1， )275所以 zmax2537；z min21 .来源:学科网 ZXXK275 175例 2 求 z4a2b 在约束条件Error!下的最小值与最大值活动：本例与上例的类型是一样的，教师可让学生独立探究完成，对个别困难学生给予适当点拨解：作出可行域(如图 15)图 15仿上例，可知 z 在顶点 A 取得最小值，在顶点 C 取得最大值由Erro
23、r! 得 A ；由Error!得 C(3,1)(12，32)所以 zmin4 2 1，z max432110.12 32点评：准确画出可行域是成功解决本例的关键.变式训练点(x，y) 是区域 |x|y|1 内的动点，求 axy(a0) 的最大值及最小值解：区域|x| |y|1 为四条直线 xy1，x y1，xy 1，xy1 所围成的区域，如图 16(1)和(2) 中的阴影部分第 9 页 共 10 页 图 16设 zaxy (a0)，当 a1 时，设直线 l0：axy 0，并作一组平行于 l0 的直线axyt，当直线位于 l1 位置时 如图(1) ，即 l1 过点( 1,0)时，t 取最小值；当
24、直线位于l2 的位置时如图(1) ，即 l2 过点(1,0) 时，t 取最大值当 0a1 时，设直线 l0： axy0，作一组平行于 l0的直线 axyt，当直线位于 l1的位置时如图(2) ，即 l1过点(0 ，1)时，取最大值 1；当直线位于 l2的位置时如图(2) ，即过点 l2(0,1)时，t 取最小值1.综上所述，当 a1 时，axy 的最大值为 a，最小值为a，当 0a1 时，axy 的最大值为 1，最小值为1.例 3 设 x、y 满足约束条件Error!分别求：(1)z6 x8y 的最大值、最小值；(2)z2 xy 的最大值、最小值；(3)z2 xy(x，y 均为整数) 的最大值
25、、最小值解：(1)先作出可行域，如图 17 所示的ABC 的区域，且求得 A(5,2)、B(1,1)、C.(1，225)图 17作出直线 l1：6x 8y0，再将直线 l1 平移，当 l1 的平行线过 B 点时，可使 z6x 8y 达到最小值；当 l1 的平行线过 A 点时，可使 z6x 8y 达到最大值来源:Zxxk.Comz min 618114；z max658246.(2)同上，作出直线 l2：2x y0，再将直线 l2 平移(图略)，当 l2 的平行线过 C 点时，可使 z 2xy 达到最小值；当 l2 的平行线过 A 点时，可使 z2x y 达到最大值z max8，z min .1
26、25(3)同上，作出直线 l3：2x y0，再将直线 l3 平移(图略)，当 l3 的平行线过 A 点时，可使 z2x y 达到最大值，z max8.当 l3 的平行线过 C 点时，可使 z2xy 达到最小值，但由于 不是整数，而最优解(x，y)中，x，y 必须都是整数，225可行域内的点 C 不是最优解(1，225)当 l3 的平行线经过可行域内的整点 (1,4)时，可使 z2xy 达到最小值z min 2.Error!第 10 页 共 10 页 课本本节练习 2 13.Error!1让学生自己归纳整合本节所学的知识方法，并写出在线性约束条件下，当 B0 时，求 zAxByC 的最小值或最大
27、值的求解程序，自己在本节中的最大收获有哪些？2教师强调，通过本节学习，应全面掌握在线性约束条件下，求目标函数的最小值或最大值的方法，特别是求整点最优解的方法Error!课本习题 34 A 组 6. 设 计 感 想1本节内容有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的典 型教材，也是培养学生观察、作图能力的典型教材2通过与上节类比，利用知识迁移，让学生更深入了解并掌握新知这里强调的还有作图的规范问题，这是学生容易忽视的，但这又是本节课很重要的一部分内容3关于难度把握问题，依据新课标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题，以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次但这个了解不同于其他的了解，应注意让学生切实学会从实际问题抽象出约束条件及目标函数，并注意规范书写解答步骤
