1、- 1 -十二、圆锥曲线10（2012 年海淀一模理 10）过双曲线 的右焦点，且平行于经过一、三象限的2196xy-=渐近线的直线方程是 . 答案： 。4320xy-=7 （2012 年门头沟一模理 7）已知点 在抛物线 上，则点 到直线P24yxP的距离和到直线 的距离之和的最小值为（ C ）1:6lxy2:1lxA. B. C. D.315313 （2012 年东城一模理 13）抛物线 的准线方程为 ；此抛物线的焦点是 ，则2yxF经过 和点 ，且与准线相切的圆共有 个F(1,)M答案： ； 。4x29 （2012 年丰台一模理 9）已知双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，一条渐近线方
2、程为，则该双曲线的离心率是_ 3y答案： .5413 （2012 年密云一模理 13）若双曲线 的两个焦点为 ，P)0,(12bayx 12,F为双曲线上一点，且 ，则该双曲线离心 率的取值范围是 _213PF答案：1e2.9.（2012 年朝阳一模理 9）已知双曲线的方程为 ，则此双曲线的离心率为 213xy，其焦点到渐近线的距离为 .答案：；23113.（2012 年东城 11 校联考理 13）已知双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一条渐- 2 -近线与 x 轴的夹角为 ，且 ，则双曲线的离心率的取值范围是_.34答案： 。、219.（2012 年海淀一模理 19）在平面直角坐标系
3、 中，椭圆 的中心为坐标原点，左焦xOyG点为 ， 为椭圆 的上顶点，且 .（）求椭圆 的标准方程；1(,0)FPG145PF（）已知直线 ： 与椭圆 交于 ， 两点，直线 ： （1l1ykxmAB2l2ykxm）与椭圆 交于 ， 两点，且 ，如图所示.（）证明：12mCD|CD;（）求四边形 的面积 的最大0BS值.解：（）设椭圆 的标准方程为 .G21(0)xyab因为 ， ，1(,0)F145PO所以 .bc=所以 . 22a+所以 椭圆 的标准方程为 . G21xyl2l1 yxODCBA- 3 -（）设 ， ， ， .1(,)Axy2(,)B3(,)Cxy4(,)Dxy（）证明：由
4、消去 得： .12.kmy221(1)0kmx则 ，218()0k12214,.mxk所以 2211|()()ABxy224kx211221()mk.122k同理 . 22|1mCDk因为 ,|AB所以 .2 21 1212kkm因为 ，12m所以 . 0（）解：由题意得四边形 是平行四边形，设两平行线 间的距离为ABCD,ABCD,则 .d12mk-=+因为 ，120所以 . 12dk=+- 4 -所以 2112|21mkSABdk.21122112()44km（或 ）221 12()2() 4mSkk所以 当 时， 四边形 的面积 取得最大值为 . 221kABCDS19.（2012 年西
5、城一模理 19）已知椭圆 的离心率为 ，定点:21(0)xyab53，椭圆短轴的端点是 ， ，且 .(2,0)M1B212MB（）求椭圆 的方程；C（）设过点 且斜率不为 的直线交椭圆 于 ， 两点.试问 轴上是否存在定0CAx点 ，使 平分 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由. PAPP解：（）由 ， 得 . 22519abe23ba依题意 是等腰直角三角形，从而 ，故 . 12MB所以椭圆 的方程是 . C2194xy（）设 ， ，直线 的方程为 . 1(,)Axy2(,)AB2xmy将直线 的方程与椭圆 的方程联立，B消去 得 . 2(49)1620my所以 ， . 12y49
6、若 平分 ，则直线 ， 的倾斜角互补，PFAPB所以 . 0Bk设 ，则有 .(,)a120yxa将 ， 代入上式，12xm2- 5 -整理得 ，1212()0(myay所以 . 1212)(将 ， 代入上式，649y049ym整理得 . ()a由于上式对任意实数 都成立，所以 .2a综上，存在定点 ，使 平分 .9(,0)2PMAPB19 （2012 年东城一模理 19）已知椭圆 ： 的左、右顶点分别为C210xyab， ， 为短轴的端点， 的面积为 ，离心率是 （）求椭圆 的方1A2B12AB32C程；（）若点 是椭圆 上异于 ， 的任意一点，直线 ， 与直线 分P1AP4x别交于 ， 两
7、点，证明：以 为直径的圆与直线 相切于点 ( 为椭圆 的MNMN2F2F右焦点)解：（）由已知 23,1.abc解得 ， 故所求椭圆方程为 2143xy证明：（）由（）知 ， ，设椭圆右焦点 1,0A2, 21,0F设 ，则 00,2Pxy2xy于是直线 方程为 ，令 ，得 ；10y4x062Myx所以 ，同理 (M4,062x)(N4,02y)- 6 -所以 ， .2FM(3,062yx)FN(3,02yx)所以 2(,0)(,0)00629yx2200311944xyx204x所以 ，点 在以 为直径的圆上 2FMN2F设 的中点为 ，则 E(4,021)yx又 ，2F(3,021)yx2
8、0,FPy所以 2EP(,024)x2000411,31yxxx00 0021334x所以 2FEP因为 是以 为直径的圆的半径， 为圆心， ，MNE2FP故以 为直径的圆与直线 相切于右焦点2F19. （2012 年丰台一模理 19）已知椭圆 C： 的离心率为 ，且经21(0)xyab2过点 (2,0)M（）求椭圆 C 的标准方程；（）设直线 l： 与椭圆 C 相交于 ，ykxm1(,)Axy两点，连接 MA，MB 并延长交直线 x=4 于 P，Q 两点，设 yP，y Q分别为点 P，Q 的2(,)Bxy纵坐标，且 求证：直线 过定点121PQyl- 7 -解：（）依题意 ， ，所以 2 分
9、2ac2c因为 ， 所以 3 分bb椭圆方程为 5 分214xy（）2ykxm消 y 得 ， 6 分22(1)440kxm因为 ， ，,Ax2,By所以 ， 7 分1221k21xk设直线 MA： ，则 ；同理 9 分1()y162Pyx26Qyx因为 ，12PQyy所以 ， 即 10 分121266x12406xy所以 ，1(4)()0yy所以 ，12214()xkmxk，21()8k，22244()011kkm所以 ，得 13 分280km则 ，故 过定点 14 分yxl(,)19.（2012 年朝阳一模理 19）已知椭圆 的两个焦点分别为2:1(0)xyCab- 8 -， .点 与椭圆短
10、轴的两个端点的连线相互垂直.（）求椭圆1(2,0)F2(,)(1,0)M的方程；（）已知点 的坐标为 ，点 的坐标为 .过点 任作直CN32P(,)3mnM线 与椭圆 相交于 ， 两点，设直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，lABANB1k23若 ，试求 满足的关系式.132k,mn解: （）依题意， ， ，c1b所以 .23ab故椭圆 的方程为 . 4 分C21xy（）当直线 的斜率不存在时，由 解得 .l 2,13xy6,3xy不妨设 ， ，6(1,)3A(,)B因为 ，又 ，所以 ，136232k132k21k所以 的关系式为 ，即 . 7 分,mnn0mn当直线 的斜率存在时，设直线
11、 的方程为 .l l(1)ykx将 代入 整理化简得， .(1)ykx213y223630kx设 ， ，则 , . 9 分1(,)A2(,)B2126kx21x又 ， .1ykx2()yk所以 112211321(3)()3yxyxx12122()()9kxk- 9 -1212(4)639kxxk22()1631kk12 分2(6).k所以 ，所以 ，所以 的关系式为 .13 分2213nm,n10mn综上所述， 的关系式为 . 14 分, 019.（2012 年东城 11 校联考理 19）已知顶点在坐标原点，焦点在 轴正半轴的抛物线上有x一点 ， 点到抛物线焦点的距离为 1.（1）求该抛物线
12、的方程；（ 2）设1()2A，为抛物线上的一个定点，过 作抛物线的两条互相垂直的弦 , ,求证：0,MxyMMPQ恒过定点 .（3）直线 与抛物线交于 , 两点，在抛物PQ00(,)y0myxEF线上是否存在点 ，使得 为以 为斜边的直角三角形.NEF解：（1）由题意可设抛物线的方程为 ，则由抛物线的定义可得 ，即2p12p，p所以抛物线的方程为 . 4 分xy2（2）由题意知直线 与 轴不平行，设 所在直线方程为PQPQ得 中代 入 xynmx2,20.ymn其中121,yn所 以 12,分 别 是 的 纵 坐 标 ,.MPQPk因 为 ， 所 以即 所以10201,yyxx1020()4.
13、yy,4)(202121 0 0(), 2.nmyxnmyx即- 10 -所以直线 的方程为PQ,20xmyx即 9 分0 0()2,(xmy y它 一 定 过 定 点 ） .（3）假设 （N上，01),2(,),), 000 myxyxy 、的解，消去 得x.14 分024,062my N所 以 存 在 点 满 足 条 件19.（2012 年石景山一模理 19）已知椭圆 （ ）右顶点与右焦点的距12byax0a离为 ，短轴长为 .（）求椭圆的方程；（）过左焦点 的直线与椭圆分别312 F交于 、 两点，若三角形 的面积为 ，求直线 的方程ABOAB324AB解：（）由题意， -1 分221acb解得 . -2 分 3,1ac即：椭圆方程为 .2yx -3 分 （）当直线 与 轴垂直时， ，AB43AB此时 不符合题意故舍掉； -4 分3OS当直线 与 x轴不垂直时，设直线 的方程为： )1(xky，代入消去 y得： . -6 分222()6(36)0kxk设 ，则 ， -7 分12(,)(,)AxB1223kx所以 . -9 分243(1)k200 ,1, 3x 所 以 是 方 程 组
