1、高中数学必修 2 知识培训 睿思教育1第一章 立体几何初步1.柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱 或用对角线的端点字母，如五棱柱EDCBA AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱
2、锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥 P几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台 EDCBA几何特征：上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：以直角三角形的一条直角边
3、为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。（7）球体：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。2.空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注 ：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系
4、，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。3.空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法特点：原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变；原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行，长度为原来的一半。高中数学必修 2 知识培训 睿思教育24.柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高， 为斜高，l 为母线）hcS直 棱 柱 侧 面 积 rS2圆 柱 侧 21chS正 棱 锥 侧 面 积rl圆 锥 侧 面 积 )(1c正 棱 台 侧 面 积 lRr)(圆 台
5、侧 面 积2圆 柱 表 lr圆 锥 表 22圆 台 表（3）柱体、锥体、台体的体积公式VSh柱 1()3VSh台 13VSh锥（4）球体的表面积和体积公式：V = ； S =球 34R球 面 24高中数学必修 2 知识培训 睿思教育3第二章 直线与平面的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系1.平面含义： 平面是无限延展的2.三个公理：（1） 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.符号表示为 ALBL = L AB公理 1 作用：判断直线是否在平面内.（2） 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C 三点不共线 = 有且
6、只有一个平面 ，使 A、B、C。公理 2 作用：确定一个平面的依据。（3） 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P =L，且 PL公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据.2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1.空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。2.公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设 a、b、c 是三条直线abcb强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理
7、 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。3.等角定理 ：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4.注意点： a与 b所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与 O 的选择无关，为了简便，点 O 一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角 (0， )； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1.直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 有无数个
8、公共点（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点注意：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a 来表示2高中数学必修 2 知识培训 睿思教育4a a=A a2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1.直线与平面平行 的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。(线线平行，则线面平行)符号表示： a b = aab2.2.2 平面与平面平行的判定1.两个平面平行 的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：a b ab = P ab2.判断两平面平行的方法有三
9、种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质1.直线与平面平行 的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 (线面平行,则线线平行)符号表示：a a ab= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2.两个平面平行 的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：= a ab= b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定1.定义：如果直线 L 与平面 内的任意一
10、条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面 互相垂直，记作L，直线 L 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P叫做垂足。P高中数学必修 2 知识培训 睿思教育5aL2.直线与平面垂直 的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2 平面与平面垂直的判定1.二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形Al B2.二面角的记法：二面角 -l- 或 -AB-3.两个平面互相垂
11、直 的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质1.直线与平面垂直 的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2.两个平面垂直 的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。高中数学必修 2 知识培训 睿思教育6第三章 直线与方程（1）直线的倾斜角定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜
12、率常用 k 表示，即 tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线 l 与 x 轴平行或重合时, =0, k = tan0=0;当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90, k 不存在.当 90时， ； 当 180,9时， k； 当 90时， k不存在。过两点的直线的 斜率 公式： )(212xxy （ ）12122,Pyx注意:(1)当 21x时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90；(2)k 与 P1、 P2的顺序无关； (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程 点斜式 ： )(11xy直线斜
13、率 k，且过点 1,yx注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是 y=y1。当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。 斜截式 ： bky，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 b 两点式 ： 2121（ 212,x）直线两点 1,x， 2,y 截矩式 ： xab其中直线 l与 轴交于点 (,0)a,与 y轴交于点 (0,),即 l与 x轴、 y轴的截距分别为 ,ab 一般式 ： 0CByA（ A， B 不全为 0）注意：各式的适用范围特殊的方程如：平行于 x 轴的直线： b（ b 为常数）；
14、 平行于 y 轴的直线： ax（ a 为常数）；（6）两直线 平行 与 垂直当 11:bxkyl， 22:bkl时，2,/；注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点 0:11CyBxAl0:22CyBxAl相交，交点坐标即方程组 02211CyBxA的一组解。方程组无解 / ； 方程组有无数解 1l与 2重合（8） 两点间距离公式 ：设 12(,),， （ ） 是平面直角坐标系中的两个点，则 2211|()()xy（9） 点到直线距离公式 ：一点 0yxP到直线 0:1CByAxl的距离 0d（10） 两平行直线距离公式已知两条平行线直线 和 的一般式方
15、程为 ： ， ： ，1l21l12l2CByAx高中数学必修 2 知识培训 睿思教育7则 与 的距离为1l2 21BACd第四章 圆与方程1.圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2.圆的方程：（1） 标准方程： 22rbyax，圆心 ba,，半径为 r；点 与圆 的位置关系：0(,)My()()当 ，点在圆外220r当 = ，点在圆上0()()xayb当 ，点在圆内220r（2） 一般方程： 02FEyDxy当 42E时，方程表示圆，此时圆心为 2,ED，半径为 FEDr4212当 0时，表示一个点；当 2时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方
16、法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出 D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的 中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3.直线与圆的位置关系：与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线 0:CByAxl，圆 22:rbyax，圆心 baC,到 l 的距离为 2BACbad，则有 相 离与lrd； 相 切与 Clrd； 相 交与ld（2）过圆外一点的切线方程：k 不存在，验证是否成立k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解 k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方
17、程：圆 (x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为 (x0， y0)，则过此点的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r24.圆与圆的位置关系： 设圆 2121:byaxC， 222: RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（ d）之间的大小比较来确定。a) 当 rRd时两圆外离，此时有公切线四条；b) 当 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；c) 当 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；d) 当 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；e) 当 r时，两圆内含； f) 当 0d时，为同心圆。高中数学必修 2 知识培训 睿思教育8注意 ：1.已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线2.圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
