1、圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第- 1 -页圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题【高考要求】1熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。2掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略；3灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。【热点透析】与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决：（1 ）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2 ）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组） ，通过解不等
2、式组得出离心率的变化范围；（3 ）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。（4 ）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5 ）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： 通过参数 简明地表示曲线上点的坐标； 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题；（6 ）构造一个二次方程，利用判别式0 。2.解题时所使用的数学思想方法。（1 ）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求
3、精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。（2 ）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。（3 ）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。（4 ）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。【题型分析】1. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，抛物线 的顶点在原点，21:(0,)xyCab1F22C准线与
4、双曲线 的左准线重合，若双曲线 与抛物线 的交点 满足 ，则双曲线 的离1 1C2P211心率为（ ）A B C D233解：由已知可得抛物线的准线为直线 ， 方程为 ；2axc24ayxc圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第- 2 -页由双曲线可知 ， ， ， ， 2(,)bPca224()ac22ba21e32椭圆 （ ）的两个焦点分别为 、 ，以 、 为边作正三角形，若椭圆21xy0F212恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率 为 （ B ）eA B C D3234(23)4解析：设点 为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图，P由平面几何知识可得 ，212|:|:F所以由椭圆
5、的定义及 得：cea，故选 B12| 312ceaP变式提醒：如果将椭圆改为双曲线，其它条件不变，不难得出离心率 31e3. （09 浙江理）过双曲线21(0,)xyab的右顶点 A作斜率为 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 ,BC若 2AB，则双曲线的离心率是 ( )A 2 B 3 C 5 D 10【解析】对于 ,0a，则直线方程为 0xya，直线与两渐近线的交点为 B，C ，22,(,)bbB，22(,),baabA，因此 245ACae答案：C4. （09 江西理）过椭圆 21xyb( 0a)的左焦点 1F作 x轴的垂线交椭圆于点 P， 2F为右焦点，若 1260FP，则椭
6、圆的离心率为（ ） A 2 B 3 C 1 D 3 【解析】因为2(,)bca，再由 1260FP有23,ba从而可得 3cea，故选 B1F2xOyP圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第- 3 -页5.（08 陕西理）双曲线21xyab（ 0a， b）的左、右焦点分别是 12F， ，过 1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于 M点，若 2F垂直于 x轴，则双曲线的离心率为（ B ）A 6B 3C D 36.（08 浙江理）若双曲线 12byax的两个焦点到一条准线的距离之比为 3：2,则双曲线的离心率是（D）（A）3 （B）5 （C） 3 （D） 57.（08 全国一理）在 A 中
7、， B， 7cos18若以 AB， 为焦点的椭圆经过点 C，则该椭圆的离心率 e 88.（10 辽宁文）设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B,如果直线 F与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）（A） 2 （B） 3 （C） 312 （D） 512解析：选 D.不妨设双曲线的焦点在 x轴上，设其方程为： (0,)xyab，则一个焦点为 (,0),Fcb 一条渐近线斜率为： ，直线 FB的斜率为： bc，()1ba，2c20ac，解得 512cea.9.（10 全国卷 1 理）已知 F 是椭圆 C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交 C 于点 D，
8、且 2 ，则 C 的离心率为_B解析：答案：33如图，设椭圆的标准方程为 1( a b0)不妨设 B 为上顶点， F 为右焦点，设 D(x， y)由2xy2 ，得 (c， b)2( x c， y)，BFD圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第- 4 -页即 ，解得 ， D( ， )2()cxby32cxby2由 D 在椭圆上得： 1， ， e . 223()cab2ca13ca3【解析 1】 3如图， 2|BF, 作 1Dy轴于点 D1,则由 BF2ur，得1|OFD,所以 13|Oc,即 32x,由椭圆的第二定义得223|()acea又由 |BF,得23,c3e【解析 2】设椭圆方
9、程为第一标准形式21xyab，设 2,Dxy，F 分 BD 所成的比为 2，22 303 0;1 cc cc bx b ，代入294ba， e10. （07 全国 2 理）设 12F， 分别是双曲线2xyab的左、右焦点，若双曲线上存在点 A，使1290FA且 123A，则双曲线的离心率为（ B ） A 52B 102C 5D解 122210()()(AFacec-= =+11. 椭圆 的左焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 的直线与椭圆交于 A、B 两20,)xyba5o圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第- 5 -页点且 F 分向量 BA 的比为 2/3，椭圆的离心率 e 为:
10、 。本题通法是设直线方程，将其与椭圆方程联立，借助韦达定理将向量比转化为横坐标的比。思路简单，运算繁琐。下面介绍两种简单解法。解法（一）：设点 A ， B ，由焦半径公式可得 ，,xy, 32ABaex则 ，变形 ，2()3()aee2()ABaex所以 因为直线倾斜角为 ，所以有 ，所以ABBxax45o25eA25e提示：本解法主要运用了圆锥曲线焦半径公式，借助焦半径公式将向量比转化为横坐标的关系。焦半径是圆锥曲线中的重要线段，巧妙地运用它解题，可以化繁为简，提高解题效率。一般来说，如果题目中涉及的弦如果为焦点弦，应优先考虑焦半径公式。解法（二）： 125BEFABe3AD2CBE1325
11、AABe12. （10 辽宁理）(20)（本小题满分 12 分）设椭圆 C：21(0)xyab的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线l 的倾斜角为 60o, AFB.椭圆 C 的离心率 ；解：设 12(,)(,)xy，由题意知 1y0 ， 20.圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第- 6 -页（）直线 l 的方程为 3()yxc，其中 2ab.联立 23(),1yxcab得 2224()30aby解得22123()(),3ccyyab因为 AFB，所以 12y.即 22()()ba得离心率 3cea. 6 分13. A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭
12、圆的中心，若椭圆上存在一点 P，使OPA= ,则椭圆离心率的范围是 _.2解析：设椭圆方程为 =1(ab0),以 OA 为直径的圆：x 2ax+y 2=0,两式联立消2yxy 得 x2ax +b2=0.即 e2x2ax+b 2=0,该方程有一解 x2,一解为 a,由韦达定理ax2= a,0x 2a，即 0 aa e1.e2e答案： e114. 在椭圆 上有一点 M， 是椭圆的两个焦点，若 ，2(0)xyab12,F21MFb椭圆的离心率的取值范围是; 解析: 由椭圆的定义，可得 又 ，所以 是方21a21b21,程 的两根，由 ， 可得 ，即220xab2()40bab所以 ，所以椭圆离心率的
13、取值范围是22()ccea,1)15. （08 湖南）若双曲线 （a0, b0 ）上横坐标为 的点到右焦点的距离大于它到左准线21xy32a的距离，则双曲线离心率的取值范围是A.(1,2) B.(2,+ ) C.(1,5) D. (5,+ )圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第- 7 -页解析 由题意可知 即 解得 故选 B. 2233()()aaecc312ee16.（07 北京）椭圆 的焦点为 ， ，两条准线与 轴的交点分别为 ，21(0)xyb1F2xMN，若 ，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）12MNF (0， 2(0， 1)2， 21)，解析 由题意得 故选 D. 2ac
14、e17.（07 湖南）设 分别是椭圆 （ ）的左、右焦点，若在其右准线上存在12F， 21xyab0a使线段 的中垂线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）,P12A B C D.2(0， 3(0， 21)， 31)，分析 通过题设条件可得 ，求离心率的取值范围需建立不等关系，如何建立？2PFc解析：线段 的中垂线过点 ， ，又点 P 在右准线上，122c2aFc即 ，故选 D.2ac3c1e点评 建立不等关系是解决问题的难点，而借助平面几何知识相对来说比较简便.18. （08 福建理）双曲线 （a0,b0）的两个焦点为 F1、 F2,若 P 为其上一点，且2xyb|PF1|=2|PF2|,则
15、双曲线离心率的取值范围为（B）A.(1,3) B. C.(3,+ ) D.1,33,分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？利用第二定义及焦半径判断 0xa解析：|PF 1|=2|PF2|,|PF 1|PF2|=|PF2|= ，|PF 2| 即 acc3ac所以双曲线离心率的取值范围为 ，故选 B.3e圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第- 8 -页解 2 如图 2 所示，设 ， ，2PFm12(0).()4cos54coscea当点 P 在右顶点处有 . ， .11,3e选 B.小结 本题通过设角和利
16、用余弦定理，将双曲线的离心率用三角函数的形式表示出来，通过求角的余弦值的范围，从而求得离心率的范围.点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于 ）则可建立不等关系使问题迎刃而解. ca19.（08 江西理）已知 1F、 2是椭圆的两个焦点，满足 120MF的点 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C）A (0,) B (0, C (,) D ,)解 据题意可知， M 是直角，则垂足 M 的轨迹是以焦距为直径的圆.所以1F2.又 ，所以 .选 C.222cbace(0,)2,0(e小结 本题是最常见的求离心率范围的问题，其方法就是根据已知
17、条件，直接列出关于 a，b，c 间的不等量关系，然后利用 a，b，c 间的平方关系化为关于 a，c 的齐次不等式，除以 即为关于离心率 e 的一2元二次不等式，解不等式，再结合椭圆或双曲线的离心率的范围，就得到了离心率的取值范围.20. （04 重庆）已知双曲线 的左，右焦点分别为 ,点 P 在双曲线的右支21,(0,)xybab12F上，且 ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为：( )12|4|PFA B C D 353273|PF 1|=4PF2|,|PF 1|PF2|=3|PF2|= ，|PF 2| 即 acac53ac所以双曲线离心率的取值范围为 ，故选 B.53e21. 已知 ， 分
18、别为 的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点，若1F221xyab(0,)ab圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第- 9 -页的最小值为 ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A B C D21PF8a (1,2(,32,3,)解析 ，欲使最小值为 ，需右221 22()4448aPFaPFaa8a支上存在一点 P，使 ，而 即 所以 .22cc13e22. 已知椭圆 右顶为 A,点 P 在椭圆上，O 为坐标原点，且 OP 垂直于 PA，椭圆的21(0)xyab离心率 e 的取值范围是; 。 解：设 P 点坐标为（ ）, 则有0xy20201xyab消去 得 若利用求根公式求 运
19、算复杂，应注意到方程的一个根为 a,20y2320()ab0x由根与系数关系知 由 得2002abxx0a21e23. 椭圆 ： 的两焦点为 ，椭圆上存在点 使G21()ya12(,)(,0FcM. 求椭圆离心率 的取值范围 ；120FMe解析 设 2212(,)0xyFxyc将 代入得 求得 .22ba2ab20xa1e点评： 中 ，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中21(0)xyx经常使用，应给予重视.24. （06 福建）已知双曲线 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 的直线与21(0,)yab60双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A） （
20、B ） （C） （D ）(1,2(,2)2,)(2,)解析 欲使过点 F 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于60圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第- 10 -页等于渐近线的斜率 ， ，即 即 即 故选 C.ba3ba223ca24ce25. （04 全国）设双曲线 C： 相交于两个不同的点 A、B. 求1:)0(12 yxlyx与 直 线双曲线 C 的离心率 e 的取值范围： 解析 由 C 与 相交于两个不同的点，故知方程组l有两个不同的实数解.消去 y 并整理得 1,2yxa（1a 2）x 2+2a2x2 a2=0. 所以 解得40.8
21、().021.a且双曲线的离心率： 21e,a且 62e且所以双曲线的离心率取值范围是 6(,)(2,)总结：在求解圆锥曲线离心率取值范围时，一定要认真分析题设条件，合理建立不等关系，把握好圆锥曲线的相关性质，记住一些常见结论、不等关系，在做题时不断总结，择优解题.尤其运用数形结合时要注意焦点的位置等.26 设 12F， 分别是椭圆21xyab（ 0a）的左、右焦点，若在其右准线上存在 ,P使线段1P的中垂线过点 2，则椭圆离心率的取值范围是（ D ）A 0，B 30，C 21，D 31，223acace+=27. （09 重庆卷文）已知椭圆21(0)xyab的左、右焦点分别为 12(,0)(,Fc，若椭圆上存在一点 P使 1221sinsiacFP，则该椭圆的离心率的取值范围为 【答案】 ,
