1、1第一届全国大学生数学竞赛预赛试题一、填空题（每小题 5 分，共 20 分）1计算 _ ，其中区域 由直线 与两坐标轴所围成三角形区域.yxyxDd1)ln()( D1yx2设 是连续函数，且满足 , 则 _.)(f 20d)(3)(xff )(f3曲面 平行平面 的切平面方程是_.22yxz zyx4设函数 由方程 确定，其中 具有二阶导数，且 ，则 _.)(29ln)(yfef 1f2dxy二、 （5 分）求极限 ，其中 是给定的正整数.xexx )lim20三、 （15 分）设函数 连续， ，且 ， 为常数，求 并讨论)(f10d)()(tfgAxf)(lim0 )(xg在 处的连续性.
2、)(xg0四、 （15 分）已知平面区域 ， 为 的正向边界，试证：0,|),(yxyDLD（1） ； （2） .LLxy eex ddsinsinsinsin 2sinsin5dyyxex五、 （10 分）已知 ， ， 是某二阶常系数线性非齐次微分xey21xeyxxey23方程的三个解，试求此微分方程.六、 （10 分）设抛物线 过原点.当 时, ,又已知该抛物线与 轴及直线cbxayln2210x0yx所围图形的面积为 .试确定 ,使此图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.1x31七、 （15 分）已知 满足 , 且 , 求函数项级数 之)(xun )21()(nexunn neu)
3、1(1)(nxu和. 八、 （10 分）求 时, 与 等价的无穷大量.102n2第二届全国大学生数学竞赛预赛试题一、 （25 分，每小题 5 分）（1）设 其中 求 （2）求 。22(1)(1),nnxaa |1,lim.nx 21limxxe（3）设 ，求 。0s0,sxnIed（4）设函数 有二阶连续导数， ，求 。()ft 21,()rxygfr2gxy（5）求直线 与直线 的距离。10:xylz213:4zl二、 （15 分）设函数 在 上具有二阶导数，并且()f,)且存在一点 ，使得 ,证明：方程 在()0,lim)0,li0xxff0x0()fx()0fx恰有两个实根。,三、 （1
4、5 分）设函数 由参数方程 所确定，其中 具有二阶导数，曲线()yfx2(1)xty()t与 在 出相切，求函数 。()yt213tued1t t四、 （15 分）设 证明：（1）当 时，级数 收敛； （2）当 且0,nnkaSa11naS1时，级数 发散。()ns1n五、 （15 分）设 是过原点、方向为 ， （其中 的直线，均匀椭球l(,)221)，其中（ 密度为 1）绕 旋转。 （1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量221xyzabc0,cbal关于方向 的最大值和最小值。(,)六、(15 分) 设函数 具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 上，曲线积分()x C的值为常数。
5、 （1）设 为正向闭曲线 证明 42(cxydAL2()1,xy42()0;cxydA3（2）求函数 ；（3）设 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求 。()xC42()cxydA4第三届全国大学生数学竞赛预赛试题一 计算下列各题（共 3 小题，每小题各 5 分，共 15 分）（1）.求 ； （2）.求 ；1cos0inlmxx 11lim.2nn（3）已知 ，求 。lnarctttey2dyx二 （10 分）求方程 的通解。2410xd三 （15 分）设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有二阶连续导数，且 均不为“,0,ff0，证明：存在唯一一组实数 ，使得 。123,k1230lim0h
6、kfhk四 （17 分）设 ，其中 ， ， 为 与212:xyzabcabc22:zxy1的交线，求椭球面 在 上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。2五 （16 分）已知 S 是空间曲线 绕 y 轴旋转形成的椭球面的上半部分（ ）取2310xz 0z上侧， 是 S 在 点处的切平面， 是原点到切平面 的距离， 表示,Py,xz,S 的正法向的方向余弦。计算：（1） ；（2）,Sdy3SzxyzdS六 （12 分）设 f(x)是在 内的可微函数，且 ，其中 ，任取,fmf、 01实数 ，定义 证明： 绝对收敛。0a1ln,2.fa11na七 （15 分）是否存在区间 上的连续可微函数 f(
7、x)，满足 ，0, 02ff？请说明理由。201,1fxfxd、5第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷一.每题 6 分共 30 分1.求极限 ； 2.求极限 ；21)!(limnn dttx13cosinlim3.求通过直线 的两个相互垂直的平面 ，是其中一个平面过点（ ） ；0345:zyxL 21,1,344.已知函数 ，且 ，确定常数 和 ，使函数 满足方程baeuz),(2xuab),(yxz；02xyx5.设函数 连续可微， ，且 在右半平面上与路径无关，求)(u1)2(uudyxudyxL)()2(3；)(x二.（10 分）计算 ；dxex02|sin|三.（10 分）求方程 的近似解
8、，精确到 ；501i201.四.（12 分）设函数 二阶可导，且 ，求 ，其中)(xfy )(,)(,)(ffxf uxfx30sin)(lm是曲线 上点 处切线在 轴上的截距；u)(f,fP五.（12 分）求最小实数 ，使得对满足 的连续的函数 ，都有 ；C1|)(|10dxf )(xf Cdxf10)(六.（12 分）设 为连续函数， ，区域 是由抛物面 和球面 所围)(xft2yxz22tzyx起来的上半部分，定义三重积分 ，求 ；dvyxfF)()(22 )(tF七.（14 分）设 与 为正项级数那么（1）若 ，则 收敛；（1）若1nanb 0)1(limnbnana6，则若 发散，
9、收敛。0)1(limnbna1nb1na7第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、 解答下列各题（每小题 6 分共 24 分）1.求极限 . 2.证明广义积分 不是绝对收敛的2lim1sin4nn0sinxd3.设函数 由 确定，求 的极值。yx323yy4.过曲线 上的点 A 作切线，使该切线与曲线及 轴所围成的平面图形的面积为 ，30 x34求点 A 的坐标。二、 （12 分）计算定积分 2sinarct1oxxeId三、 （12 分）设 在 处存在二阶导数 ，且 。证明 ：级数 收敛。fx00f0limxf1nf四、 （12 分）设 ，证明,0fxfaxb2sinbafxd五、 （14 分）
10、设 是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分。试确定曲面 ，使积分 I 的值最小，并求该最小值。3332Ixdyzydzxzdxy 六、 （14 分）设 ，其中 为常数，曲线 C 为椭圆 ，取正向。求极2aaCydxIrA22xyr限 limarI七（14 分）判断级数 的敛散性，若收敛，求其和。12nn8第六届全国大学生数学竞赛预赛试题一 填空题(共有 5 小题，每题 6 分，共 30 分)1.已知 和 是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是_ xey1x12.设有曲面 和平面 。则与 平行的 的切平面方程是_2:yzS02:zyxLLS3.设函数 由方程 所确定。求 _)(
11、xydt14sin0xdy4.设 。则 _ 5.已知 。则 _nk1)!(nxlim310)(1limefx20)(limxf二 （12 分）设 为正整数，计算 。12lncosnedI三 （14 分）设函数 在 上有二阶导数，且有正常数 使得 。证明：)(xf1,0 BA,|()|“()|fxAfxB，对任意 ，有 。1,0x2|BA四 （14 分） （1）设一球缺高为 ，所在球半径为 。证明该球缺体积为 。球冠面积为hR2)3(hR；（2）设球体 被平面 所截得小球缺为 ，记球冠Rh 12)()1()(22zyx 6:zyxP为 ，方向指向球外。求第二型曲面积分dzxdyI五 （15 分）
12、设 在 上非负连续，严格单增，且存在 ，使得 。f,ba ,baxnbanndxfxf)(1)(求 nxlim六 （15 分）设 。求2221nnAn nnA4lim9第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题 6 分，共 5 小题，满分 30 分）（1）极限 .222sinisinlm1n（2）设函数 由方程 所决定，其中 具有连续偏导数，且,zxy,0zFxy ,Fuv。则 .0uvxFyz（3）曲面 在点 的切平面与曲面所围区域的体积是 .21zxy,13M(4)函数 在 的傅立叶级数在 收敛的值是 .3,5,0.f, 0x（5）设区间 上的函数 定义域为的 ，则 的初等函数表达
13、式是 .0,ux20xtuedux二、 （12 分）设 是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。三、 （12 分）设 在 内二次可导，且存在常数 ，使得对于 ，有fx,ab,ab，则 在 内无穷次可导。fxfx,ab四、 （14 分）求幂级数 的收敛域，及其和函数。3021!nn五、 （16 分）设函数 在 上连续，且 。试证：fx,11100,fxdfxd（1） 使 （2） 使0,1x041,14六、 （16 分）设 在 上有连续的二阶偏导数，且 。若,fxy222xyffM证明： 。0,0,0,xyfff21,4xyfdxy10第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷1、填空题（每小题 5 分，
14、满分 30 分）1、若 在点 可导，且 ，则 .fxa0fa1limnnfa2、若 ， 存在，求极限 .0f1f 20sicotan3l1ixxfxIe3、设 有连续导数，且 ，记 ，若 ，求 在 的表达式.fx2fxzfyzf04、设 ，求 ， .sin2e0na405、求曲面 平行于平面 的切平面方程. xzy2xyz二、 （14 分）设 在 上可导， ，且当 ， ，f0,10f0,1x1fx试证当 ， . ,a2300aafxdfxd3、 （14 分）某物体所在的空间区域为 ，密度函数为 ，求质量22:yzxyz22xyz. 22Mxyzdx四、 （14 分）设函数 在闭区间 上具有连续导数， ， ，fx0,10f1f证明： . 101lim2nnkfdf5、 （14 分）设函数 在闭区间 上连续，且 ，证明：在 内存在不同的两点 ，fx0, 10Ifxd0,112,x使得 . 12fxfI6、设 在 可导，且 . 用 Fourier 级数理论证明 为常数.fx,23fxffx fx
