1、1多面体与球的内切和外接常见类型归纳在平常教学中，立体几何的多面体与球的位置关系，是培养学生的立体感，空间想象能力的好教材。可是学生在两个几何体的组合后，往往感到无从下手。针对这种情况，笔者把日常教学中有关这方面的习题加以总结和归类如下：一正四面体与球如图所示，设正四面体的棱长为 a，r 为内切球的半径，R 为外接球的半径。则高 SE= a,32斜高 SD= a，OE=r=SE-SO，又43SD=BD,BD=SE-OE,则在 222)(OESBDEOEB中 ，直 角r= 。R=SO=OB=a126a46特征分析：1 由于正四面体是一个中心对成图形，所以它的内切球与外接球的球心为同一个。2 R=
2、3r. r= R= 。此结论可以记忆。a1264例题一。1、一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一2球面上，则此球的表面积为（ ）分析：借助结论，R= = = ,所以 S=4 =3 。a46232RC BDAOSEF22、球的内接正四面体又有一个内切球，则大球与小球的表面积之比是（ ）分析：借助 R=3r，答案为 9：1。二、特殊三棱锥与球四个面都是直角三角形的三棱锥。SA ABCABC为 直 角 三 角 形 ，面 ,因为 SA AC，SB BC，球心落在 SC的中点处。所以 R= 。2S三正方体与球。1正方体的外接球即正方体的 8 个定点都在球面上。关键找出截面图:ABCD 为正方体的体
3、对角面。设正方体的边长为a，则 AB= a，BD=2R，AD=a ，2R= a。3C2 正方体的内切球。（1）与正方体的各面相切。如图：ABCD 为正方体的平行侧面的正方形。SACOBOCBSAOBDBACDCD3R= 2a（2）与正方体的各棱相切。如图：大圆是正方形 ABCD 的外接圆。AB=CD=a，R= a。23 在正方体以一个顶点为交点的三条棱组成的三棱锥，特征是：三棱锥的三条侧棱互相垂直且相等，它的外接球可把三棱锥补形成正方体的外接球，再求解。例题：1。正方体的全面积是 24，它的顶点都在同一球面上，这个球的表面积是 解析：显然，球是正方体的外接球，a=2，则R= ，S=12 。32
4、2一个球与棱长为 1 的正方体的 12 条棱都相切，则球的体积 解析：如果明确了上面的结论，问题很容易解决。R= 1=22V= 33将棱长为 1 的正方体削成体积最大的球，则球的体积为 解析：削成体积最大，即要求球是正方体的内切球，与正方体的俄各面都相切。R= ，V= 。2344P、A、B、C、是球 O 面上的四个点，PA、PB 、PC 两两垂ADBC4直，且 PA=PB=PC=1，则球的体积是 解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成正方体，则球是正方体的外接球，所以 R= ，V= 。23四、正棱柱与球 1正三棱柱外接球。如图所示：过 A 点作 AD 垂直 BC,D为三角形 ABC 的中心，
5、 D1 同样得到。则球心 O 必落在 DD1 的中点上。利用三角形 OAD 为直角三角形，OA=R,可求出 R.2.正四棱柱外接球。道理与上面相似。主要是找截面，构造直角三角形，利用勾股定理求得。例题：1。已知一个半径为 的球中有一个各条棱长都相等的21内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是 解析：如上图，OA= ,OD= ，AD= ，可求21aa3a6，V=54 .32. 正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的各个顶点都在半径为 R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 BA CC1A11B1D11DOCBADO5解析：截面如图：ABCD 为正四棱柱的体对角面 OD=R，设AD=a，底面正方形的边长为 b，则有 DC= b，则 R2=（a/2）2+（ b/2） 2，S=4ba = 。2a24R五、长方体与球1长方体的外接球。截面图如右图：实质构造直角三角形，联系半径与长方体的长宽高。半径为体对角线的一半。2在长方体以一个顶点为交点的三条棱组成的三棱锥，特征是：三棱锥的三条侧棱互相垂直不相等，它的外接球可把三棱锥补形成长方体的外接球，再求解。例题：一个三棱锥三条棱两两垂直，其长分别是 3，4，5，则它的外接球的表面积是 解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成长方体，则球是长方体的外接球，所以 R= ，S=50 。25CBAD O
