1、第六讲：分数百分数应用题教学目标1. 分析题目确定单位“1”2. 准确找到量所对应的率，利用量对应率单位“1”解题3. 抓住不变量，统一单位“1” BJ03-Y0355知识点拨：一、知识点概述分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续和深化，另一方面，它有其自身的特点和解题规律在解这类问题时，分析中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键关键：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量也称为：单位“1” ，进行对比分析。在几个量中，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系例如：（1）a
2、是 b 的几分之几，就把数 b 看作单位“1” （2）甲比乙多 ，乙比甲少几分之几？18方法一：可设乙为单位“ ”，则甲为 ，因此乙比甲少 .198198方法二：可设乙为 份，则甲为 份，因此乙比甲少 .二、怎样找准分数应用题中单位“1”（一）、部分数和总数在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么总数就是单位“1”。例如：我国人口约占世界人口的几分之几？世界人口是总数，我国人口是部分数，世界人口就是单位“1”。解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。（二）、两种数量比较分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。有的是“比”字句，
3、有的则没有“比”字，而是带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。例如：六（2）班男生比女生多就是以女生人数为标准（单位“1”），解题关键：在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看“占”谁的，“相当于”谁的，“是”谁的几分之几。这个“占”，“相当于”，“是”后面的数量谁就是单位“！”。（三）、原数量与现数量有的关键句中不是很明显地带有一些指向性特征的词语，也不是部分数和总数的关系。这类分数应用题的单位“1”比较难找。需要将题目文字完善成我们熟悉的类似带“比”的文字，然后在分析。例如：水结成冰后体积
4、增加了，冰融化成水后，体积减少了。完善后：水结成冰后体积增加了 “水结成冰后体积比原来增加了” 原来的水是单位“1”冰融化成水后，体积减少了 “冰融化成水后，体积比原来减少了” 原来的冰是单位“1”解题关键：要结合语文知识将题目简化的文字丰富后在分析例题精讲【例 1】 (小数报数学竞赛初赛)甲、乙两人星期天一起上街买东西，两人身上所带的钱共计是 元.在人86民市场，甲买一双运动鞋花去了所带钱的 ，乙买一件衬衫花去了人民币 元这样两人身上所4916剩的钱正好一样多问甲、乙两人原先各带了多少钱?【 方 法 一 ：把 甲 所 带 的 钱 视 为 单 位 “ ”，由 题 意 ，乙 花 去 元 后 所
5、剩 的 钱 与 甲 所 带 钱 的 一 样 多 ，那 么11659元 钱 正 好 是 甲 所 带 钱 的 ，那 么 甲 原 来 带 了 (元 )，乙 原 来 带 了861595(8)(149(元 )45方 法 二 ：【86【16【4【设甲所带的钱数为 份，则甲和乙都 还剩 份，所以每份是 (元 )，则甲原来带了95(1(95(元 )，乙原来 带了 (元 ).5945164【巩固】 一实验五年级共有学生 152 人，选出男同学的 和 5 名女同学参加科技小组，剩下的男、女人数1正好相等。五年级男、女同学各有多少人？【 根据题意画出线段图，找出量率 对应：题中所给的已知数量虽然没有直接的对应关系，
6、但从中可以看出，如果女工去掉 5 人就和男工人数的（1 ）相对应，因此总人数也 应去掉 5 人，相 应的与男工人数的（ 1 1）相对应。因此男工有：（1525）（1 1）=77（名）女工有：15277=75（名） 答：男共有 77 名，女工有 75 名。【巩固】 五年级有学生 人，选出男生的 和 名女生参加团体操，这时剩下的男生和女生人数一样多，23841问：五年级女生有多少人？【 男生人数为 (人) ，女生有： (人)(14)(28328140【例 2】 甲、乙两个书架共有 本书，从甲书架借出 ，从乙书架借出 以后，甲书架是乙书架的01375%倍还多 本，问乙书架原有多少本书？215【 甲
7、甲 甲乙 乙 乙 乙共 本10甲乙甲乙 150 本还剩下 甲的 比乙的 多 本23150甲乙甲乙 150 本甲乙甲乙 150 本甲的 比乙多 本430同时扩大两倍这个题目的难点就在于甲乙的数目同时发生了变化， 变化之后的关系是两倍 还多 本，也就是 说：150甲的 比乙的 的两倍还多 本，如果能 够正确地理解和 转化这个条件，这道题也就迎刃而解了，2314150从上图中不难看出， “甲的 比乙的 的两倍还多 本”其实也就是“甲的 比乙的 多 本”，如23415023果同时扩大两倍，他们之间的关系就 变成了“ 甲的 比乙多 本”，结合“甲乙的和为 本”这个4310条件，这个问题就变成了一个 简单
8、的和倍问题了。， ， （本）， ，123175%4023124（本）甲的书本数目(0)()6（本）乙的书本数目16方法二：设甲原有 x 本书， ，解得 ，则乙为 5001502175%103xx 60x本。【例 3】 五年级上学期男、女生共有 人，这一学期男生增加 ，女生增加 ，共增加了 人这一3012512013学年六年级男、女生各有多少人?【 方法一：此题我们用假设法来解答 假设这一学期五年级男、女生人数都增加 ，那么增加的人数 应5为 (人) ，这与实际增加的 人相差 (人)相差 人的原因是把女生增加的 看1302513121120成 计算了，即少算了原女生人数的 ，也就是说这 人正好相
9、当于上学期女生人数的12512051，可求出上学期女生的人数： (人)，男生人数为： (人)，%(3)(0230120这学年女生的人数： (人)，这学年男生的人数： (人) 101 285方法二：本题可以看成男生 1 份女生 1 份13（人），那么男生 20 份女生 20 份=1320 260（人），对比分析可以看出：30026040（人）对应男生的 25205（份），所以男生有 405（251）208（人），女生有 30013 208105（人）。【巩固】 把金放在水里称，其重量减轻 ，把银放在水里称，其重量减轻 现有一块金银合金重 克，191070放在水里称共减轻了 克，问这块合金含金、银
10、各多少克？50【 方法一：设合金含金 克， 则银有 克依题意，列方程得： ，x(70)x(7)519xx解得 ，所以这块合金中金有 克，银有 克57x520方法二：本题可以看成金 1 份银 1 份50（克），那么金 10 份银 10 份=5010 500（克），对比分析可以看出：770500270（克）对应金的 19109（份），所以金有 270919570（人），银有770570=200（人）。【例 4】 光明小学有学生 人，其中女生的 与男生的 参加了课外活动小组，剩下的 人没有参904723340加这所小学有男、女生各多少人?【 （用 假 设 法 ）假 设 男生、女生都有 的人参加了课外
11、活 动小组，那么共有 (人)，比现在多出23 2906了 (人) ，这多出的 人即为女生的 ，所以女生人数 为609340402437(人)，男生人数 为 (人)247928【巩固】 二年级两个班共有学生 人，其中少先队员有 人，又知一班少先队员占全班人数的 ，二班少071 34先队员占全班人数的 ，求两个班各有多少人？56【 本题与鸡兔同笼问题相似，根据 鸡兔同笼问题的假设法，可求得一班人数为(人) ，那么二班人数为 (人)53(9071)(48690482【例 5】 盒子里有红，黄两种玻璃球，红球为黄球个数的 ，如果每次取出 个红球， 个黄球，若干次547后，盒子里还剩 个红球， 个黄球，
12、那么盒子里原有_个玻璃球250【 由于红球与黄球个数比为 ，所以若每次取 个红球， 个黄球，则最后剩下的红球与黄球的个数:410比仍为 ，即最后剩下 个 红球， 个黄球，而实际上是每次取 个红球， 个黄球，最后剩 个红:5 2球， 个黄球，每次少取了 3 个黄球，最后多剩下 45 个黄球，所以一共取了 次，所以球的0 4531总数为 个(47)125017【巩固】 甲乙两班的同学人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，已知甲班参加的人数恰好是乙班未参加人数的三分之一，乙班参加人数恰好是甲班未参加人数的四分之一，问甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之几？【 分别用甲参、甲未、乙参、乙未
13、表示甲、乙班参加和未参加的人数，则：甲参+甲未=乙参+乙未，1111834349末参 末 末 末 末 末 末 末 末甲将 甲 乙 、 乙 甲 代 入 上 式 ， 得 乙 甲 甲 乙 ,解 得 乙【例 6】 （ 年第七届“希望杯”五年级一试）工厂生产一批产品，原计划 15 天完成。实际生产时改209进了生产工艺，每天生产产品的数量比原计划每天生产产品数量的 多 10 件，结果提前 4 天完51成了生产任务。则这批产品有 件。【 设原计划每天生产 份， 则实际每天生产 份加 件，而根据题意这批产品共有 份，所1510156以实际每天生产 份，所以 份与 份加 件的和相同，所以每份就是 件，所以这6
14、5(4)批产品共有 件.或用方程来解.【例 7】 有若干堆围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆中白子都占 28小明从某一堆中拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子，现在，在所有的棋子中，白子将占 32那么，共有棋子多少堆?【 设每堆棋子为 100 个有 x 堆棋子，那么每堆中白子为 28 个，黑子为 72 个，那走一半棋子且为黑子时，还剩白子为 28x 个，黑子 为（72x 50）个，所以列方程为： ,解得 ，所以有 4 堆。283%105x=x【例 8】 我从飞机的舷窗向外看去，看见了部分海岛、部分白云以及不大的一块海域，假定白云占窗口画面的一半，它遮住了岛的 ，因此岛在窗口画面上只占 ，问被白云遮住
15、的那部分海洋占画面的144多少？【 5/12.【例 9】 养殖专业户王老伯养了许多鸡鸭，鸡的只数是鸭的只数的 倍鸭比鸡少几分之几？1 4【 方法一：把鸭看成单位“ ”，那么鸡就是 ，鸭比鸡少： (此时的单位“1”是鸡的只数)11 4()5方法二：设鸭有 份，则鸡有 份，所以 鸭比鸡少 .4515【巩固】 某校男生比女生多 ，女生比男生少几分之几？37【 方法一：男生比女生多 ，则男生有 ，女生比男生少 .31073107方法二：设女生有 份，则男生有 份，所以女生比男生少 .【例 10】 学校阅览室里有 36 名学生在看书，其中女生占 ，后来又有几名女生来看书，这时女生人数占所49有看书人数的
16、 问后来又有几名女生来看书?91【 把总人数视为“1”，紧抓住男生人数不变进行解答男生人数是 人，后来 阅览室的总人436(1)209数是 (名) ，后来有 (名)女生进来20(3893862【巩固】 （2009 年五中小升初入学测试题）工厂原有职工 128 人，男工人数占总数的 ，后来又调入男职14工若干人，调入后男工人数占总人数的 ，这时工厂共有职工 人25【 在调入的前后，女 职 工人数保持不变在调入前，女职工人数为 人，调入后女职工占128()96总人数的 ，所以 现在工厂共有 职工 人23153960【巩固】 有甲、乙两桶油，甲桶油的质量是乙桶的 倍，从甲桶中倒出 5 千克油给乙桶后
17、，甲桶油的质量52是乙桶的 倍，乙桶中原有油 千克43【 原来甲桶油的质量是两桶油总质量的 ，甲桶中倒出 5 千克后剩下的油的质量是两桶油总质57量的 ，由于总质量不变，所以两桶油的总质量为 千克，乙桶中原有油47 4()37千克23510【例 11】 （1）某工厂二月份比元月份增产 10，三月份比二月份减产 10问三月份比元月份增产了还是减产了？（2）一件商品先涨价 15，然后再降价 15，问现在的价格和原价格比较升高、降低还是不变？【 （1）设二月份产量是 1，所以元月份 产量为： ，三月份 产量为： ，因为101+%=10%=.90.9，所以三月份比元月份减 产了0（2）设商品的原价是
18、1，涨价后 为 ，降价 15%为： ，现价和原价+5=. .5.75比较为：0.97751，所以价格比 较后是价降低了。【例 12】 某校三年级有学生 240 人，比四年级多 ，比五年级少 四年级、五年级各多少人？1415【 比四年级,可以设四年级为 4 份,（一般情况下可设“比”、 “是”、等词后面的实际量的份数为分数的分母），则三年级为 5 份恰有 240 人,所以一每份就是 ,所以四年级就有 48 4 192 人,同理可设208五年级有 5 份,则三年级有 4 份恰是 240 人,所以五年级就有 300 人.【巩固】 把 个人分成四队，一队人数是二队人数的 倍，一队人数是三队人数的 倍，
19、那么四队有10 131多少个人?【 方法一：设一队的人数是“ ”，那么二队人数是： ，三 队的人数是： ，1445，因此，一、二、三队之和是：一队人数 ，因为人数是整数，一队人数一定是 的345120512020整数倍，而三个队的人数之和是 (某一整数)， 因为这是 以内的数， 这个整数只能是 所以5 1三个队共有 人，其中一、二、三队各有 ， ， 人而四队有： (人)206149方法二：设二队有 份，则一队 有 份；设三队有 份， 则一队有 份.为统一一队所以设一队有44份， 则二队有 份，三队有 份，所以三个队之和为 份，而四个队的份4,515620数之和必须是 的因数，因此四个队份数之和
20、是 100 份，恰是一份一人，所以四队有0人(人).19【例 13】 新光小学有音乐、美术和体育三个特长班，音乐班人数相当于另外两个班人数的 ，美术班人数25相当于另外两个班人数的 ，体育班有 人，音乐班和美术班各有多少人？3758【 条件可以化为：音乐班的人数是所有班人数的 ，美 术班的学生人数是所有班人数的27，所以体育班的人数是所有班人数的 ，所以所有班的人数为 人，3710 391029581407其中音乐班有 人，美术班有 人.2407402【巩固】 甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工 20 个，丙加工零件数是乙加工零件数的 ，甲45加工零件数是乙、丙加工零件总数的 ，则甲
21、、丙加工的零件数分别为 个、 56个【 把乙加工的零件数看作 1，则丙加工的零件数为 ，甲加工的零件数为 ，由于甲比乙多45453(1)62加工 20 个，所以乙加工了 个，甲、丙加工的零件数分 别为 个、320()00个40325【例 14】 王先生、李先生、赵先生、杨先生四个人比年龄，王先生的年龄是另外三人年龄和的 ，李先生12的年龄是另外三人年龄和的 ，赵先生的年龄是其他三人年龄和的 ，杨先生 26 岁，你知道王1314先生多少岁吗?【 方法一：要求王先生的年龄，必 须先要求出其他三人的年龄各是多少而题目中出现了三个“另外三人”所包含的对 象并不同，即三个 单位“ ”是不同的，这就是所说
22、的单位“ ”不统一，因此，解答此题的关键便是抓不变量， 统一单位 “ ”题中四个人的年 龄总和是不变的，如果以四个人的年龄总和为单1位“ ”，则单位“ ”就统一了那么王先生的年龄 就是四人年龄和的 ，李先生的年龄就是四1 123人年龄和的 ，赵先生的年 龄就是四人年龄和的 (这些过程就是所谓的转化单位“ ”)34451则杨先生的年龄就是四人年 龄和的 由此便可求出四人的年龄和：134560(岁) ，王先生的年龄为： (岁)12620 120方法二：设王先生年龄是 1 份,则其他三人年龄和为 2 份,则四人年龄和为 3 份,同理设李先生年龄为 1份,则四人年龄和为 4 份,设赵先生年龄为 1 份
23、,则四人年龄和为 5 份,不管怎样四人年龄和应是相同的,但是现在四人年龄和分别是 3 份、 4 份、 5 份，它们的最小公倍数是 60 份，所以最后可以设四人年龄和为 60 份，则王先生的年龄就变为 20 份，李先生的年 龄就变为 15 份，赵先生的年龄就变为 12 份，则杨先生的年龄为 13 份，恰好是 26 岁，所以 1 份是 2 岁，王先生年龄是 20 份所以就是 40 岁.【巩固】 甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑 1200 米长的一段公路，甲队筑的路是其他三个队的 ，乙队筑的12路是其他三个队的 ，丙队筑的路是其他三个队的 ，丁队筑了多少米？13 14【 甲队筑的路是其他三个队的 ，所以
24、甲 队筑的路占总公路长的 ；21=+23乙队筑的路是其他三个队的 ，所以乙 队筑的路占总公路 长的 ；4丙队筑的路是其他三个队的 ，所以丙 队筑的路占总公路 长的 ，1415所以丁筑路为： （米）20=26035【例 15】 (迎春杯决赛)小刚给王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的 ，第二次运了 块，这时已运来的恰3850好是没运来的 问还有多少块蜂窝煤没有运来？57【 方法一:运完第一次后，还剩下 没运，再运来 块后，已运来的恰好是没运来的 ，也就是说没运58507来的占全部的 ，所以，第二次运来的 块占全部的： ，全部蜂 窝煤有：12 71824(块)，没运来的有： (块)504712方法二：
25、根据题意可以设全部为 份，因 为已运来的恰好是没运来的 ，所以可以 设全部为 份，为85712了统一全部的蜂窝煤，所以设 全部的蜂窝煤共有 份， 则已运来应是 份，没8,1245407运来的 份，第一次运来 份，所以第二次运来是 份恰好是 块，因此没运724159091来的蜂窝煤有 （块）.0【巩固】 五(一)班原计划抽 的人参加大扫除，临时又有 个同学主动参加，实际参加扫除的人数是其余人52数的 原计划抽多少个同学参加大扫除？13【 又有 个同学参加扫除后， 实际参加扫除的人数与其余人数的比是 ，实际参加人数比原计划多2 1:3即全班共有 (人)原 计 划抽 (人)参加大扫除15012404
26、085【巩固】 某校学生参加大扫除的人数是未参加大扫除人数的 ，后来又有 20 名同学参加大扫除，实际参加的人数是未参加人数的 ，这个学校有多少人？13【 （人）.120403【例 16】 小莉和小刚分别有一些玻璃球，如果小莉给小刚 24 个，则小莉的玻璃球比小刚少 ；如果小刚给73小莉 24 个，则小刚的玻璃球比小莉少 ，小莉和小刚原来共有玻璃球多少个？85【 小莉给小刚 24 个时，小莉是小 刚的 (=1 一 )，即两人球数和的 ；小刚给小莉 24 个时，小莉是74314两人球数和的 (= )，因此 24+24 是两人球数和的 - = 从而，和是(24+24) 1858 =132(个) 4
27、【巩固】 某班一次集会，请假人数是出席人数的 ，中途又有一人请假离开，这样一来，请假人数是出席91人数的 ，那么，这个班共有多少人？23【 因为总人数未变，以 总人数作为”1”原来 请假人数占 总人数的 ，现在请假人数占总人数的19，这个班共有： l( - )=50(人) 323219【例 17】 小明是从昨天开始看这本书的，昨天读完以后，小明已经读完的页数是还没读的页数 ，他今天19比昨天多读了 页，这时已经读完的页数是还没读的页数的 ，问题是，这本书共有多少页？”14 13【 首先，可以直接运算得出，第一天小明 读了全书的 ，而前二天小明一共读了全书的901，所以第二天比第一天多读的 页对
28、应全书的 。所以整本书一共有1344124（页）。此外，如果 对分数的掌握还不是很熟练的话，那么这道题可以采用设份数的方1280法：把这本书看作 份，那么昨天他看了 份，而今天他看了 份还多 页，两天一共看了 份还多2214页，或者可以表示成 （份）。那么每份是 （页），这本书共413545（页）。两种方法都可以得到相同的结果。【例 18】 某校有学生 人，其中女生的 比男生的 少 人，那么男生比女生少多少人?6520【 方法一：女生的 比男生的 少 人， ， ，所以女生比男生的 少 人男2342065336530生人数是 (人) ，女生人数是 （人），男生比女生少(40)(15240（人）。
29、205方法二：【20【通过画图比较女生的 份加 人恰好等于男生的两份，因此 给每份女生加 后，男女生 总份数就变10 10为 份，因此每份有 人，男生有 女生人数是325(46513)45452(人)，男生比女生少 (人)4642【例 19】 某校四年级原有两个班，现在要重新编为三个班，将原一班的 与原二班的 组成新一班，将原1314一班的 与原二班的 组成新二班，余下的 人组成新三班如果新一班的人数比新二班的人数141330多 ，那么原一班有多少人？0【 新三班人数占原来两班人数之和的 ，所以，原来两班 总人数为： (人)，新一15342530721班与新二班人数之和为： (人)，新二班人数
30、是： (人)，新一班人数为：72014(人) ，新一班与新二班人数之差为 ，而新一班与新二班人数之差为(原一班人420 0数 原二班人数) ，故：原一班人数 原二班人数 (人)，原一班人数1)34243(人) (78【巩固】 某工厂对一、二两个车间的职工进行重组，将原来的一车间人数的 和二车间人数的 分到一车1213间，将原来的一车间人数的 和二车间人数的 分到二车间，两个车间剩余的 140 人组成劳动服1312务公司，现在二车间人数比一车间人数多 ，现在一车间有 人，二车间有 人7【 由“将一车间人数的 和二车间人数的 分到一车间，将一车间人数的 和二车间人数的 分到二车12131312间”
31、可知，现在一、二两车间的人数之和为总人数的 ，所以劳动服务公司的 140 人占总人数15236的 ，那么 总人数为： 人，现在一、二两车间的人数之和为 人由于51614086 584076现在二车间人数比一车间人数多 ，所以现在一车间人数 为 人， 现在二车间7 170()3人数为 人提示：可以继续求出原来一车间和二车间的人数由于现在二车间比一车70346间多 20 人，所以原来二 车间人数的 比一车间人数的 多 20 人，那么原来二 车间人数比乙12366车间人数多 人，原来一车间有 人，原来二 车间有 人1206(84012)303601248【例 20】 年第十三届“华罗庚金杯”少年数学
32、邀请赛(小学组)决赛林林倒满一杯纯牛奶，第一次喝了08，然后加入豆浆，将杯子斟满并搅拌均匀，第二次林林又喝了 ，继续用豆浆将杯子斟满并搅13 13拌均匀，重复上述过程，那么第四次后，林林共喝了一杯纯牛奶总量的 (用分数表示)。【 大家要先分析清楚的是不论是否加入豆浆，每次喝到的都是杯子里剩下牛奶的 ，要是能想清楚这一点那么这道题就变了一道找规律的问题了。喝掉的牛奶 剩下的牛奶第一次 13123第二次29（喝掉剩下 的 ）449（剩下是第一次剩下 的 ）第三次1327（喝掉剩下 的 ）92837（剩下是第一次剩下 的 ）49第四次 （喝掉剩下 的 ）818271所以最后喝掉的牛奶 为 4653【例 21】 参加迎春杯数学竞赛的人数共有 2000 多人.其中光明区占 ，中心区占 ，朝阳区占 ，剩余的17251全是远郊区的学生.比赛结果，光明区有去的学生得奖，中心区有 的学生得奖，朝阳区有 的68学生得奖，全部获奖者的号 远郊区的学生那么参赛学生有多少名?获奖学生有多少名?71
