1、 大学物理- 33 -4-2 平面简谐波的波动方程振动与波动区别联系振动研究一个质点的运动。波动研究大量有联系的质点振动的集体表现。振动是波动的根源。波动是振动的传播。最简单而又最基本的波动是简谐波！简谐波：波源以及介质中各质点的振动都是简谐振动。任何复杂的波都可看成是若干个简谐波的叠加。对平面简谐波，各质点都在各自的平衡位置附近作简谐振动，但同一时刻各质点的振动状态不同。需要定量地描述出每个质点的振动状态。波线是一组垂直于波面的平行射线，可选用其中一根波线为代表来研究平面简谐波的传播规律。一、平面简谐波的波动方程设平面简谐波在介质中沿 轴正向传播，在此波线上任取一参考点为坐标原x点 xyOP
2、xu参考点原点的振动方程为00cosyAt任取一点 ，其坐标为 ， 点如何振动？PxP和 与原点的振动相同，相位呢？A沿着波的传播方向，各质点的相位依次落后，波每向前传播 的距离，相位落后 2现在， 点的振动要传到 点，需要向前传播的距离为 ，因而 点的相OPxP位比 点落后 2x大学物理- 34 -点的振动方程为P02cosPyAtx由于 点的任意性，上式给出了任意时刻任意位置的质点的振动情况，将下标去掉02cosytx就是沿 轴正向传播的平面简谐波的波动方程。x xOPxu如果波沿 轴的负向传播， 点的相位将比 点的振动相位超前xPO2x沿 轴负向传播的波动方程为02cosyAtx利用 ，
3、 2u沿 轴正向传播的平面简谐波的波动方程又可写为x0cosyAtx02tu0cosxAt即 0ytu原点的振动状态传到 点所需要的时间 Pxtu点在 时刻重复原点在 时刻的振动状态Pt xtu大学物理- 35 -波动方程也常写为02cosyAtx0tk其中 波数，物理意义为 长度内所具有完整波的数目。2k2 波动方程的三个要素：参考点，参考点振动方程，传播方向二、波动方程的物理意义1、固定 ，如令 x0x振动方程002cosytAtx处质点的振动方程0xy tTO处的振动曲线0x该质点在 和 两时刻的相位差1t21t2、固定 ，如令 t0波形方程02cosyxAtx时刻各质点离开各自平衡位置
4、的位移分布情况，即 时刻的波形方程。0t 0t大学物理- 36 -y xO波形曲线3、 和 都在变化 xt02,cosytxAtxxO时刻时刻t时刻时刻tuxut各个不同质点在不同时刻的位移，各个质点的振动情况，不同时刻的波形，反映了波形不断向前推进的波动传播的全过程 行波时刻， 处的某个振动状态经过 的时间，传播了 的距离，传txt xut到了 处，显然行波必须满足此方程,ytxytx其中 u波是振动状态的传播！习题类型（1） 由某质元的振动方程（或振动曲线） 求波动方程（2） 由某时刻的波形曲线 求波动方程例 4.2：一平面波在介质中以速度 m/s 沿直线传播，已知在传播路径上某20u点
5、A 的振动方程为 ，如图 4.8 所示。3cos4Ayt（1）若以 A 点为坐标原点，写出波动方程，并求出 C，D 两点的振动方程；（2）若以 B 点为坐标原点，写出波动方程，并求出 C，D 两点的振动方程。大学物理- 37 -AB8m xuC D5m 9m解：（1）振幅 m，圆频率 rad/s，频率 Hz，3A42波长 m10u波动方程为m23cos43cos45ytxtxC 点坐标为 m，振动方程为1Cxm133cos43cos455CytxtD 点坐标为 m，振动方程为9Dxm93cos43cos455Dytxt（2）A 点坐标为 m，波动方程为Axm23cos43cos45Aytxtx
6、C 点坐标为 m，振动方程为8Cxm133cos43cos455CytxtD 点坐标为 m，振动方程为1Dxm93cos43cos455Dytxt例 4.3：一平面简谐横波以 m/s 的波速在均匀介质中沿 方向传播。位0ux于坐标原点的质点的振动周期为 0.01 秒，振幅为 0.1m，取原点处质点经过平衡位置且向正方向运动时作为计时起点。（1）写出波动方程；（2）写出距原点 2m 处的质点 P 的振动方程；（3）画出 秒和 0.007 秒时的波形图；0.5t大学物理- 38 -（4）若以距原点 2m 处为坐标原点，写出波动方程。解：（1）由题意 m， 秒， m/s0.1A.01T40u可得圆频
7、率 rad/s， 波长 m2T由旋转矢量图知，原点处质点的初相位03Ox0t32故原点处质点的运动方程为m03.1cos20yt波动方程为m.cs2ytx（2） m 处质点的振动方程为Pxm30.1cos20.1cos22Pytxt（3） 秒时，波形方程为1.5t1350.cos20.1cos22ytxx.sin因为 ，故由 时刻的波形向+x 方向平移 即可得 时210.54tT1t 42t刻的波形。如图所示大学物理- 39 -y xO21t2tu（4） 0.1cos0.1cos2ytxtx Ex. 4：已知 秒的波形曲线如图所示，波速 ，沿 方向传播2t .5u/ms(m)(m)x2O11s
8、tu0.50求：（1） 点的振动方程；（2）波动方程解：（1）由 时的波形图可知ts， ， ， 0.5Am4Tus2T利用旋转矢量图法得出 秒时 点振动相位2tO03t， 2点的初相位 O0点的振动方程为.5cos2Ot（2）波动方程 0.cs2txEx：一列机械波沿 轴正向传播， =0 时的波形如图所示，已知波速为 10 ms x-1，波长为2m，求：(1) 波动方程；(2) 点的振动方程及振动曲线；P O 2st大学物理- 40 -(3) 点的坐标；P(4) 点回到平衡位置所需的最短时间解: (1)由题 5-13 图可知 ， 时，1.0Amt原点处质点振动的初始条件为 ，0,2vy03由题知 ， ，则 ， 2mu1s15uHz圆频率 0原点 的振动方程为 O.1cos3ytm波动方程为 0.csytx(2)由图知， 时， ，t 0,2PPvA ( 点的相位应落后于 点，故取负值)34P 点振动方程为 341cos(.0typ(3)由 |)(1txt解得 67.35m(4)根据(2)的结果可作出旋转矢量图如题 5-13 图(a)，则由 点回到平衡位置应经历的相位角P62所需最短时间为 10/5ts
