1、 初三数学 圆的性质定理1、圆的对称性：圆是轴对称图形，任一条直径所在的直线都是它的对称轴.2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.3、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.4、垂径定理的应用：用直尺和圆规平分一条弧.作法是过圆心作弧所对弦的垂线，理由是垂径定理；在利用垂径定理计算或证明时，我们通常将其化为一个直角三角形的边和角，这个特殊直角三角形的三边分别是半径、弦的一半和圆心到弦的垂线段.例 1、如图，已知以点 O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦 AD 交小圆于 B、C.(1)求证：AB=CD(2)如果 AD=6cm，BC=4cm，
2、求圆环的面积.1.圆周角定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3.推论：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧一定相等.半圆（或直径）所对圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径.如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.4圆的内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.例 2、如图，AB 是O 的直径，BC 是弦，ODBC 于 E，交 BC 于 D.若
3、 BC=8，ED=2，求O 的半径.解：1、如图，已知 AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 P，CD=10cm，APPB=15，那么O 的半径是（ ）2、圆的半径为 13cm，两弦 ABCD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦 AB、CD 的距离是（ ）A7cm B17cm C12cm D7cm 或 17cm3、如下图所示，AB 是O 的一条固定直径，它把O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点 C 作弦CDAB，OCD 的平分线交O 于点 P，当点 C 在上半圆（不包括 A、B 两点）移动时，点 P（ ）A到 CD 的距离保持不变 B位置不变 C平分 D随点 C 的移动而移动4、如上中
4、图，BD 是O 的直径，弦 AC、BD 相交于点 E，则下列结论不成立的是（ ）AABD=ACD B CBAE=BDC DABD=BDC5、如上右图，O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G，EOD=40，则DCF 等于（ ）A80 B50 C40 D206、如下图，A、B、C 是O 上三点，ACB=40，则ABO 等于_度7、如上左二图，ABC 的顶点都在O 上，C=30，AB=2cm，则O 的半径为_cm8、如上左三图，在平面直角坐标系中，P 是经过 O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P 与 O、A、B 不重合），则OAB=_，OPB=_9、如右上图，ABC 内接于
5、O，B=OAC，OA=8cm，则 AC=_cm10、如图，ABC 内接于O，BAC=120，AB=AC，BD 为O 的直径，AD=6，则 BC=_11、如图，O 中的弦 AB、CD 互相垂直于 E，AE=5cm，BE=13cm，O 到 AB 的距离为 求O的半径及 O 到 CD 的距离12、如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为 7.2m，拱顶高出水面 2.4m，现有一艘宽 3m，船舱顶部为正方形并高出水面 2m 的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由13、如图，AB 为O 的直径，BD 是O 的弦，延长到 C，使 BDDC，连接 AC 交O 于点 F，点 F 不与点
6、A 重合（1）AB 与 AC 的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断ABC 属于哪一类三角形，并说明理由一、确定圆的条件(1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点 A 作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来所以以点 A 以外的任意一点为圆心，以这一点与点 A 所连的线段为半径就可以作一个圆由于圆心是任意的因此这样的圆有无数个如图(1)(2)已知点 A、B 都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径因此圆心到 A、B 的距离相等根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段 AB 的垂直平分线上在 AB 的垂直平
7、分线上任意取一点，都能满足到 A、B 两点的距离相等，所以在 AB 的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到 A 的距离即为半径，圆就确定下来了由于线段 AB 的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个如图(2)(3)要作一个圆经过 A、B、C 三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等因为到 A、B 两点距离相等的点的集合是线段 AB 的垂直平分线，到 B、C 两点距离相等的点的集合是线段BC 的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到 A、B、C 三点的距离相等，就是所作圆的圆心因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆过不在同一
8、条直线上的三点确定一个圆2、经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分线的交点，这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆3、利用尺规过不在同一条直线上的三个点作圆的方法作法 图示1连结 AB、BC2分别作 AB、BC 的垂直平分线 DE 和 FG，DE 和FG 相交于点 O3以 O 为圆心，OA 为半径作圆O 就是所要求作的圆例 1、已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们
9、外心的位置有怎样的特点？（1） （2） （3）例 3、如图，点 A、B、C 表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由1、下列关于外心的说法正确的是（ ）A外心是三个角的平分线的交点 B外心是三条高的交点C外心是三条中线的交点 D外心是三边的垂直平分线的交点2、下列条件中不能确定一个圆的是（ ）A圆心和半径 B直径 C三角形的三个顶点 D平面上的三个已知点3、三角形的外心具有的性质是（ ）A到三边的距离相等 B到三个顶点的距离相等 C外心在三角形外 D外心在三角形内4、等腰三角形底边上的中线所在的直线与一腰的垂直平分线的交点是（ ）A重心 B垂心 C外心 D无法确定5、如图所示，在 55 正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）A点 P B点 Q C点 R D点 M6、如图， 是ABC 的外接圆，BAC=30，BC=2 cm ，则OBC 的面积是_ .7、直角三角形的两边长分别为 16 和 12，则此三角形的外接圆半径是_8、如图，有一个圆形的盖水桶的铁片，部分边沿由于水生锈残缺了一些，很不美观，为了废物利用，将铁片剪去一些使其成为圆形的，应找到圆心，并找到合理的半径，在铁片上画出圆，沿圆剪下即可，问应怎么样找到圆心和半径？
