1、第 1 页（共 13 页）初一数学平方差公式专题提高训练1 （2015 春莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：（1）123 2124122 （2） （2a+b） （4a 2+b2） （2a b）2 （2015 秋宁津县校级月考）探索题：（x1） （ x+1）=x 21 （x1） （ x2+x+1）=x 31（x1） （ x3+x2+1）=x 41 （x1） （ x4+x3+x2+x+1）=x 51（1）根据以上规律，求（x1） （x 6+x5+x4+x3+x2+1）（2）判断 22013+22012+22+2+1 的值的个位数是几？3 （2014 春东海县校级期末）乘法公式的探究及应用（1）如图
2、 1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式） ；（2）如图 2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是 （写成多项式乘法的形式） ；（3）比较图 1、图 2 阴影部分的面积，可以得到公式 ；（4）运用你所得到的公式，计算：（a+b2c ） （ab+2c） 4 （2014 春江山市校级期中）如图，将左图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如右图的长方形（1）根据两个图中阴影部分的面积相等，可以得到一个数学公式 ，这个公式的名称叫 （2）根据你在（1）中得到的公式计算下列算式：（1 ） （1 ） （1 ） （1 ）（1） （1 ） 第 2 页（共 13 页）5 （2014 春宝安
3、区校级月考）观察下列式子3212=（3+1 ） （31）=8 ；5232=（5+3 ） （53）=16 ；7252=（7+5 ） （75）=24 ；9272=（9+7 ） （97）=32 （1）求 212192= （2）猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是 ，并给予证明6 （2014 春汕尾校级月考）看图解答（1）通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为 （2）运用你所得到的公式，计算下题：10.39.7 （2m+np） （2mn+p ）7 （2014 春黄冈月考）对于算式 2（3+1） （3 2+1） （3 4+1） （3 8+1） （3 16+1） （3 32+1）+1 （
4、1）不用计算器，计算它的结果；（2）求出它的末位数字8 （2013 秋无为县期末）计算下列各题：（1）填空：（x1） （x+1）= （x1） （x 2+x+1）= （x 1）（x 3+x2+x+1）= （2）根据前面各式的规律，填空：（x1） （x n+xn1+xn2+x2+x+1）= （3）根据这一规律，计算 1+2+22+23+298+2999 （2013 秋安岳县期末）乘法公式的探究及应用：（1）如图 1 所示，阴影部分的面积是 （写成平方差的形式）第 3 页（共 13 页）（2）若将图 1 中的阴影部分剪下来，拼成如图 2 所示的长方形，此长方形的面积是 （写成多项式相乘的形式） （3
5、）比较两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式： （4）应用所得的公式计算：2（1+ ） （1+ ） （1+ ） （1+ ）+ 10 （2012 春 阜阳期末）计算：（2x y） （4x 2+y2） （2x+y ）11 （2011 春 泰州期中）通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算带来的方便、快捷相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦例：用简便方法计算 195205解：195205=（200 5） （200+5） =200252 =39975（1）例题求解过程中，第步变形是利用 （填乘法公式的名称） （2）用简便方法计算：9 111011000112
6、（2010 秋 涵江区期末）计算：100 2992+982972+221213 （2010 春 南岸区期末）运用整式乘法公式计算：（1）1001999+1； （2）2010 22011200914 （2010 春 濮阳校级月考）应用乘法公式进行计算：200620082007 215 （2010 春 成都校级期末）16 （2009 春 青羊区校级期中）已知， （a b） （a+b）=a 2b2，求（1） （21） （2+1）= ；（2） （2+1） （2 2+1）= ；（3）求（2+1） （2 2+1） （2 4+1） （2 8+1）（2 32+1）的值；第 4 页（共 13 页）（4）求（2+
7、1） （2 2+1） （2 3+1） （2 4+1）（2 30+1）+7 的个位数字17 （2009 春 甘州区校级期中） （x 2y） （2y+x ）18 （2000内蒙古）计算：19已知 a+b=8，且 a2b2=48，求 a3b 的值20计算：（3x5y 2） （ 3x5y2） 21若 x2y2=5， （x+y） 2=4，求 xy 的值22 （ab） （a+b） （a 2+b2）23如图，在边长为 a 的正方形的一角是一个边长为 b 的正方形，请用这个图形验证公式：a2b2=（a+b） （a b） 24利用平方差公式计算：（1） （3x5） （ 3x+5） ；（2） （2a b） （b
8、2a） ；（3） （7m+8n） （8n7m） ；（4） （x2） （x+2） （x 2+4） 25计算：（a ） （a+ ） （a 2 a+ ） （a 2+ a+ ）26计算：（1） （ab 2） （ab+2）（2） （x+2） （x 2） （x 2+4）27小明在计算 3（4+1） （4 2+1）时，把 3 写成 41 后，得 3（4+1） （4 2+1）=（41） （4+1）（4 2+1）=（4 21） （4 2+1）=4 41，仿照上式方法计算：（2+1） （2 2+1） （2 4+1）（2 8+1）（2 256+1）2 512 的值第 5 页（共 13 页）28用平方差公式速算：30
9、 29 29简便计算：2013 220122014999230 （2006 秋 简阳市期末）观察下列式子：3 212=8，5 232=16，7 252=24，9 272=32，根据以上式子的特点，试用含有 n 的等式表示上述规律，并用一句简洁的话概括此规律第 6 页（共 13 页）初一数学平方差公式专题提高训练参考答案与试题解析一解答题（共 30 小题）1 （2015 春莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：（1）123 2124122 （2） （2a+b） （4a 2+b2） （2a b）【分析】 （1）首先把 124 分成 123+1，把 122 分成 1231，然后根据平方差公式计算即可（2
10、）根据乘法交换律和平方差公式，求出算式（2a+b） （4a 2+b2） （2ab）的值是多少即可2 （2015 秋宁津县校级月考）探索题：（x1） （ x+1）=x 21 （x1） （ x2+x+1）=x 31（x1） （ x3+x2+1）=x 41 （x1） （ x4+x3+x2+x+1）=x 51（1）根据以上规律，求（x1） （x 6+x5+x4+x3+x2+1）（2）判断 22013+22012+22+2+1 的值的个位数是几？【分析】 （1）根据题干所给出的例子可知（x1） （x 6+x5+x4+x3+x2+1）=x 71；（2）给等式乘以（21）从而可知 22013+22012+2
11、2+2+1=220141，然后找出 2n 的尾数规律从而得到答案3 （2014 春东海县校级期末）乘法公式的探究及应用（1）如图 1，可以求出阴影部分的面积是 a 2b2 （写成两数平方差的形式） ；（2）如图 2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是 （ab） （a+b） （写成多项式乘法的形式） ；（3）比较图 1、图 2 阴影部分的面积，可以得到公式 （a+b） （ab）=a 2b2 ；（4）运用你所得到的公式，计算：（a+b2c ） （ab+2c） 第 7 页（共 13 页）【分析】 （1）中的面积=大正方形的面积小正方形的面积=a 2b2；（2）中的长方形，宽为 ab，长为
12、 a+b，面积= 长 宽= （a+b） （ab） ；（3）中的答案可以由（1） 、 （2）得到， （a+b） （a b）=a 2b2（4）先变式，再根据平方差公式计算4 （2014 春江山市校级期中）如图，将左图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如右图的长方形（1）根据两个图中阴影部分的面积相等，可以得到一个数学公式 a 2b2=（a+b） （a b） ，这个公式的名称叫 平方差公式 （2）根据你在（1）中得到的公式计算下列算式：（1 ） （1 ） （1 ） （1 ）（1） （1 ） 【分析】 （1）利用面积公式：大正方形的面积小正方形的面积=阴影面积；利用矩形公式即可求解；利用面积相等列出等
13、式即可；是平方差公式（2）利用平方差公式简便计算5 （2014 春宝安区校级月考）观察下列式子3212=（3+1 ） （31）=8 ；5232=（5+3 ） （53）=16 ；7252=（7+5 ） （75）=24 ；9272=（9+7 ） （97）=32 第 8 页（共 13 页）（1）求 212192= 80 （2）猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是 这两个数和的 2 倍 ，并给予证明【分析】 （1）将 212192 写成（ 21+19） （2119）利用平方差公式计算即可；（2）根据题目提供的规律进行证明后即可得到结论6 （2014 春汕尾校级月考）看图解答（1）通过观察比较左、右两图
14、的阴影部分面积，可以得到乘法公式为 （a+b） （ab）=a2b2 （2）运用你所得到的公式，计算下题：10.39.7 （2m+np） （2mn+p ）【分析】 （1）左图的阴影部分面积=边长为 a 的正方形的面积边长为 b 的正方形的面积，右两图的阴影部分面积=长为（a+b） ，宽为（ab）的矩形的面积，根据两图中阴影部分面积相等列式即可；（2）先将 10397 变形为（ 100+3） （1003） ，再利用平方差公式计算；先将（2m+n p） （2mn+p）化为2m+（np）2m（np）再利用平方差公式计算即可7 （2014 春黄冈月考）对于算式 2（3+1） （3 2+1） （3 4+1
15、） （3 8+1） （3 16+1） （3 32+1）+1 （1）不用计算器，计算它的结果；（2）求出它的末位数字【分析】 （1）将 2 转化为（31） ，与（3+1）配成平方差公式，其结果为（3 21） ，与（3 2+1）又配成平方差公式，依此类推，可得结果（2）根据 31=3，3 2=9，3 3=27，3 ，4 =81，3 5=243 发现四次一循环，利用这一规律即可确定答案8 （2013 秋无为县期末）计算下列各题：第 9 页（共 13 页）（1）填空：（x1） （x+1）= x 21 （x 1） （x 2+x+1）= x 31 （x1） （x 3+x2+x+1）= x41 （2）根据前
16、面各式的规律，填空：（x1） （x n+xn1+xn2+x2+x+1）= x n+11 （3）根据这一规律，计算 1+2+22+23+298+299【分析】 （1）原式各项利用平方差公式及多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；（2）归纳总结得到一般性规律即可得到结果；（3）根据规律计算即可9 （2013 秋安岳县期末）乘法公式的探究及应用：（1）如图 1 所示，阴影部分的面积是 a 2b2 （写成平方差的形式）（2）若将图 1 中的阴影部分剪下来，拼成如图 2 所示的长方形，此长方形的面积是 （a+b） （ab） （写成多项式相乘的形式） （3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式： （
17、a+b） （ab）=a 2b2 （4）应用所得的公式计算：2（1+ ） （1+ ） （1+ ） （1+ ）+ 【分析】 （1）根据面积的和差，可得答案；（2）根据矩形的面积公式，可得答案；（3）根据图形割补法，面积不变，可得答案；（4）根据平方差公式计算即可10 （2012 春 阜阳期末）计算：（2x y） （4x 2+y2） （2x+y ）【分析】先交换位置，再根据平方差公式进行计算即可11 （2011 春 泰州期中）通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算带来的方便、快捷相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦例：用简便方法计算 195205解：195
18、205=（200 5） （200+5） 第 10 页（共 13 页）=200252 =39975（1）例题求解过程中，第步变形是利用 平方差公式 （填乘法公式的名称） （2）用简便方法计算：9 1110110001【分析】 （1）因为这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，所以利用平方差公式；（2）首先将原式变形为：（101） （10+1） （100+1） （10000+1） ，再利用平方差公式依次计算即可求得答案12 （2010 秋 涵江区期末）计算：100 2992+982972+2212【分析】把所求的式子的第一项与最后一项结合，第二项与倒数第二项结合，依次结合了50 组，把结合
19、后的偶次项提取1，然后分别运用平方差公式变形，提取 101 后得到 25 个 2相加，从而计算出结果13 （2010 春 南岸区期末）运用整式乘法公式计算：（1）1001999+1； （2）2010 220112009【分析】 （1）把所求式子中 1001 变形为（1000+1）和 999 变形为（10001） ，得到两数之和与两数之差的积满足平方差公式的特点，从而利用平方差公式计算即可求出值；（2）把所求式子中的 2001 变形为（2000+1） ，2009 变形为（20001） ，得到两数之和与两数之差的积满足平方差公式的特点，从而利用平方差公式计算即可求出值14 （2010 春 濮阳校级月考）应用乘法公式进行计算：200620082007 2【分析】根据式子得特点转化成（20071） （2007+1）2007 2，用平方差公式展开即可求出答案15 （2010 春 成都校级期末）【分析】利用平方差公式即可求得（ x2） （ x+2）与（3+x） （ x3）的值，再求和即可16 （2009 春 青羊区校级期中）已知， （a b） （a+b）=a 2b2，求（1） （21） （2+1）= 3 ；
