1、 D CBAEDFCBA几何辅助线作法小结三角形中常见辅助线的作法：延长中线构造全等三角形；利用翻折，构造全等三角形；引平行线构造全等三角形；作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折 ”2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形
2、，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“ 翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答（一）、倍长中线（线段）造全等1：已知，如图ABC 中，AB=5，AC =3，则中线 AD 的取值范围是_.2：如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.EDCBA3：如图，
3、ABC 中，BD=DC=AC ，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.ED CBA中考应用以 的两边 AB、 AC 为腰分别向外作等腰 Rt 和等腰 Rt ，ABCAA连接 DE， M、 N 分别是 BC、 DE 的中点探究：AM 与 DE 的位90,DE置关系及数量关系（1）如图 当 为直角三角形时，AM 与 DE 的位置关系是 ，ABC线段 AM 与 DE 的数量关系是 ；（2）将图中的等腰 Rt 绕点 A 沿逆时针方向旋转 (0ADED CBA（四）、借助角平分线造全等1：如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD2：如图，A
4、BC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，FEDCBADEAB 于 E，DFAC 于 F. （1）说明 BE=CF 的理由；（ 2）如果 AB= ，AC= ，求abAE、BE 的长.中考应用如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC、 BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1
5、)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。（五）、旋转1：正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数.EDGFCBA(第 23 题图)O PAMNEBCDFA CEFBD图 图 图NMEFACBA2：D 为等腰 斜边 AB 的中点，DM DN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。RtABC（1） 当 绕点 D 转动时，求证 DE=DF。MN（2） 若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。3.如图， 是边长为 3 的等边三角形， 是等腰三角形，且 ，ABCBDC012BDC以 D 为顶点做一个 角，使其
6、两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，则06的周长为 ；MN B CDNMA中考应用1、已知四边形 中， ， ， ， ，ABCDABCDABC120， 绕 点旋转，它的两边分别交 （或它们的延长线）于60MN ，EF，当 绕 点旋转到 时（如图 1） ，易证 B AEFAEF当 绕 点旋转到 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否 C成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 ， 又有怎样的数量关系？，（图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）ABCDEFM2、已知:PA= ,PB=4,以 AB 为一边作正方形 ABCD,使 P、D 两点落在
7、直线 AB 的两侧.2(1)如图,当APB=45时,求 AB 及 PD 的长;(2)当APB 变化,且其它条件不变时 ,求 PD 的最大值,及相应 APB 的大小.3、在等边 的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N ，D 为 外一点，ABC ABC且 , ,BD=DC. 探究：当 M、 N 分别在直线 AB、AC 上移动时，60MDN120BM、NC、MN 之间的数量关系及 的周长 Q 与等边 的周长 L 的关系A图 1 图 2 图 3（I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时， BM、NC、MN 之间的数量关系是 ； 此时 ； LQ（II）如图 2，点 M
8、、N 边 AB、AC 上，且当 DM DN 时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN= ，则 Q= （用 、L 表示） xx圆中作辅助线的常用方法（1）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。（2）若题目中有“弦的中点”和“ 弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。（3）若题目中有“直径” 这一条件，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到 90度的角或直角三角形。（4）连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以得到等角。（5）若题中有与半径（或直径）垂直的线
9、段，如图 1，圆 O 中，BD OA 于 D，经常是：如图 1（上）延长 BD 交圆于 C，利用垂径定理。如图 1（下）延长 AO 交圆于 E，连结 BE，BA，得 RtABE。图 1（上） 图 1（下）（6）若题目中有“切线” 条件时，一般是：对切线引过切点的半径，（7）若题目中有“两圆相切”（内切或外切） ，往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以沟通两圆中有关的角的相等关系。（8）若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或构成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以得到结果。（9）有些问题可以先证明四点共圆，借助于辅助圆中角之间的等量关系去证
10、明。（10）对于圆的内接正多边形的问题，往往添作边心距，抓住一个直角三角形去解决。例题 1：如图，在圆 O 中，B 为 的中点，BD 为 AB 的延长线，ACBO1 POAB=50 0，求CBD 的度数。例题 2:如图 3,在圆 O 中,弦 AB、CD 相交于点 P，求证：APD 的度数= （弧 AD+21弧 BC）的度数。 一、造直角三角形法1.构成 Rt,常连接半径例 1. 过O 内一点 M ,最长弦 AB = 26cm,最短弦 CD = 10cm ,求 AM 长;2.遇有直径,常作直径上的圆周角例 2. AB 是O 的直径,AC 切O 于 A,CB 交O 于 D,过 D 作O 的切线,交
11、AC 于 E. 求证:CE = AE;3.遇有切线,常作过切点的半径例 3 .割线 AB 交O 于 C、D ,且 AC=BD,AE 切O 于 E,BF 切O 于 F.求证:OAE = OBF;4.遇有公切线,常构造 Rt(斜边长为圆心距,一直角边为两半径的差,另一直角边为公切线长)例 4 .小 O 1 与大O 2 外切于点 A,外公切线 BC、DE 分别和O 1、O 2 切于点 B、C 和D、E，并相交于 P，P = 60。求证：O 1 与O 2 的半径之比为 1：3；5正多边形相关计算常构造 Rt例 5.O 的半径为 6,求其内接正方形 ABCD 与内接正六边形 AEFCGH 的公共部分的面
12、积.二、欲用垂径定理常作弦的垂线段例 6. AB 是O 的直径,CD 是弦 ,AECD 于 E,BFCD 于 F.(1)求证:EC = DF;(2)若 AE = 2,CD=BF=6,求O 的面积;三、转换割线与弦相交的角，常构成圆的内接四边形例 7. AB 是O 直径,弦 CD AB,M 是 上一点,AM 延长线交 DC 延长线于 F.AC求证: F = ACM;四、切线的综合运用1已知过圆上的点，常_例 8.如图， 已知：O 1 与O 2 外切于 P，AC 是过 P 点的割线交O 1 于 A，交O 2 于C，过点 O1 的直线 AB BC 于 B.求证： BC 与O 2 相切. 例 9.如图
13、，AB 是O 的直径， AE 平分BAF 交O 于 E，过 E 点作直线与 AF 垂直交 AF延长线于 D 点，且交 AB 于 C 点求证：CD 与O 相切于点 E2.两个条件都没有,常_例 10. 如图， AB 是半圆的直径， AMMN，BNMN，如果 AM+BNAB，求证: 直线MN 与半圆相切；例 11.等腰ABC 中,AB =AC,以底边中点 D 为圆心的圆切 AB 边于 E 点. 求证:AC 与D相切;例 12菱形 ABCD 两对角线交于点 O，O 与 AB 相切。求证：O 也与其他三边都相切；五、两圆相关题型1两圆相交作_例 13.O 1 与O 2 相交于 A、B，过 A 点作直线
14、交O 1 于 C 点、交O 2 于 D 点，过 B 点作直线交O 1 于 E 点、交O 2 于 F 点. 求证: CEDF;2.相切两圆作_例 14. O 1 与 O 2 外切于点 P,过 P 点的直线分别交O 1 与O 2 于 A、B 两点，AC 切O 1于 A 点，BC 交O 2 于 D 点。 求证：BAC = BDP；3两圆或三圆相切作_例 15.以 AB=6 为直径作半O ,再分别以 OA、OB 为直径在半O 内作半O 1 与半O 2，又O 3 与三个半圆两两相切。求 O 3 的半径；4一圆过另一圆的圆心，作_例 16.两个等圆O 1 与O 2 相交于 A、B 两点，且O 1 过点 O2，过 B 点作直线交O 1 于C 点、交O 2 于 D 点. 求证：ACD 是等边三角形；六、开放性题目例 17已知：如图，以 的边 为直径的 交边 于点 ，且过点 的切线C ACD平分边 EB（1） 与 是否相切？请说明理由；COA
