1、第 1 页 共 9 页xAO QPBy图（3）A BCO EFA BCO D图（1）A BOEFC图（2）动点问题题型方法归纳动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。 ）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点1、 （2009 年齐齐哈尔市）直线 与坐标轴分别交于 两点，动点 同时从 点出发，36
2、4yxA、 PQ、 O同时到达 点，运动停止点 沿线段 运动，速度为每秒 1 个AQOA单位长度，点 沿路线 运动PB（1）直接写出 两点的坐标；、（2）设点 的运动时间为 秒， 的面积为 ，求出 与 之间tP St的函数关系式；（3）当 时，求出点 的坐标，并直接写出以点 为顶点485S 、 、 的平行四边形的第四个顶点 的坐标M解：1、A（8，0） B（0，6）2、当 0t3 时，S=t 2当 3t8 时，S=38(8-t)t提示：第（2）问按点 P 到拐点 B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点 O、P、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-OP 为边、
3、OQ 为边， OP 为边、OQ 为对角线， OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐 标。2、 （2009 年衡阳市）如图，AB 是O 的直径，弦 BC=2cm，ABC=60（1）求O 的直径；（2）若 D 是 AB 延长线上一点，连结 CD，当 BD 长为多少时，CD 与O 相切；（3）若动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点出发沿着 AB 方向运动，同时动点 F 以 1cm/s 的速度从 B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为 ，连结 EF，当 为何值时，BEF 为直角三角形)20)(tst t注意：第（3）问按直角位置分类讨论3、 （2009 重庆綦江）
4、如图，已知抛物线 经过点 ，抛物线的顶点为()(0)yaxa(2)， 0，过 作射线 过顶点 平行于 轴的直线交射线 于点 ， 在 轴正半轴上，连DMA MCBx结 BC第 2 页 共 9 页OMBHAC xy图（1）OMBHAC xy图（2）xy MCDPQOABPQA BCD（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点 从点 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 运动，设点 运动的时间POOMP为 问当 为何值时，四边形 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？()tstDAP（3）若 ，动点 和动点 分别从点 和点 同时出发，分别以每秒 1 个长度CBQB单位和 2 个长度单位的速度沿 和
5、运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随CB之停止运动设它们的运动的时间为 ，连接 ，当 为何值时，四边形t()st的面积最小？并求出最小值及此时 的长PQP注意：发现并充分运用特殊角DAB=60当OPQ 面积最大时，四 边形 BCPQ 的面积最小。二、特殊四边形边上动点4、 （2009 年吉林省）如图所示，菱形 的边长为 6 厘米， 从初始时刻开始，点 、ABCD60BP同时从 点出发，点 以 1 厘米/ 秒的速度沿 的方向运动，点 以 2 厘米/秒的速度沿QAPQ的方向运动，当点 运动到 点时， 、 两点同时停止运动，设 、 运动的时BCDQP间为 秒时， 与 重叠部分的面积为 平方厘米（
6、这里规定：点和线段是面积为 的三角x AB y O形） ，解答下列问题： （1）点 、 从出发到相遇所用时间是 秒；PQ（2）点 、 从开始运动到停止的过程中，当 是等边三角形时 的值APQ x是 秒；（3）求 与 之间的函数关系式yx提示：第(3)问按点 Q 到拐点时间 B、C 所有时间分段分类 ； 提醒- 高相等的两个三角形面积比等于底边的比 。5、 （2009 年哈尔滨）如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（ ，4） ，点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M，AB 边交 y 轴于点 H（1）求直线 AC 的解析
7、式；（2）连接 BM，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC 方向以 2 个单位秒的速度向终点 C 匀速运动，设PMB 的面积为 S（ 0） ，点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t的取值范围） ；（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时， MPB 与BCO 互为余角，并求此时直线 OP 与直线 AC 所夹锐角的正切值注意：第（2）问按点 P 到拐点 B 所用时间分段分类；第（3）问发现MBC=90，BCO 与ABM 互余，画出点 P 运动过程中，MPB=ABM 的两种情况，求出 t 值。第 3 页 共 9 页利用 OBAC,再求 OP
8、与 AC 夹角正切值.6、(2009 年温州)如图，在平面直角坐标系中，点 A( ，0)，B(3 ，2)，C（0，2)动点 D 以每秒 133个单位的速度从点 0 出发沿 OC 向终点 C 运动，同时动点 E 以每秒 2 个单位的速度从点 A 出发沿 AB 向终点 B 运动过点 E 作 EF 上 AB，交 BC 于点F，连结 DA、DF设运动时间为 t 秒(1)求ABC 的度数；(2)当 t 为何值时，ABDF；(3)设四边形 AEFD 的面积为 S求 S 关于 t 的函数关系式；若一抛物线 y=x2+mx 经过动点 E，当 S2 时，求 m 的取值范围(写出答案即可)3注意：发现特殊性，DE
9、OA7、 （ 07 黄冈）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO 是菱形，且AOC=60，点 B 的坐标是 ，点 P 从点 C 开始以(0,83)每秒 1 个单位长度的速度在线段 CB 上向点 B 移动，同时，点Q 从点 O 开始以每秒 a（1a3）个单位长度的速度沿射线OA 方向移动，设 秒后，直线 PQ 交 OB 于点 D.()t（1）求AOB 的度数及线段 OA 的长；（2 ）求经过 A，B ，C 三点的抛物线的解析式；（3 ）当 时，求 t 的值及此时直线 PQ 的解4,3aD析式；（4 ）当 a 为何值时，以 O，P，Q，D 为顶点的三角形与相似？当 a 为何值时，以 O，P
10、，Q ，D 为顶点的三角形与 不相似？请给出你的结论，并OAB OAB加以证明.8、 （ 08 黄冈）已知：如图，在直角梯形 中， ，以 为原点建立平面直角坐标系，CAB三点的坐标分别为 ，点 为线段 的中点，动点 从点 出发，C， ， (80)1)(04)， ， ， ， ， CPO以每秒 1 个单位的速度，沿折线 的路线移动，移动的时间为 秒t（1）求直线 的解析式；B（2 ）若动点 在线段 上移动，当 为何值时，四边形 的面积是梯形 面积的 ？POAtOPDAB27（3 ）动点 从点 出发，沿折线 的路线移动过程中，设 的面积为 ，请直接写出 与BD SS的函数关系式，并指出自变量 的取值
11、范围；t t（4 ）当动点 在线段 上移动时，能否在线段 上找到一点 ，使四边形 为矩形？请求出AQCPD此时动点 的坐标；若不能，请说明理由PBAC DPOQxyABDCO P xyABDCO xy（此题备用）第 4 页 共 9 页yO xCNBPMA9、 (09 年黄冈市)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线与 x 轴的交点为点 A,与 y 轴的交点为点 B. 21408yx过点 B 作 x 轴的平行线 BC,交抛物线于点 C,连结 AC现有两动点 P,Q 分别从 O,C 两点同时出发 ,点 P 以每秒 4 个单位的速度沿OA 向终点 A 移动,点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 C
12、B 向点 B 移动, 点 P 停止运动时, 点 Q 也同时停止运动 ,线段 OC,PQ 相交于点D,过点 D 作 DE OA,交 CA 于点 E,射线 QE 交 x 轴于点 F设动点 P,Q 移动的时间为 t(单位:秒)(1)求 A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;(2)当 t 为何值时 ,四边形 PQCA 为平行四边形?请写出计算过程 ;(3)当 0 t 时, PQ F 的面积是否总为定值?若是, 求出此定值 , 若不是, 请说明理由; 92(4)当 t 为何值时 ,PQF 为等腰三角形 ?请写出解答过程提示：第（3）问用相似比的代换，得 PF=OA（定值） 。第（4）问按哪两边相等
13、分类讨论PQ=PF,PQ=FQ,QF=PF.三、直线上动点8、 （2009 年湖南长沙）如图，二次函数 （ ）的图象与 轴交于 两点，与2yaxbc0axAB、轴相交于点 连结 两点的坐标分别为 、 ，且当 和yCABC、 ， 、 (3)A， ()C， 4时二次函数的函数值 相等2xy（1）求实数 的值；abc， ，（2）若点 同时从 点出发，均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 边运动，其中一个点MN、 B、到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为 秒时，连结 ，将 沿 翻折， tMN NB点恰好落在 边上的 处，求 的值及点 的坐标； ACPtP（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对
14、称轴上是否存在点 ，使得以 为项点的三角形与QQ， ，相似？如果存在，请求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由B Q提示：第（2）问发现特殊角CAB=30, CBA=60特殊图形四边形 BNPM 为菱形；第(3)问注意到 ABC 为直角三角形后，按直角位置 对应分类；先画出与 ABC 相似的BNQ ，再判断是否在对称轴上。9、 （2009 眉山）如图，已知直线 与 轴交于点 A，与 轴交于12yxyx 点D，抛物线 与直线交于 A、E 两点，与 轴交于 B、C 两点，21yxbc 且B 点坐标为 (1，0)。求该抛物线的解析式；第 5 页 共 9 页动点 P 在 x 轴上移动，当PAE 是直角
15、三角形时，求点 P 的坐标 P。在抛物线的对称轴上找一点 M，使 的值最大，求出点 M 的坐标。|AC提示：第（2）问按直角位置分类讨论后画出图形- P 为直角 顶点 AE 为斜边时，以 AE 为直径画圆与 x轴交点即为所求点 P，A 为直角 顶点时， 过点 A 作 AE 垂线交 x 轴于点 P，E 为直角顶点时，作法同；第（3）问，三角形两边之差小于第三 边，那么等于第三 边时 差值最大。10、 （2009 年兰州）如图，正方形 ABCD 中，点 A、 B 的坐标分别为（0，10） ， （8，4） ， 点 C 在第一象限动点 P 在正方形 ABCD 的边上，从点 A 出发沿 A B C D
16、匀速运动，同时动点 Q 以相同速度在 x 轴正半轴上运动，当 P 点到达 D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为 t 秒(1)当 P 点在边 AB 上运动时，点 Q 的横坐标 （长度单位）关于x运动时间 t（秒）的函数图象如图所示，请写出点 Q 开始运动时的坐标及点 P 运动速度；(2)求正方形边长及顶点 C 的坐标；(3)在（1）中当 t 为何值时， OPQ 的面积最大，并求此时 P 点的坐标；(4)如果点 P、 Q 保持原速度不变，当点 P 沿 A B C D 匀速运动时， OP 与 PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的 t 的值；若不能，请说明理由注意：第（4）问按点 P 分别在
17、 AB、BC、CD 边上分类讨论；求 t 值时，灵活运用等腰三角形 “三线合一” 。11、 （2009 年北京市）如图，在平面直角坐标系 中，ABC 三个顶点的坐标分别为xOy， ， ，延长 AC 到点 D,使 CD= ,过点 D 作 DEAB 交 BC 的延长线于6,0A,B0,43C12AC点 E.（1）求 D 点的坐标；（2）作 C 点关于直线 DE 的对称点 F,分别连结 DF、EF，若过 B 点的直线 将四边形 CDFE 分ykxb成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线 与 y 轴的交点出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GA 到
18、达ykxbA 点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短。 （要求：简述确定 G 点位置的方法，但不要求证明）提 示：第（）问，平分周长时，直线过菱形的中心；第（）问，转化为点到的距离加到（）中直线的 距离和最小；发现（）中直线与轴夹角为.见“最短路 线问题”专题。第 6 页 共 9 页A DPCBQ图 1DAPCB（Q）图 2 图 3CA DPBQ12、(2009 年上海市)已知ABC=90，AB=2，BC=3，ADBC，P 为线段 BD 上的动点，点 Q 在射线 AB 上，且满足 （如图
19、 1 所示） AP（1）当 AD=2，且点 与点 重合时（如图 2 所示） ，求线段 的长；P（2）在图 8 中，联结 当 ，且点 在线段 上时，设点 之间的距离为 ， ，3DAB、 xAPQBCSy其中 表示APQ 的面积， 表示 的面积，求 关于 的函数解析式，并写出函数定义APQS PBCS yx域； （3）当 ，且点 在线段 的延长线上时（如图 3 所示） ，求 的大小DBAQP注意：第（2）问，求动态问题中的 变量取值范围时，先 动手操作 找到运动始、末两个位置变量的取值，然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。当 PCBD 时，点 Q、B 重合，x 获得最小值； 当 P
20、与D 重合时，x 获得最大值。第（3）问，灵活运用 SSA 判定两三角形相似，即两个 锐角三角形或两个钝角三角形可用 SSA 来判定两个三角形相似；或者用同一法；或者证BQP BCP，得 B、Q、C、P 四点共圆也可求解。 13、 （ 08 宜昌） 如图，在 RtABC 中， AB AC， P 是边 AB（含端点）上的动点过 P 作 BC 的垂线 PR， R为垂足， PRB 的平分线与 AB 相交于点 S，在线段 RS 上存在一点 T，若以线段 PT 为一边作正方形PTEF，其顶点 E， F 恰好分别在边 BC， AC 上（ 1） ABC 与 SBR 是否相似，说明理由；（ 2）请你探索线段
21、TS 与 PA 的长度之间的关系；（ 3）设边 AB 1，当 P 在边 AB（含端点）上运动时，请你探索正方形 PTEF 的面积 y 的最小值和最大值提示：第（3）问，关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形；当 p 运动到使 T 与 R 重合时，PA=TS为最大；当 P 与 A 重合时，PA 最小。此问与上题中求取值范围类似。14、(2009 年河北)如图，在 RtABC 中，C=90 ，AC = 3，AB = 5点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速
22、度向点 B 匀速运动伴随着 P、Q 的运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止设点(第 13 题)TPSREABC F(第 13 题)TPSREABC F第 7 页 共 9 页A CBPQEDP、Q 运动的时间是 t 秒（t0） （1）当 t = 2 时， AP = ，点 Q 到 AC 的距离是 ；（2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围）（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBE
23、D 能否成为直角梯形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由；（4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值 提示：（）按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出 t 值；有二种成立的情形，；（）按点 P 运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出 t 值；有二种情形，t 时，时15、 （2009 年包头）已知二次函数 （ ）的图象经过点 ，2yaxbc0a(10)A， ，直线 （ ）与 轴交于点 (20)B， (2)C， mD（1）求二次函数的解析式；（2）在直线 （ ）上有一点 （点 在第四象限） ，使得 为顶点的三角形与以xEEB、 、为顶点的三角形相似，求 点坐标（用
24、含 的代数式表示） ；AO、 、 m（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点 ，使得四边形 为平行四边形？若存在，请FAF求出 的值及四边形 的面积；若不存在，请说明理由mABF提示：第（2）问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形；第（3）问，四边形 ABEF 为平行四边形时，E、F 两点纵坐标相等，且 AB=EF，对第（2）问中两种情形分别讨论。四、抛物线上动点16、 （2009 年湖北十堰市）如图， 已知抛物线 32bxay（a0）与 x轴交于点 A(1，0) 和点 B (3，0)，与 y 轴交于点 C(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与 x轴交于点 M ，问在对称
25、轴上是否存在点 P，使CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由(3) 如图 ，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此时 E 点的坐标第 8 页 共 9 页OyxB EADCF注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点 P 坐标- C 为顶点时，以 C 为圆心 CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点 P，M 为顶点时，以 M 为圆心 MC 为半径画弧，与 对称轴交点即为所求点 P，P 为顶 点时，线段 MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点 P。第（3）问方法一，先
26、写出面 积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二，先求与 BC 平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积17、 （2009 年黄石市）正方形 在如图所示的平面直角坐标系中， 在 轴正半轴上， 在 轴的ABCDAxDy负半轴上， 交 轴正半轴于 交 轴负半轴于 ， ，抛物线 过AByE， xF1OE24yabx三点 DF、 、（1）求抛物线的解析式；（2） 是抛物线上 间的一点，过 点作平行于 轴的直线交边 于 ，交 所在直线于 ，Q、 QxADMBCN若 ，则判断四边形 的形状； 32FQNAMS四 边 形 AFM（3）在射线 上是否存在动点 ，在射线 上是
27、否存在动点 ，使得 且 ，若DPCBHP APH存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由注意：第（2）问，发现 并利用好 NMFA 且 NMFA;第（3）问，将此问 题分离出来单独解答，不受其它 图形的干扰。需分 类讨论，先 画出合适的图形，再证明三年共同点：探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。特殊四边形为背景；点动带线动得出动三角形；探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式） ；求直线、抛物线解析式；第 9 页 共 9 页“坐标几何题” （动点问题）分析广东中考题（2003）07 08 09动点个数 两个 一个 两个问题背景 特殊菱形两边上移动 特殊直角梯形三边
28、上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点 探究相似三角形 探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形考点菱形性质特殊角三角函数求直线、抛物线解析式相似三角形不等式求直线解析式四边形面积的表示动三角形面积函数矩形性质求抛物线顶点坐标探究平行四边形探究动三角形面积是定值探究等腰三角形存在性特点菱形是含 60的特殊菱形；AOB 是底角为 30的等腰三角形。一个动点速度是参数字母。探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。利用 a、t 范围，运用不等式求出 a、 t 的值。观察图形构造特征适当割补表示面积动点按到拐点时间分段分类画出矩形必备条件的图形探究其存在性直角梯形是特殊的（一底角是 45）点动带动线动线动中的特殊性（两个交点D、E 是定点；动线段 PF 长度是定值，PF=OA）通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）
