1、第 1 页 共 3 页初中数学教师基本功比赛一等奖说题稿中考数学压轴题历来是初三师生关注的焦点，它一般有动态问题、开放性题型、探索性题型、存在性题型等类型，涉及到代数、几何多个知识点，囊括初中重要的数学思想和方法。对于考生而言，中考压轴题是一根标尺，可以比较准确的衡量学生综合解题能力以及数学素养，同时它的得失，可以直接影响到学生今后的发展。下面我就 2012 年德州市数学中考第 23 题第2 问进行讲评。中考题 如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ，点ABCDP 为正方形 AD 边上的一点（不与点 A、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG
2、交 DC 于 H，折痕为 EF，连接 BP、 BH（1）求证：APB= BPH；（2）当点 P 在 AD 边上移动时， PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设 AP 为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 与 x 的函数关系式，试问 S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由1.审题分析本题涉及的知识点有：折叠问题；勾股定理；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；正方形的性质。本题通过翻折将全等变换，相似构造，勾股定理运用，融进正方形，不失一道好的压轴题，很值得推敲。由于此图形是正方形，因此里面隐含着很多直角，这是学生所不注意的地方，也正
3、是解决问题的突破口和切入点。题目的难点是学生无法将分散的条件集中到有效的图形上进行解决，总有“老虎吃天无从下口”的感觉。用好直角三角形和构造直角三角形是解决此题的关键。由于此题综合性较强，条件较分散，对学生分析问题的能力要求较高，因此难度较大，难度系数是 0.19。2.解题过程同一个问题，从不同的角度探究与分析，可有不同的解法。一题多解，有利于沟通各知识的联系，培养学生思维的发散性和创造性。思路与解法一：从线段 AD 上有三个直角这一条件出发，运用“一线三角两相似”这一规律（见课件） ，可将条件集中到EAP 与PDH 上，通过勾股定理、相似三角形的判定与性质来解决。解法如下：答： 的周长不变，
4、为定值 8PDH证明：设 ,则 ，有折叠可知 ，aBEaA4aBEPPHGFE DCBA 图1第 2 页 共 3 页，,42aAP42aD,90EPG.90DPHAE又 ,90HHDA又 , .EPP的 周 长的 周 长即 .4242aPDHa的 周 长=的 周 长.83评析 这种解法用的是设而不求的方法，这也是解决几何问题的常规解法之一，解题过程中运用了勾股定理、相似，使解题思路明确，计算过程简洁。思路与解法二：求PDH 的周长，因为 PD、DH 都在正方形的边上，所以需要将 PH 转化到正方形的边上进行解决，因此利用辅助线构造三角形全等进行转化。解法如下：答：PDH 的周长不变，为定值 8
5、证明：如图 2，过 B 作 BQPH，垂足为 Q由（1）知 APB= BPH，又 BP=BP，,90BPA ABP QBPAP=QP, AB=BQ又 AB=BC ，BC = BQ又 BH=BH， BCHBQH CH=QH 90BQHCPDH 的周长为：PD+DH+PH= AP+PD+DH+HC=AD+CD=8. 评析 这种解法用到了作辅助线,这样把问题进行了转化，利用三角形全等的知识，得出线段 把分散的问题集中到已知条件上来，从而做到了化未知为已知，使问,CAPP题迎刃而解。3.总结提升：在原题的条件下，还可得以下结论：求证： ；045PBH求证： ；BCHAPSS当 时，则 。mmD416证
6、明略。评析 拓展提升题有助于学生巩固所学知识，提高思维能力，培养学生综合运用知识的能力，并有助于拓展思维，激发学生学习兴趣，从而使学生学习积极性和主动性都得到提高。Q 图2AB CDEFGHP第 3 页 共 3 页逆向探究：如图 1，现有一张边长为 4 的正方形 纸片，点 P 为正方形 AD 边上的一ABCD点（不与点 A、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC于 H，折痕为 EF，连接 BP、 BH 的周长为 8.求 面积的最小值。DHPH解： 设 的面积为 , 则BPS,x,y,4x,y.DHPACDS2正 方 形 .16xy,PH.8
7、)4()(yxyx由勾股定理得 ,22即 .)8(yx整理得 3y.82126xS化简得 .0)64()(S12.0532S(舍去)。1626或 .12的最小值为S.评析 加强逆向思维的训练，可改变思维结构，培养思维的灵活性、深刻性和双向性，提高分析问题和解决问题的能力。因此教学中应注重逆向思维的培养与塑造，以充分发挥学生的思考能力，训练其思维的敏捷性，从而激发学生探索数学奥秘的兴趣。像以上这种一题多解与一题多变的题例，在我们的教学过程中，如果有意识的去分析和研究，是举不胜举、美不胜收的。我想，拿到一个题目，如果这样深入去观察、分析、解决与反思，那必能起道以一当十、以少胜多的效果，增大课堂的容量，培养学生各方面的技能，特别是自主探索，创新思维的能力，也就无需茫茫的题海，唯恐学生不学了。我会继续努力深入去研究课本的例、习题和全国各地的中考试题，象学生一样，不断追求新知，完善自己。
