1、 1教 育 学 科 教 师 讲 义讲义编号： 副校长/组长签字： 签字日期： 学 员 编 号 ： 年 级 ： 八 课 时 数 ：3 课时学 员 姓 名 ： 辅 导 科 目 ：数学 学 科 教 师 ： 课 题 二次根式授课日期及时段教 学 目 的 了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根重 难 点 会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根【考纲说明】1了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根2了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根【趣味链接】【知识梳理】一平方根部分要点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果
2、一个正数 x的平方等于 a，即 2x,那么这个正数 x 叫做 a的算术平方根（规定 0 的算术平方根还是 0）；a的算术平方根记作 ，读作“ 的算术平方根”， 叫做被开方数. 要点诠释：当式子 有意义时， 一定表示一个非负数，即 0， 0.2.平方根的定义如果 2xa，那么 x叫做 a的平方根.求一个数 a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a(a0)的平方根的符号表达为 (0)，其中 是 的算术平方根. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系21区别：（1）定义不同；（2）结果不同： a和2联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0 的平方根和算术
3、平方根均为 0要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质1. 0()a；2.2；3. ；2(0)|aa4. 积的算术平方根的性质： ；(0)bab，5. 商的算术平方根的性质： .，6.若 ，则 .0abab要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动 2 位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1 位.例如：6250， 625， 6.5.， 0.65.2.2立方根部
4、分要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根.这就是说，如果 ，那么 叫做 的立aa3xaxa方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点诠释：一个数 的立方根，用 表示，其中 是被开方数， 3 是根指数. 开立方和立方互为逆运算.3要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0.要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点三、立方根的性质333a3要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问
5、题.要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动 3 位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1 位.例如， ， ， .30. 216.0 3. 2160. 216 30 63【经典例题】1已知 2a1 的平方根是3，3a+b9 的立方根是 2，c 是 的整数部分，求 a+b+c 的平方根【思路点拨】首先根据平方根与立方根的概念可得 2a1 与 3a+b9 的值，进而可得 a、b 的值；接着估计 的大小，可得 c 的值；进而可得 a+b+c，根据平方根的求法可得答案【答案与解析】解：根据题意，可得 2a1=9，3a+b9=8；故 a=5，b=2；又2 3 ，c=2，
6、a+b+c=5+2+2=9，9 的平方根为32 x为何值时，下列各式有意义？(1) ； (2) 4x； (3) 1x； (4) 13x【答案与解析】解：(1)因为 20，所以当 取任何值时， 2都有意义(2)由题意可知： 4x，所以 4x时， x有意义(3)由题意可知： 10解得： 1所以 1时 1x有意义4(4)由题意可知： 103x，解得 1x且 3所以当 x且 时， x有意义3求下列各式的值(1) 22543A；(2) 1120.369045【思路点拨】 （1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：(1) 2543A92573A；(2) 118120.60
7、0.65490.261.74求下列各式中的 x.（1） 2360;x （2） 2189x；（3） 294【答案与解析】解：（1） 2610x 3 9x（2） 218 x 11716 或 18.（3） 29640x5 832x 149或5已知 a、 b是实数，且 26|2|0ab，解关于 x的方程 2()1axba【答案与解析】解： 、 是实数， |， 6a， |2|0b， 260a， 2b 3， 把 3， 代入 2()1axba，得 x 24， x66小丽想用一块面积为 400 2cm的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 2cm 的长方形纸片，使它长宽之比为 2:3，请你说明小丽能
8、否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为 3x ( 0) ，则宽为 2xcm，依题意得 0x. 26.5. x0， . 长方形纸片的长为 350cm. 5049, 507. 321, 即长方形纸片的长大于 20c.由正方形纸片的面积为 400 2cm, 可知其边长为 20 m, 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 6【课堂练习】1.已知 2a1 与 2 是 m的两个不同的平方根，求 m的值.【答案】2 1 与 2 是 的平方根，所以 2a1 与 2 互为相反数.解：当 2 1（ 2）0 时， 1，所以 m 2
9、()392.已知 43baa，求 b的算术平方根【答案】解：根据题意，得 20,.则 3，所以 2， 132ab， 1ab的算术平方根为 1ab3.求下列等式中的 x：（1）若 2.1，则 _； （2） 2169x，则 x_；（3）若 9,4则 _； （4）若 2，则 _【答案】 （1）1.1；（2）13；（3） 32；（4）2.4.若 210xy，求 2012xy的值【答案】解：由 2，得 2， 10，即 1x， y当 x1， y1 时， 0122()xy当 1， 1 时， 20101015.某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为 1000m2的正方形空地上建一个篮球场，已知篮
10、球场的面积为 420m2，其中长是宽的 倍，篮球场的四周必须留出 1m 宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？【答案】7解：设篮球场的宽为 xm，那么长为 2815xm，由题意知 ，所以 x2=225，因为 x 为正数，所以 x= =15，又因为 =9001000，所以按规定在这块空地上建一个篮球场【课后作业】一.选择题1下列说法中正确的有（ ） 只有正数才有平方根 2是 4 的平方根 16的平方根是 4 2a的算术平方根是 a (6)的平方根是 93A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2若 m 404，则估计 m的值所在的范围是（ ）A1 2 B. 2 3 C. 3
11、 m4 D. 4 m5 3. 试题下列说法中正确的是（ ）A.4 是 8 的算术平方根 B.16 的平方根是 4 C. 6是 6 的平方根 D. a没有平方根 4. 能使 x3 的平方根有意义的 x值是（ ）A. 0 B. 3 C. 0 D. x35.（2015河南模拟）若 =a，则 a 的值为（ ）A1 B1 C0 或 1 D16. 若 x， y为实数，且 |x1| y0，则2013y的值是（ ）A.0 B.1 C.1 D.2011二.填空题7. 若 1042，则 .04_.8. 如果一个正方形的面积等于两个边长分别是 3cm和 5 的正方形的面积的和，则这个正方形的边长为 _.9. 下列各
12、数：81， 65，1.44， 1， 8的平方根分别是_；算术平方根分别是_.10 （1） 2的平方根是_；8（2） 25的平方根是 _，算术平方根是_；（3） x的平方根是_，算术平方根是_；（4） 2的平方根是_ ，算术平方根是_11 （2015诏安县校级模拟）已知 ，求 ab= 12. 若 ，则 _.三.解答题13 x为何值时，下列各式有意义？(1)2;（2） ;x （3） 2;x （4） 1.x14.（2014 春富顺县校级月考）已知：|x1|+（y2） 2+ =0，求 x+y+z 值的平方根15.如图，实数 a， b对应数轴上的点 A 和 B，化简 222()()abab【答案与解析】
13、一选择题1. 【答案】A；【解析】只有是正确的.2. 【答案】B；【解析】 6407，所以 2 4043 . 3. 【答案】C；【解析】A.4 是 16 的算术平方根，故选项 A 错误；B.16 的平方根是4，故选项 B 错误；C. 6是 6 的一个平方根，故选项 C 正确；D.当 a0 时， 也有平方根，故选项 D 错误4. 【答案】D；【解析】要使 x3 的平方根有意义， x30，即 x35. 【答案】C；【解析】解： =a，a0当 a=0 时， =a；当 0a1 时， a；9当 a=1 时， =a；当 a时， a；综上可知，若 =a，则 a 的值为 0 或 1故选 C6. 【答案】C；【
14、解析】 x10， y10，解得 x1； y12013x1.二.填空题7. 【答案】1.02；【解析】被开方数向左移动四位，算术平方根的值向左移动两位.8. 【答案】 34cm ；【解析】这个正方形的边长为 2354.9. 【答案】9； 5；1.2； ；3；9； ；1.2 ； 32；3.10.【答案】 （1）5；（2）5；5；(3） x，| |；（4）（ x2）,| 2|；【解析】 |a.11.【答案】8；【解析】解：根据题意得，a+3=0，b5=0，解得 a=3，b=5，所以，ab=35=8故答案为：812.【答案】 ；【解析】 12x， x .三.解答题13.【解析】解：（1）2 0，解得 0；（2） x0，解得 x0；（3） 0,解得 为一切实数；（4） 10，解得 1.14.【解析】解：|x1|+（y2） 2+ =0， ，解得 x=1，y=2，z=3，10x+y+z=1+2+3=6，x+y+z 的平方根为 15.【解析】根据 2|a 0b且原式 a ( a)( b) a b a b.【归纳总结】【课后反馈】
