1、初中、小学数列找规律方法与题解江苏省泗阳县李口中学 沈正中 拟编解答在初中、小学数学的一些赛题中，经常会出现数列找规律的问题，数列的题型多种多样，遵循的规律也各不相同，寻找规律的方法也非常灵活，下面举几例常见的题型探索一下，方法和解题思路。1、等差数列（1）、等差数列：相邻两数的后一个数与前一个数差相等的数列叫等差数列。在等差数列中，第 n 个数可以表示为：a na 1( n 1) d，其中 a1 为数列的第一个数，d 为后一个数与前一个数的差。【例 1】在括号内填上所缺的数：4、10、16、22、28、34、（）、。【解析】：因相邻两数的后一个数与前一个数差为 6，所以第n 个数是：a na
2、 1(n 1) d，故 a 74 (71)640，即括号内应为 40。（2）、“相邻两数的增加（或减少）值为等差数列”的数列。这种数列第 n 个数也有一种通用求法。基本思路是：求出数列的第 n 1 个到第 n 个的增加（或减少）值 (a 2 a 1)( n 2) d，则第 n 个数是 a na n 1(a 2 a 1)( n 2) d。【例 2】在括号内填上所缺的数：3、7、15、27、（）、。【解析】：因数列的增加值分别为：4、8、12、16、，增加值为等差数列。所以第 n 个数是：a na n 1( a 2 a 1)(n 2) d，故 a527(7 3)(5 2)443，即括号内应为 43
3、。这是通用解法，当然此题用分析观察的方法求出。2、等比数列（1）、等比数列：相邻两数的后一个数与前一个数的比值相等的数列叫等比数列。在等比数列中，第 n 个数可以表示为：a na 1q n 1，其中 a1 为数列的第一个数，q 为后一个数与前一个数的比值。【例 3】在括号内填上所缺的数：2、6、18、54、162、（）、。【解析】：因邻两数的后一个数与前一个数的比值为 3，所以第 n 个数是：a na 1q n 1，故 a523 6 1486，即括号内应为486。（2）、“相邻两数的增加（或减少）值为等比数列”的数列。这种数列第 n 个数也有一种通用求法。基本思路是：求出数列的第 n 1 个到
4、第 n 个的增加（或减少）值 (a 2 a 1) q n 2，则第 n个数是 a na n 1(a 2 a 1) q n 2。【例 4】在括号内填上所缺的数：3、5、9、17、33、（）、。【解析】：因数列的增加值分别为：2、4、8、16、32、，增加值为等比数列。所以第 n 个数是：a na n 1( a 2 a 1) q n 2，故 a6 33(5 3)26 265，即括号内应为 65。这是通用解法，当然此题用分析观察的方法求出。3、其它的数列（非等差、等比数列）只有用分析、观察和一些技巧的方法。【例 5】在括号内填上所缺的数：2、2、4、4、6、8、8、16、（）、。【解析】：这个数列由
5、等差数列 2、4、6、8、 在前，等比数列 2、4、8、16、 在后组成的交错数列，所以括号内应为10。【例 6】在括号内填上所缺的数：1、3、2、5、3、7、4、9、（）、。【解析】：这个数列由自然数列 1、2、3、4、 ，在相邻两数之间插入这两个数的和组成的，所以括号内应为 5。【例 7】在括号内填上所缺的数：0、0、1、2、6、3、4、（）、5、。【解析】：这个数列由新规定自然数列0、1、2、3、4、5、 ，从 0 开始向右依次两两一组，在每组中间插入这两个数的积组成的，所以括号内应为 20。【例 8】在括号内填上所缺的数：0、3、8、15、24、（）、。【解析】：容易发现，已知数列的每
6、一项，都等于它的项数的平方减 1。因此，第 n 个数是：a nn 21，故 a66 2135，即括号内应为 35。类似题有：a nn 21、a nn 22 等。【例 9】在括号内填上所缺的数：1、9、25、49、（）、。【解析】：观察发现，已知数列的各项，依次对应于1、3、5、7、 的平方，即第 n 个数是：a n（2n1） 2，故a5（251） 281，即括号内应为 81。类似题有：a n（2n1）2、a n（2n1）2 等 。【例 10】在括号内填上所缺的数：2、9、28、65、（）、。【解析】：观察发现，已知数列的各项，依次对应于项数的三次方加 1，即第 n 个数是：a nn 31，故
7、a55 31126，即括号内应为 126。类似题有：a nn 31、a nn 32 等。【例 11】在括号内填上所缺的数：4、16、36、64、100、（）、。【解析】：观察发现，已知数列的每一项，都等于它的项数 2倍的平方。所以第 n 个数是：a n（2n ） 2，故 a6（26）2144，即括号内应为 144。类似题有：a n（3n） 2 等。【例 12】在括号内填上所缺的数：0、6、16、30、48、（）、。【解析】：观察发现，各项除以 2，得0、3、8、15、24、，而这个数列的每一项，都等于它的项数的平方减 1。所以原数列的第 n 个数是：a n2 （n 21），故a62 （6 21
8、） 70，即括号内应为 70。类似题有：a n2 （n 21）、a n3 （n 21）等。【例 13】在括号内填上所缺的数：5，7，11，19，35，67、（）、。【解析】：观察发现，后一项减前一项，得4、4、8、16、32、，由此可看出原数列从第二项起，后一项等于前一项加 2 的（n1）次方。所以原数列的第 n 个数是：a na n 1 2 n 1，故 a767 2 6 199，即括号内应为 99。类似题有：a na n1 2 n1。【例 14】在括号内填上所缺的数：1、2、4、7、11、16、22、29、（）、。【解析】：观察发现，相邻两数依次相差：1、2、3、4、5、6， 、，所以第 n
9、 个数是：a na n1 n 1，故 a929837，即括号内应为 37。类似题有：a na n1 n1等。【例 14】在括号内填上所缺的数：2、5、10、17、26、37、50、（）、。【解析】：观察发现，相邻两数依次相差：3、5、7、9、，所以第 n 个数是：a na n1 2n 1，故a8501565，即括号内应为 65。类似题有：a na n1 2n1等。【例 15】在括号内填上所缺的数：8、12、16、20、24、（）、。【解析】：仔细观察发现，依次是项数加 1 后乘以 4 所得数列，或原数列是数列 9、16、25、36、49、 减去数列1、4、9、16、25、对应项所得差组成，这两
10、种说法实质上是一样的。所以第 n 个数是：a n4 （n 1） （n 2） 2n 2，故a64 （61） 28，即括号内应为 28。常见的还有以下规律： a n n(3n 2)a n 2 n 1 1a n n（n 1）a n 2 n1a n n(n+1)(n+2)/3 a n n(n+1)/2；项数依次3、1 循环: 1、4、3、6、5、8、7、 后一项等于前两项和：1、 1、 2、3、5、 8、 奇数项 1、2、3、4、5、 与偶数项2、4、8、16、 交错组合：1、2、2、4、3、8、4、16、5、奇数项：2、4、6、8、 与偶数项：1、3、9、27、交错组合：2、1、4、3、6、9、 8、 27、 10、分组数列n、 3n、5 n：1、3、5、2、6、10、3、9、15、。总之，数列规律的类型是千变万化的，有的是所给数字间有规律，有的是隔一个数字间有规律。还有的是相邻两个数字之间地差呈某种规律。规律可能有同加同减同乘一个数或一个数列，或者平方等。小学的找规律很简单，只有加、减、乘、除类型，不会有平方或多次方等类型。中学的稍微难一些，又在平方的基础上加上了平方或多次方等。
