1、1第二十二讲 园幂定理相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系，主要体现在：1用运动的观点看，切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形，即移动圆内两条相交弦使其交点在圆外的情况；2从定理的证明方法看，都是由一对相似三角形得到的等积式熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例 1】 如图，PT 切O 于点 T，PA 交O 于 A、B 两点，且与直径 CT 交于点D，CD=2，AD=3，BD=6 ，则 PB= 思路点拨 综合运用圆幂定理、勾股定理求 PB 长注：比
2、例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段：(1)平行线分线段对应成比例； (2)相似三角形对应边成比例；(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来；(4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来 【例 2】 如图，在平行四边形 ABCD 中，过 A、B 、C 三点的圆交 AD 于点 E，且与 CD相切，若 AB=4，BE=5，则 DE 的长为( ) A3 B4 C 415 D 6思路点拨 连 AC，CE，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件2注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，
3、通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键【例 3】 如图，ABC 内接于O，AB 是O 的直径，PA 是过 A 点的直线，PAC=B(1)求证：PA 是O 的切线；(2)如果弦 CD 交 AB 于 E，CD 的延长线交 PA 于F，AC=8，CE：ED=6：5， ，AE：BE=2：3，求 AB 的长和 ECB 的正切值 思路点拨 直径、切线对应着与圆相关的丰富知识(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数 x、k 处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x 与 k 的关系，建立 x 或 k 的方程【例 4】 如图， P 是平行
4、四边形 AB 的边 AB 的延长线上一点，DP 与 AC、BC 分别交于点 E、E，EG 是过 B、F、P 三点圆的切线，G 为切点，求证：EG=DE思路点拨 由切割线定理得 EG2=EFEP，要证明 EG=DE，只需证明 DE2=EFEP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中 【例 5】 如图，以正方形 ABCD 的 AB 边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为 O，DF切半圆于点
5、 E，交 AB 的延长线于点 F，BF4求：(1)cosF 的值；(2)BE 的长思路点拨 解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连 OE，AE) ；熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法对于(1)，先求出 EF，FO 值；对于(2)，从BE FEAF，RtAEB 入手3注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键，分析图形可从以下方面入手：(1)多视点观察图形如本例从 D 点看可用切线长定理，从 F 点看可用切割线定理(2)多元素分析图形图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三角形、相似三角形(3)将以上分析组合，寻找联系 学力训练
6、1如图，PT 是O 的切线，T 为切点，PB 是O 的割线，交O 于 A、B 两点，交弦CD 于点 M，已知 CM=10，MD=2，PA=MB=4，则 PT 的长为 2如图，PAB、PCD 为O 的两条割线，若 PA=5，AB=7 ，CD=11 ，则 AC：BD= 3如图，AB 是O 的直径，C 是 AB 延长线上的一点，CD 是O 的切线，D 为切点，过点 B 作O 的切线交 CD 于点 F，若 AB=CD=2，则 CE= 4如图，在ABC 中，C=90，AB=10，AC=6 ，以 AC 为直径作圆与斜边交于点 P，则 BP 的长为 ( )A64 B32 C 36 D85如图，O 的弦 AB
7、 平分半径 OC，交 OC 于 P 点，已知 PA、PB 的长分别为方程0241x的两根，则此圆的直径为( )A 8 B 6 C 24 D 246如图，O 的直径 Ab 垂直于弦 CD，垂足为 H，点 P 是 AC 上一点(点 P 不与 A、C 两点重合)，连结 PC、PD 、PA、AD，点 E 在 AP 的延长线上，PD 与 AB 交于点 F，给出下列四个结论：CH 2=AHBH；ADAC：AD 2=DFDP；EPC=APD，其中正确的个数是( ) A1 B2 C3 D47如图，BC 是半圆的直径，O 为圆心，P 是 BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A，ADBC 于点 D(1)若B=30
8、，问 AB 与 AP 是否相等?请说明理由；(2)求证：PDPO=PC PB；(3)若 BD： DC=4：l，且 BC10，求 PC 的长8如图，已知 PA 切O 于点 A，割线 PBC 交O 于点 B、C ，PDAB 于点D，PD 、 AO 的延长线相交于点 E，连 CE 并延长交O 于点 F，连 AF(1)求证：PBDPEC；(2)若 AB=12，tanEAF= 32，求O 的半径的长9如图，已知 AB 是O 的直径，PB 切O 于点 B，PA 交O 于点 C，PF 分别交AB、BC 于 E、D ，交O 于 F、G ，且 BE、BD 恰哈好是关于 x 的方程0)134(622mx(其中 为
9、实数) 的两根(1)求证：BE=BD；(2) 若 GEEF= 36，求A 的度数10如图，ABC 中，C=90，O 为 AB 上一点，以 O 为圆心，OB 为半径的圆与 AB相交于点 E，与 AC 相切于点 D，已知 AD=2，AE=1，那么 BC= 11如图，已知 A、B、C、 D 在同一个圆上，BC=CD，AC 与 BD 交于 E，若AC=8，CD=4，且线段 BE、ED 为正整数，则 BD= 512如图，P 是半圆 O 的直径 BC 延长线上一点，PA 切半圆于点 A，AHBC 于 H，若PA=1，PB+PC= a( 2)，则 PH=( ) A 2 B 1 C 2 D 3a13如图，AB
10、C 是O 的内接正三角形，弦 EF 经过 BC 的中点 D，且 EFAB，若AB=2，则 DE 的长为( ) A 21 B 215 C 2 D114如图，已知 AB 为O 的直径，C 为O 上一点，延长 BC 至 D，使CD=BC，CEAD 于 E，BE 交O 于 F， AF 交 CE 于 P，求证：PE=PC 15已知：如图，ABCD 为正方形，以 D 点为圆心，AD 为半径的圆弧与以 BC 为直径的O 相交于 P、 C 两点，连结 AC、AP 、CP ，并延长 CP、AP 分别交 AB、BC 、O 于E、H、F 三点，连结 OF(1)求证：AEPCEA；(2)判断线段 AB 与 OF 的位置关系，并证明你的结论；(3)求 BH:HC 16如图，PA、PB 是O 的两条切线， PEC 是一条割线， D 是 AB 与 PC 的交点，若PE=2，CD=1，求 DE 的长17如图，O 的直径的长是关于 x 的二次方程 0)2(kxx( 是整数)的最大整数根，P 是O 外一点，过点 P 作O 的切线 PA 和割线 PBC，其中 A 为切点，点 B、C 是直线 PBC 与O 的交点，若 PA、PB、PC 的长都是正整数，且 PB 的长不是合数，求PA+PB+PC 的值 6参考答案7科目四考试 http:/ 2016 科目四模拟考试 科目 4 最新考试题
