1、第 1 页 共 10 页初 中 几 何 证 明 题经 典 题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心， C、E 是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO求证：CDGF 证明：过点 G 作 GHAB 于 H，连接 OEEGCO，EFABEGO=90，EFO=90EGO+EFO=180E、G、O、F 四点共圆GEO=HFGEGO=FHG=90 EGO FHG =FHGHAB，CDABGHCD CDOG FEEO=COCD=GF2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内部的一点，PADPDA15。求证：PBC 是正三角形 （初二）证明：作正三角形 ADM，连接 MPMAD=60 ，PAD=15 MA
2、P=MAD+PAD=75BAD=90，PAD=15BAP=BAD-PAD=90-15=75BAP=MAPMA=BA，AP=APMAP BAPBPA=MPA，MP=BP同理CPD=MPD，MP=CPPAD PDA15PA=PD，BAP=CDP=75 BA=CDBAP CDPBPA=CPDBPA=MPA，CPD=MPDMPA=MPD=75BPC=360 -754=60MP=BP，MP=CP BP=CP BPC 是正三角形第 2 页 共 10 页3、已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC 的延长线交MN 于 E、F求证：DEN F 证明:连接 A
3、C，取 AC 的中点 G,连接 NG、MGCN=DN，CG=DGGNAD，GN= AD21DEN=GNMAM=BM，AG=CGGMBC，GM= BCF=GMNAD=BCGN=GMGMN=GNMDEN=F经 典 题（二）1、已知：ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点） ，O 为外心，且 OMBC 于 M（1）求证：AH2OM；（2）若BAC60 0，求证：AHAO （初二）证明：（1）延长 AD 交圆于 F，连接 BF，过点 O 作 OGAD 于 GOGAFAG=FG =AB AB F=ACB又 ADBC，BEACBHD+DBH=90ACB+DBH=90 ACB=BHDF=BHDBH=BF 又
4、 ADBCDH=DFAH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD又 ADBC，OMBC，OGAD四边形 OMDG 是矩形OM=GD AH=2OM（2）连接 OB、OCBAC=60BOC=120OB=OC，OMBCBOM= BOC=60OBM=301BO=2OM由（1）知 AH=2OMAH=BO=AO第 3 页 共 10 页2、设 MN 是圆 O 外一条直线，过 O 作 OAMN 于 A，自 A 引圆的两条割线交圆 O 于 B、C 及 D、E，连接 CD 并延长交 MN 于 Q，连接 EB 并延长交 MN 于 P.求证：APAQ 证明：作点 E
5、 关于 AG 的对称点 F，连接 AF、CF、QFAGPQ PAG=QAG=90又GAE=GAF PAG+GAE= QAG+GAF即PAE=QAFE、F 、C、D 四点共圆AEF+FCQ=180 EFAG，PQ AGEFPQPAF=AFEAF=AEAFE=AEFAEF=PAFPAF+QAF=180 FCQ=QAFF、C、A、Q 四点共圆AFQ= ACQ又AEP=ACQAFQ= AEP3、设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE，设 CD、EB 分别交 MN 于 P、Q求证：APAQ （初二）证明：作 OFCD 于 F，OGBE 于 G，连接 OP、OQ、OA、AF、
6、AGC、D、B 、E 四点共圆B=D， E=CABEADC DFB2AABGADFAGB=AFDAGE=AFCAM=AN，OAMN又 OGBE，OAQ+OGQ=180O、A、Q、E 四点共圆AOQ=AGE同理AOP= AFCAOQ=AOP又OAQ=OAP=90，OA=OAOAQOAPAP=AQ在AEP 和AFQ 中AFQ= AEPAF=AEQAF= PAEAEPAFQAP=AQ第 4 页 共 10 页4、如图,分别以ABC 的 AB 和 AC 为一边,在ABC 的外侧作正方形 ABFG 和正方形 ACDE，点 O 是DF 的中点，OP BC求证：BC=2OP（初二）证明：分别过 F、A、D 作
7、直线 BC 的垂线，垂足分别是 L、M、NOF=OD，DN OPFLPN=PLOP 是梯形 DFLN 的中位线DN+FL=2OPABFG 是正方形ABM+FBL=90又BFL+FBL=90ABM=BFL又FLB=BMA=90，BF=ABBFLABMFL=BM同理AMCCNDCM=DNBM+CN=FL+DNBC=FL+DN=2OP经 典 题（三）1、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE AC，AEAC，AE 与 CD 相交于 F求证：CECF （初二）证明：连接 BD 交 AC 于 O。过点 E 作 EGAC 于 GABCD 是正方形BDAC 又 EGACBDEG 又 DEACODEG 是平行
8、四边形又COD=90ODEG 是矩形EG=OD= BD= AC= AE2121EAG=30AC=AEACE=AEC=75又AFD=90-15=75 CFE=AFD=75 =AECCE=CF第 5 页 共 10 页2、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE AC，且 CECA，直线 EC 交 DA 延长线于 F求证：AEAF （初二）证明：连接 BD，过点 E 作 EGAC 于 GABCD 是正方形BDAC ，又 EGACBDEG 又 DEACODEG 是平行四边形又COD=90ODEG 是矩形EG = OD = BD= AC= CE2121GCE=30AC=EC3、设 P 是正方形 ABCD
9、一边 BC 上的任一点，PFAP，CF 平分DCE求证：PAPF （初二）证明：过点 F 作 FGCE 于 G，FH CD 于 HCDCG HCGF 是矩形HCF=GCF FH=FGHCGF 是正方形CG=GFAPFPAPB+FPG=90APB+BAP=90FPG=BAP又FGP=PBAFGPPBAFG：PB=PG：AB4、如图，PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE、AF 与直线 PO 相交于 B、D求证：ABDC，BCAD （初三） 证明：过点 E 作 EKBD，分别交 AC、AF 于 M、K ，取 EF 的中点 H，连接 OH、MH、ECEH=FHOHEF，P
10、HO=90 又 PC OC，POC=90P、C、H、O 四点共圆HCO=HPO又 EKBD，HPO=HEKHCM=HEMH、C、E、M 四点共圆ECM=EHM又ECM=EFAEHM= EFAHMACEH=FH设 AB=x，BP=y，CG=zz：y= （ x-y+z） ：x化简得（x-y）y =（x-y）zx-y 0y=z即 BP=FGABP PGFCAE=CEA= GCE=1521在AFC 中 F =180-FAC-ACF=180-FAC-GCE=180-135-30=15F=CEAAE=AFEM=KMEKBD KODAEBOB=OD又 AO=CO四边形 ABCD 的对角线互相平分ABCD 是
11、平行四边形AB=DC，BC=AD第 6 页 共 10 页Q CABPE PBACDECBA D经典题(四)1、已知：ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA 3，PB 4，PC5求APB 的度数 （初二）解：将ABP 绕点 B 顺时针方向旋转 60得BCQ，连接 PQ则BPQ 是正三角形BQP=60，PQ=PB=3在PQC 中， PQ=4，CQ=AP=3，PC=5PQC 是直角三角形PQC=90BQC=BQP+PQC=60+90=150APB=BQC=1502、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且PBA PDA求证：PAB PCB （初二）证明：过点 P 作 AD 的平行线，过点
12、 A 作 PD 的平行线，两平行线相交于点 E，连接 BEPEAD，AEPDADPE 是平行四边形PE=AD，又 ABCD 是平行四边形AD=BCPE=BC又 PEAD，ADBCPEBCBCPE 是平行四边形BEP=PCBADPE 是平行四边形ADP= AEP3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：ABCDADBCACBD （初三）证明：在 BD 上去一点 E，使BCE=ACD = CAD=CBDCD CD BEC ADC ABEADBC=BEACBCE=ACDBCE+ACE=ACD+ ACE即BCA=ECD = ,BAC=BDCBC BC BACEDC DAEABCD=DEAC 又ADP=
13、 ABPAEP=ABPA、E、B、P 四点共圆BEP=PABPAB=PCB+得 ABCD+ ADBC =DEAC+ BEAC=（DE+BE ）AC=BDAC第 7 页 共 10 页GDFEAB CP4、平行四边形 ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点， AE 与 CF 相交于 P，且AECF求证：DPA DPC （初二）证明：过点 D 作 DGAE 于 G，作 DHFC 于 H，连接 DF、DES ADE = AEDG，S FDC = FCDH12 12又 SADE = SFDC = SABCD12AEDG=FCDH又 AE=CFDG=DH点 D 在APC 的角平分线上DPA
14、 DPC经 典 题（五）1、设 P 是边长为 1 的正ABC 内任一点，LPA PB PC， 求证： L23证明：（1）将BPC 绕 B 点顺时针旋转 60的BEF，连接 PE，BP=BE，PBE=60PBE 是正三角形。PE=PB 又 EF=PCL=PA+PB+PC=PA+PE+EF当 PA、PE 、EF 在一条直线上的时候， L=PA+PE+EF 的值最小（如图）在ABF 中， ABP=120 AF= 3L=PA+PB+PC 3（2）过点 P 作 BC 的平行线分别交 AB、AC 于 D、G则ADG 是正三角形ADP= AGP，AG=DGAPD AGPAPD ADPADPA又 BD+PDP
15、BCG+PGPC+得 AD+BD+CG+PD+PGPA+PB+PCAB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+ACPA+PB+PC=LAB=AC=1L2由（1）（2）可知： L23HGFDACB EP第 8 页 共 10 页G FEB CA DPQB CA DP2、已知：P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PAPB PC 的最小值解：将BCP 绕点 B 顺时针旋转 60得BEF，连接 PE，则BPE 是正三角形PE=PBPAPBPC=PA+PE+EF要使 PAPBPC 最小，则 PA、PE、EF 应该在一条直线上（如图）此时 AF= PA+PE+EF过点 F 作 FGAB 的延长
16、线于 G则GBF=180-ABF=180 -150=30GF= ，BG=12 3AF= = =2AGF22133PAPBPC 的最小值是3、P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PAa ，PB2a，PC 3a，求正方形的边长证明：将ABP 绕点 B 顺时针旋转 90得BCQ，连接 PQ则BPQ 是等腰直角三角形，PQ= PB= 2a=2 a22又 QC=AP=aQP 2+QC2=(2 a)2+a2=9a2=PC2PQC 是直角三角形BQC=135BC 2=BQ2+CQ2-2BQCQcosBQC=PB2+PA2-2PBPAcos135=4a2+a2-22aa(- )2解得 BC= 5正方形的边
17、长为 a2第 9 页 共 10 页GF EDACB4、如图，ABC 中，ABCACB 80，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DCA30，EBA20，求BED 的度数解：在 AB 上取一点 F，使BCF=60 ，CF 交 BE 于 G，连接 EF、DGABC=80，ABE=20，EBC=60，又BCG=60BCG 是正三角形 BG=BCACB=80，BCG=60FCA=20EBA= FCA又A= A， AB=ACABEACF AE=AFAFE=AEF= （180-A ）=80 12又ABC=80=AFEEFBCEFG=BCG=60EFG 是等边三角形EF=EG，FEG= EGF=EFG=60
18、ACB=80，DCA=30 BCD=50BDC=180-BCD-ABC=180 -50-80=50BCD=BDCBC=BD 前已证 BG=BCBD=BGBGD=BDG= （180-ABE）=8012FGD=180-BGD- EGF=180 -80-60=40又DFG=180-AFE-EFG=180-80-60 =40FGD= DFGDF=DG 又 EF=EG，DE=DE EFD EGDBED=FED= FEG= 60=3012 125、如图，ABC 内接于O，且 AB 为O 的直径， ACB 的平分线交O 于点 D，过点 D 作O 的切线 PD 交 CA 的延长线于点 P，过点 A 作 AEC
19、D 于点 E，过点 B 作 BFCD 于点 F，若AC=6，BC=8 ，求线段 PD 的长。解：ACD=BCD = AD=BDAD BD AB 为O 的直径 ADB=90ABD 是等腰直角三角形ACB=90，AC=6，BC=8 AB=10AD=ABcosDAB=10 =52又 AECD，ACD=45 ACE 是等腰直角三角形 CE=AE=ACcosCAE=6 =32在ADE 中， DE2=AD2-AE2 DE 2= DE=3522（-4CD=CE+DE=3 + =47PDA= PCD，P=P PDAPCD 752CDAPPC= PD，PA= PD PC=PA+AC PD= PD+6 解得 PD=575743第 10 页 共 10 页
