1、初中数学二次函数做题技巧I.定义与定义表达式 一般地，自变量 x和因变量 y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0，且 a决定函数的开口方向，a0 时，开口方向向上，a0 时，开口方向向上，a0 时，开口方向向下。IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大。）则称 y为 x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x 是自变量，y 是 x的函数 二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a0) 顶点式抛物线的顶点 P(h，k) ：y=a(x-h)2+k 交点式仅限于与 x轴有交点 A(x1,0)
2、和 B(x2,0) 的抛物线：y=a(x-x1)(x-x2) 以上 3种形式可进行如下转化：一般式和顶点式的关系对于二次函数 y=ax2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b2)/4a)，即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b2)/4a 一般式和交点式的关系 x1,x2=-b(b2-4ac)/2a(即一元二次方程求根公式)初中数学二次函数做题技巧2012 中考数学精选例题解析：一次函数（1）知识考点：掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律；会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等。精典例题：【例 1】二次函数 的图像如图所示，那么 、 、 、 这四个代数cbx
3、ay2 abc42bac24式中，值为正的有（ ）A、4 个 B、3 个 C、 2 个 D、1 个解析： 1abx2 0答案：A评注：由抛物线开口方向判定 的符号，由对称轴的位置判a 定 的符号，由抛物线与b轴交点位置判定 的符号。由抛物线与 轴的交点个数判定 的符号，若 轴标出了 1 和1，则结合函数ycxacb42x值可判定 、 、 的符号。ba2cb【例 2】已知 ， 0，把抛物线 向下平移 1 个单位，再向左平移 5 个单位所得到axy2的新抛物线的顶点是（2，0） ，求原抛物线的解析式。分析：由 可知：原抛物线的图像经过点（1，0） ；新抛物线向右平移 5 个单位，再向上平移 1c个
4、单位即得原抛物线。解：可设新抛物线的解析式为 ，则原抛物线的解析式为 ，又易知原抛物线过2)(xay 1)2(xay点（1，0） ，解得1)52(a41原抛物线的解析式为： )3(2xy评注：解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：开口反向（或旋转 1800） ，此时顶点坐标不变，只是 反号；两抛物线关于 轴对称，此时顶点关于 轴对称， 反号；两抛物线关于 轴对称，axxay此时顶点关于 轴对称；y探索与创新：【问题】已知，抛物线 （ 、 是常数且不等于零）的顶点是 A
5、，如图所示，抛物线2)1(ttyat的顶点是 B。12xy（1）判断点 A 是否在抛物线 上，为什么？2xy（2）如果抛物线 经过点 B，求)1(ttxa 的值；这条抛物线与 轴ax的两个交点和它的顶点 A 能否构成直角三角形？若能，求出它 的值；若不能，请说明理由。解析：（1）抛物线 的顶点2y A（ ， ） ，而1t2当时，tx 22)1()(xxyyx例 1图 -1 1Oyx问 题 图 O B初中数学二次函数做题技巧 ，所以点 A 在抛物线 上。2t 12xy（2）顶点 B（1，0） ， ， ， ；设抛物线 与 轴0)(2ttat1a2)1(ttxayx的另一交点为 C，B（1，0） ，
6、C（ ，0） ，由抛物线的对称性可知，ABC 为等腰直角三角形，过 A 作 AD轴于 D，则 ADBD。当点 C 在点 B 的左边时， ，解得 或 （舍） ；当点 C 在点 B 的右边x )(12ttt0t时， ，解得 或 （舍） 。故 。)(2tt 评注：若抛物线的顶点与 轴两交点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形，常用其“斜边上的x中线（高）等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。跟踪训练：一、选择题：1、二次函数 的图像如图所示，OAOC，则下列结论：cbxay2 0；bc ；24 ；1a ； ；cOBA 。其中正确的有（ ）024bA、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5
7、 个 2、二次函数 的图像向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，得到函数图像的解析式为cxy2，则 与 分别等于（ ）12xbA、6、4 B、8、14 C、4、6 D、8、143、如图，已知ABC 中，BC8，BC 边上的高 ，D 为4hBC 上一点，EF BC 交 AB 于E，交 AC 于 F（EF 不过 A、B） ，设 E 到 BC 的距离为 ，DEF 的面积为 ，那么 关于 的函数图像大致是（ xyx）xy第 3题 图 2 442O xy第 3题 图 2 442O xy第 3题 图 2 442O x第 3题 图 2 442OA B C D4、若抛物线 与四条直线 ， ， ， 围成
8、的正方形有公共点，则 的取值范围是（ ）2ay11y aA、 1 B、 2 C、 1 D、 2a2a415、如图，一次函数 与二次函数 的大致图像是（ ）bkxycbxy第 1题 图 yx-2 1C BAO第 3题 图 FED CBA初中数学二次函数做题技巧xy第 3题 图 O xy第 3题 图 O xy第 3题 图 O xy第 3题 图 O A B C D二、填空题：1、若抛物线 的最低点在 轴上，则 的值为 。2)1(2mxy xm2、二次函数 ，当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大。则当54xy2xyx时， 的值是 。xy3、已知二次函数的图像过点（0，3） ，图像向左
9、平移 2 个单位后的对称轴是 轴，向下平移 1 个单位后与 轴只有一x个交点，则此二次函数的解析式为 。4、已知抛物线 的对称轴是 ，且它的最高点在直线 上，则它的顶点为 nmxy4)2( x2xy， 。n三、解答题：1、已知函数 的图像过点（1，15） ，设其图像与 轴交于点 A、B，点 C 在图像上，且xxy)(2 x，求点 C 的坐标。ABCS2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润 S（万元）与销售时间 （月）之间的关系（即前 个月的利润总和 S 与t t之间的关系） 。根据图象提供的信息，
10、解答下列问题： t（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润 S（万元）与时间 （月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到 30 万元；（3）求第 8 个月公司所获利润是多少万元？ tS 3 4 5 6 -1 -2 -3 O 4 32 1 12 xy第 2题 图 xy第 4题 图 ODCB A3、抛物线 ， 和直线 （ 0）分别交于 A、B 两点，已知AOB90 0。xy2xa（1）求过原点 O，把AOB 面积两等分的直线解析式；（2）为使直线 与线段 AB 相交，那么 值应是怎样的范围才适合？bb4、如图，抛物线 与 轴的一个交点为 A（1，0） 。taxy42（1）求抛物
11、线与 轴的另一个交点 B 的坐标；x（2）D 是抛物线与 轴的交点， C 是抛物线上的一点，且以 AB 为一底的梯形 ABCD 的面积为 9，求此抛物线初中数学二次函数做题技巧的解析式；（3）E 是第二象限内到 轴、 轴的距离的比为 52 的点，如果点 E 在（2）中的抛物线上，且它与点 A 在此xy抛物线对称轴的同侧。问：在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使APE 的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。参考答案一、选择题：BCDDC二、填空题：1、2；2、7；3、 ；4、 （2，2） ， ；1)(22xy 2n三、解答题：1、C（ ，1）或（ ，1） 、 （3，1）2
12、、 （1） ；（2）10 月；（3）5.5 万元tS3、 （1） ；（2）3 0xy4b4、 （1）B（3，0） ；（2） 或 ；342xy342xy（3）在抛物线的对称轴上存在点 P（2， ） ，使APE 的周长最小。1初中数学二次函数做题技巧2012 中考数学精选例题解析 函数与一元二次方程知识考点：1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系；2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与 轴的交点情况；x3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。精典例题：【例 1】已抛物线 （ 为实数） 。1)2()1(2xmxy（1） 为何值时，抛物线与 轴有两个交点？m（2）如果抛物线与
13、 轴相交于 A、B 两点，与 轴交于点 C，且ABC 的面积为 2，求该抛物线的解析式。y分析：抛物线与 轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程x有两个不相等的实数根 应满足的条件。略解：（1）由已知有 ，解得 且012m1m（2）由 得 C（0， 1）x又 aAB 21221mOSABC 或34m5 或12xy 1562xy【例 2】已知抛物线 。)()8(2m（1）求证：不论 为任何实数，抛物线与 轴有两个不同的交点，且这两个点都在 轴的正半轴上；x（2）设抛物线与 轴交于点 A，与 轴交于 B、C 两点，当ABC 的面积为 48 平方单位时，求
14、 的值。yx m（3）在（2）的条件下，以 BC 为直径作M，问M 是否经过抛物线的顶点 P？解析：（1） ，由 ， 可得证。0)4(2m08210)6(21mx（2） )(4222121 mxxxBC)6(2mOA又 48BCS 48)(2)(1解得 或 （舍去）2m1 初中数学二次函数做题技巧（3） ，顶点（5，9） ，1602xy 6BC 9M 不经过抛物线的顶点 P。评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是解相关问题的常用技巧。探索与创新：【问题】如图，抛物线 ，其中 、 、 分别是ABC 的A、B、C 的对边。4)(22cxb
15、ayabc（1）求证：该抛物线与 轴必有两个交点；x（2）设有直线 与抛物线交于点 E、F，与 轴cay交于点 M，抛物线与 轴y交于点 N，若抛物线的对称轴为 ，MNE 与MNF 的面积之比为 51，求证：ABC 是等边三角形；（2）当 时，设抛物线与 轴交于点 P、Q，问3ABCSx 是否存在过 P、Q 两点且与轴相切的圆？若存在这样的圆，求出圆心的坐标；若不存在，y 请说明理由。解析：（1） )()(2cbacba ，00（2）由 得由 得：bcaxy4)(22 0432acx设 E（ ， ） ，F（ ， ） ，那么： ，12y321 acx421由 51 得：MNS 215x 或21x
16、2x由 知 应舍去。01由 解得2153xa2 ，即c40452ca 或 （舍去）a0 bABC 是等边三角形。（3） ，即3ABCS342ax问 题 图 EQFPMONyx问 题 图 EQFPMON初中数学二次函数做题技巧 或 （舍去）2a ，此时抛物线 的对称轴是 ，与 轴的两交点坐标为 P（ ，0） ，cb142xy2x 32Q（ ，0）3设过 P、Q 两点的圆与 轴的切点坐标为（0， ） ，由切割线定理有：yt OQPt2 1t故所求圆的圆心坐标为（2，1）或（2，1）评注：本题（1） （2）问与函数图像无关，而第（3）问需要用前两问的结论，解题时千万要认真分析前因后果。同时，如果后一
17、问的解答需要前一问的结论时，尽管前一问没有解答出来，倘能会用前一题的结论来解答后一问题，也是得分的一种策略。跟踪训练：一、选择题：1、已知抛物线 与 轴两交点在 轴同侧，它们的距离的平方等于 ，则 的值为（ ）mxy)1(52 y2549mA、2 B、12 C、24 D、2 或 242、已知二次函数 （ 0）与一次函数 （ 0）的图像交于点 A（2，4） ，cba21amkx2B（8，2） ，如图所示，则能使 成立的 的取值范围是（ ）21yxA、 B、 C、 D、 或x8x828xyx第 2题 图 BAOx第 3题 图 EBA Oyx第 4题 图 BA O3、如图，抛物线 与两坐标轴的交点分
18、别是 A、B、E，且ABE 是等腰直角三角形，AEBE，则cbay2下列关系： ； ； ； 其中正确的有（ ）0c1a2cSA、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个4、设函数 的图像如图所示，它与 轴交于 A、B 两点，线段 OA 与 OB 的比为 13，则)1(2mxxy x的值为（ ）mA、 或 2 B、 C、1 D、2313二、填空题：1、已知抛物线 与 轴交于两点 A（ ，0） ，B（ ，0） ，且 ，则 2)1(2kxyx172k。2、抛物线 与 轴的两交点坐标分别是 A（ ，0） ，B（ ，0） ，且 ，则 的值为 mx)(2 1x2x21xm。初中数学二次函数做题技巧3、若
19、抛物线 交 轴于 A、B 两点，交 轴于点 C，且ACB90 0，则 。121mxy ym4、已知二次函数 与 轴交点的横坐标为 、 ，则对于下列结论：当 时，)(kx1x2)(21x2x；当 时， ；方程 0 有两个不相等的实数根 、 ； ，1y2x0y)2(k 12x1； ，其中所有正确的结论是 （只填写顺号） 。2xk2124三、解答题：1、已知二次函数 （ 0）的图像过点 E（2，3） ，对称轴为 ，它的图像与 轴交于两点cbxay2a 1xxA（ ，0） ，B（ ，0） ，且 ， 。x2x21121（1）求这个二次函数的解析式；（2）在（1）中抛物线上是否存在点 P，使POA 的面积
20、等于EOB 的面积？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。2、已知抛物线 与 轴交于点 A（ ，0） ，B（ ，0）两点，与 轴交于点 C，且42)(2mxxyx1x2xy， ，若点 A 关于 轴的对称点是点 D。1x021y（1）求过点 C、B、D 的抛物线解析式；（2）若 P 是（1）中所求抛物线的顶点，H 是这条抛物线上异于点 C 的另一点，且HBD 与CBD 的面积相等，求直线 PH 的解析式；3、已知抛物线 交 轴于点 A（ ，0） ，B（ ，0）两点，交 轴于点 C，且mxy2321x2xy， 。210x1)(COBA（1）求抛物线的解析式；（2）在 轴的下方是否存在着
21、抛物线上的点，使APB 为锐角、钝角，若存在，求出 P 点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由。参考答案一、选择题：CDBD二、填空题：1、2；2、 ；3、3；4、三、解答题：1、 （1） ；（2）存在，P（ ，9）或（ ，9）2xy 13132、 （1） ；（2）860xy3、 （1） ；（2）当 时APB 为锐角，当 或 时APB 为钝32xyP 0Px43Px角。初中数学二次函数做题技巧中考数学知识点速记口诀(一)1.有理数的加法运算：同号相加一边倒;异号相加“大“减“小“，符号跟着大的跑;绝对值相等“零“ 正好。【注】“大“减“小“是指绝对值的大小。 2.合并同类项：合并同类项，法则不
22、能忘，只求系数和，字母、指数不变样。3.去、添括号法则：去括号、添括号，关键看符号，括号前面是正号，去、添括号不变号，括号前面是负号，去、添括号都变号。4.一元一次方程:已知未知要分离，分离方法就是移，加减移项要变号，乘除移了要颠倒。5.恒等变换：两个数字来相减，互换位置最常见，正负只看其指数，奇数变号偶不变。(a-b)2n+1=-(b-a)2n+1(a-b)2n=(b-a)2n6.平方差公式:平方差公式有两项 ，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。7.完全平方:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央;首尾括号带平方，尾项符号随中央。8.因式分解：一提(
23、公因式)二套(公式) 三分组，细看几项不离谱，两项只用平方差，三项十字相乘法，阵法熟练不马虎，四项仔细看清楚，若有三个平方数(项) ，就用一三来分组，否则二二去分组，五项、六项更多项，二三、三三试分组，以上若都行不通，拆项、添项看清楚。9.“代入 “口决： 挖去字母换上数 (式)，数字、字母都保留 ;换上分数或负数，给它带上小括弧，原括弧内出(现) 括弧，逐级向下变括弧(小-中- 大)10.单项式运算：加、减、乘、除、乘(开) 方，三级运算分得清，系数进行同级 (运)算，指数运算降级( 进)行。11.一元一次不等式解题的一般步骤：去分母、去括号，移项时候要变号，同类项、合并好，再把系数来除掉，两边除( 以) 负数时，不等号改向别忘了。中考数学知识点速记口诀(二)12.一元一次不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，小大，大小取中间,大小,小大无处找。 13.一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解集：大(鱼) 于(吃)取两边,小( 鱼)于(吃)取中间。14.分式混合运算法则：分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变(乘);乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算;加减分母需同，分母化积关键; 找出最简公分母，通分不是很难;变号必须两处，结果要求最简。
