1、1利用画图策略培养学生解决数学问题的能力数学新课标指出：要使学生面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。在小学数学中，解决问题的策略有很多，如实际操作、找规律、整理数据、列方程等等，其中画图策略应该是学生解决问题的一种很基本也很重要的策略。它是通过各种图形帮助学生把抽象问题具体化、直观化，从而使学生能从图中理解题意和分析数量关系，搜寻到解决问题的突破口。从这个意义上讲，画图能力的强弱也反映了解题能力的高低。现在的小学生解决数学问题的能力比较薄弱，解决问题的策略相对单一。其实很多数学问题，通过画画图，在画图的基础上找到具体的量或分率和它们所表示的意思，把抽象
2、、模糊转化为直观、具体，题意和数量关系也就一目了然了。因此注重和利用画图策略来培养学生解决数学问题的能力显得尤为重要。可现实的学习中，学生对于画图策略的运用存在两种情形，越聪明成绩越好的人在碰到难题时会主动地画画图来帮助理解题意，分析数量关系；而很大一部分学生却是懒得画或者不会画，觉得怕麻烦或无从入手。那么如何在教学中培养学生学会并利用画图策略从而提高解决数学问题的能力呢，我觉得从以下三方面入手。一、创设情境，体验画图策略的价值性斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图像，那么就整体地把握了问题。”小学生的数学学习，正处在以形象思维为主，向抽象思维过渡的阶段。许多数学问题多以文字叙述出现
3、，纯文字的问题在语言表述上比较简洁，桔燥乏味，以至使他们常常读不懂题意。所以根据其年龄特点，让学生自己在纸上涂一涂、画一画，借助线段图或实物图把抽象的数学问题具体化，还原问题的本来面目，使学生读懂题意、理解题意，拓展学生解决问题的思路，帮助他们找到解决问题的关键，从而提高学生解决问题的能力。所以，在教学中教师要善于创设体验情境，让学生在思考的过程中产生画图的需要，在自己画图的活动中体会方法、感悟策略、发展思维、获得思想。2如六上数学广角“鸡兔同笼”：有 8 个头，26 条腿，鸡、兔各多少只？鸡兔同笼是一个让很多学生学习起来感到头疼的问题，但是运用画图策略却非常容易理解且把问题解决。如：画图时，
4、先引导学生把 8 个头全画上两只腿了或四只腿，发现少的或者多的那些腿是兔子或者鸡的，然后依次再添上去，学生有了这一发现后，兴趣浓厚，纷纷动手，了了几笔简笔画并通过添腿或减腿就能非常快速地计算出鸡或兔有多少只。然后依托画图法，再理解假设法中求鸡：（8426）（42）=3 （只），为什么除以（42）的差就容易多了。我也曾把这道题用画图法叫我读二年级的儿子来做，他居然也非常容易理解，而且很感兴趣，画得得心应手，并且很快地解答出来。画了几次以后，他居然也能感悟出通过算式来计算了。又如六上百分数应用题：冬冬倒了一杯纯牛奶，先喝了 50%，加满水后，又喝了 50%，再加满水喝完，冬冬喝的牛奶多还是水多？这
5、道题初看只有两个分率，显得很简单，但对于小学生来说，最不容易理解的就是没有量只有分率的题目，感到非常抽象，更何况用算式来计算了。但如果提示学生试着可以通过画图或画表格来分别表示每次喝下的牛奶和水的分率，学生的兴趣一下子就来了，纷纷拿出纸来列列画画，慢慢地答案也就在画3图中逐渐明朗了。学生们通过画实物图、示意图，画表格等多种方法来解答这道题通过这样多种形式的图示，把三次喝的情况逐一展现，简洁明了地表示了每次喝后，牛奶与水所占的分率，非常的容易理解。特别是前两种，也富有趣味性，充分显示出儿童的无限想象力和创造力。兴趣是最好的老师。通过利用小学生喜欢画画，擅长画画的特点，激发他们的兴趣，让他们用自己
6、喜爱的方式画图，原生态的图形，生动有趣，再现数量之间的关系，使数学与图形结合，以画促思，最终可以化复杂为简单，化抽象为直观，能更好地寻找问题的答案，同时，让他们在尝试中体会到用图解题的快乐，体验用画图法解题带来的成功感和价值感。二、教会方法，掌握画图策略的多样性。“形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神”是数学课程标准确定的课程目标之一。 “受之于鱼不如授之于渔。 ”教学生解题还不如教他们解题的方法。希望学生能运用画图的策略来解决问题，首先要教会他们如何来画图，并选择合理的画图方式来解题。画图的形式除了大家熟悉的线段图、平面图、立体图 、集合图、统计图，还
7、包括学生运用自己的方式给出的图形表征，如实物图、示意图等。（一）线段图：它能够把抽象的问题具体化，是一种半抽象半具体的图，尤其在分数百分数应用题中特别突显它的优势。例如：六上 P17 例 1：据统计，2003 年世界人均耕地面积为 2500 平方米，我国人均耕地面积仅占世界人均耕地面积的 2/5，我国人均耕地面积是多少平方米？引导学生作图分析：先找到单位“1”世界人均耕地面积，用线段表示出来。再从“我国人均4耕地面积仅占世界人均耕地面积的 2/5”可画出我国人均耕地面积的线段。如左上图。 这是学生第一次接触分数应用题，对于分率比较抽象难理解，但通过画图就能很快找到量与率的对应关系，从而正确理解
8、题意，求我国人均耕地面积就是求世界人均耕地面积的 2/5，也就是求 2500 平方米的 2/5，所以用乘法计算，算式是：25002/51000 平方米。线段图是所有图示法中最常用也最实效的一种画图方法，它具有直观性、形象性、实用性。特别在解决倍数应用题、分数、百分数应用题中作用非常明显。如果学生从小掌握了用线段图辅助解题的方法，分析问题和解决问题的能力将会有大大的提高，对今后的学习生活将有很大的帮助。这种画图策略从低年级就应该开始培养。学生刚学习画线段图，不知道如何下手，怎样画。教师的指导、示范就尤为重要。开始时教师可以先引导学生看懂线段图所表示的意思，然后指导学生跟老师一步一步来画，找数量关
9、系。也可以教师先示范画，然后让学生边说边仿照画一遍，画好后再相互交流，即使是把老师画的图照抄一边，也是有收获的。教师则对不会画的学生作重点指导。等学生掌握了一定的技能后，教师可以放手让学生自己去画，教师给以适时的指导和点拨，并和学生一起小结出画线段图的一般方法：1认真读题，全面理解题意，所画的线段图要与题目中的条件相符合。2图中线段的长短要和数值的大小基本相符，不要长线段标出小数据而短线段标出大的数据。3要按照题目的叙述顺序，依次在图上标明条件。对于双线段多线段并列图一定要分清先画和后画的顺序，要找准数量间的对应关系，明确它们之间的关系。4学会迁移。通过各种题目画图并解答，让学生知道不仅应用题
10、可以应用线段图帮助分析题意，而且还可以迁移到其他类型的题。（二）树图： 如二上的数学广角：有两件不同的上衣，两条不同的裤子，一共有几种不同的搭配方法？用“树图”法更加直观。通过画图，连线，学生就能快速地解答出来，并归纳出计算方5法：2+2=4（种）或 22=4（种） （三）集合图：能够体现数学的思想及方法。例如：三（1）班有 20 人参加兴趣活动小组，参加美术小组的有 15 人，参加合唱小组的有 10 人，同时参加两个小组的有多少人？如果用画集合图的方法，问题就迎刃而解了。如下图：通过画图，学生就会发现图中重叠部分就表示同时参加两个小组的人，即151020=5（人） 。（四）示意图：在解决问题
11、的过程中，学生也会根据自己的经验，画出一些简单的示意图来解决问题。例如：小朋友排队做操，从左边数起小红排第 5 个，从右边数起小红排第 6 个，一共有几个小朋友？算式：6+5-1=10（个）小明 学生根据自己的喜好，用不同的图形来代表小朋友，通过画示意图，简单明了地看出两种数法中小明重复数了一次，所以最后要减 1 求出总人数。上述另外几种的画图法，教学中，在保护学生积极性和独创性的前提下，教师也要规范学生的画图要求，如树图用尽子来画，集合图的两个椭圆大小尽量相等，并在图上标出具体的条件，教学生一些常用的简笔画，示意图力求简洁实用等等。三、运用画图，提高解决问题的实效性学生对画图有了兴趣，并初步
12、掌握了画图的方法时，要真正做到培养学生运用画图策略解决问题的能力，不是在加深问题的难度上下功夫，而是教师要有意识地找有代表性的又为学生容易接受的题目，重点培养学生的画图策略，使学生能够灵活运用画图策略，并产生迁移，遇到同类题目也能运用这样的画图方法来解决，甚至遇到一些未碰到过的题型，学生也能灵活运用合理的画图策略，经过自己的画图、分析从而找出解答的方法。因此教师要善于梳理教材6内容，根据不同的学习内容，让学生灵活运用，并能对不同题型的问题解决时所运用的画图策略进行归纳，达到合理运用，灵活运用，举一反三，从而通过画图策略提高解决问题的能力。（一） 、在学习“数学广角”等独立内容运用画图策略教材上
13、有些独立内容，如数学广角，基本没有前后知识的联系，题目比较抽象，都是课外学生在学的奥数类型的题目。学生在理解、解答上都有一定的困难。如上述提到的鸡兔同笼 ， 排列组合 、 重叠问题 ，还有植树问题、 合理安排等。因此教学这一块内容时，教师一定要引导学生画合理的示意图，借助示意图来帮助分析题意，寻找解答方法。如：五下 P132打电话 ：我校合唱队共有 15 人，因紧急演出通知，老师需要尽快通知到每个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知 1 人最短需几分钟？设计一个打电话的方案。初读这道题时，学生容易造成直觉思维，让教师依次给学生打电话，或者分组打。但到底如何打最省时呢？学生思维受阻，想不出最好的
14、办法，这时教师提醒，如何能让前面接到通知的学生不空闲，也马上通知别人呢？于是让学生能过画图法尝试。这样通过讨论，画图，学生画出了很多种图示法，如：（不同的平面图形代表不同分钟时接到通知的学生，线上的数表示第几分钟）通过这样一幅简单的示意图，能够非常清楚地看出每一分钟接到通知的学生，以及所花的时间和共接到通知的学生人数。借助这个示意图，远远比纯文字的叙述要简单明了。这样的示意图在数学广角合理安排 、 找次品 、 植树问题等题目的解答也非常有用。教师要善于引导学生归纳解决这类题的画图策略，灵活运用。2、在解决“倍数、分数（百分数）问题”时运用画图策略现在的小学生解决数学问题的能力相对比较薄弱，对题
15、目的分析、概括能7力能力比较低。特别如求倍数、分数（百分数）等问题解决时，谁比谁的几倍多或少几，找分率及对应量，学生往往很难理解题意，分析数量关系，解答时也最容易出错。如“比一个数的几倍多几或少几求这个数” 的题目：红花有 60 朵，比黄花的3 倍少 9 朵，黄花有多少朵？学生的错误解法有：6039；6039；6039。而为什么用（609）3 列式，学生很难理解。所以这时配合线段图来加以分析：从图上清楚地看出，黄花是一倍数，60 朵红花还不到黄花的 3 倍，比黄花的 3 倍少 6 朵。60 朵加上 9 朵正好是黄花的 3 倍，所以算式是：（609）3。然后再把这题变式，红花有 60 朵，比黄花
16、的 3 倍 9 朵，黄花有多少朵？通过线段图，发现（60-9）朵正好是黄花的 3 倍，所以求黄花的算式是：（609）3。再联系两幅线段图，比较它们的异同，得到这类题目求一倍数的方法，这样就远比单纯地看题分析解题思路理解要容易。又如：一辆汽车从甲地开往乙地，已经行了 20 千米，这时距离中间还有1/6，这条路全程多少千米？这是一道分数应用题，这类题的特点是先找单位“1” ，然后找到量和量所对应的分率。但学生对于稍复杂的题目在理解上有困难，总是找不到量和量所对应的分率，如这道题学生通常 列的算式是：20（1-1/6 ）或 20（1-1/2-1/6） 。第一种算式错在把距离中间还有 1/6 理解成总
17、路程还剩 1/6。第二种算式太复杂。怎样让学生更明白题意，找到正确的数量关系呢，于是可以8通过线段图来进行来分析。这样就非常清晰地看出 20 所对应的分率不是 1-1/6。但对于第二种解法来说，还有更简单的列法。因为中点的分率可以看作1/2，那么 20 千米所对应的分率也可以看作 1/2-16，这样更加简便。 所以在解决倍数、分数（百分数）应用题时，当题意和数量关系比较抽象时，教师就要引导学生有意识地通过画线段图帮助理解题意，分析数量关系，化抽象为具体，这样就能化难为易，从而提高学生分析和解答问题的能力。3、在学习“图形与几何”时运用画图策略小学生处于形象思维向抽象思维过渡阶段，所以对于平面、
18、立体图形的理解能力特别低。因此在教学中教师要经常以实物和图示相结合帮助学生理解题意，也更应该让学生在已有知识的基础上，主动画画草图，明确题意。如：人教版六年级上册数学配套的作业本第 34 页，有这样一道题：一元硬币的直径为 25，其中有一圈 1mm 宽的边。这一圈边的面积是多少平方毫米？（先看一看 1 元硬币，再想想怎么算，然后计算。 ）这题设计的目的是让学生运用圆环面积的计算方法来解决实际问题，初看这题除了数据比较大（为了计算方便，我把 25 mm 改成了 24mm） ，数量关系应该不难的。但学生的错误率却非常高，出乎我的意料，虽然学生对硬币很熟悉，但这题还是主要出错在两个圆的半径到底是多少
19、，如出现 R=24+1,或 r=1，或者r=24-1=23。究其原因，说明对题意不理解。所以解答时再让学生看硬币，并要求画出草图，标上数据。 通过实物观察，再配以草图和数据（见左上图） ，学生终于明白，原来 25mm 表示大圆的直径，而 1 mm 是环宽，所以R=242=12mm，r=12-1=11mm ，这样圆环的面积计算就正确了。然后再和原9来求小路面积的题目比较， （一个直径是 4 米的圆形花坛，在外面辅一条宽为 1米的小路，求小路的面积）通过画图（见左下图） ，发现原来都是求圆环的面积，不同的是求小路面积已知的是小圆的直径，先求出小圆半径，再加上环宽求出大圆半径，而硬币已知的则是大圆的直径，先求出大圆的半径，再减去环宽求出小圆的半径。这样通过画图比较，学生就能清晰地看出两道题的不同，从而寻求正确的解法了。
