1、8-4 统筹规划知识点说明：统筹学是一门数学学科，但它在 许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好先后顺序，能够提高我们的工作效率我国著名数学家华罗 庚教授生前十分重视数学的应用，并亲自带领小分队推广优选法、统筹法，使数学直接为国民经济发展服 务，他在中学语文课本中，曾有一篇名为统筹原理的文章详，细介绍了统筹方法和指导意义 运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最大效率的科学。它包含的内容非常广泛，例如物资调 运、场地设置、工作分配、排队、对策、实验最优等等，每类问题都有特定的解法。运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知 识及方法，但是其中分
2、析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、 调整比较的思想、尝试探索的方法等，都是我们小学生能够掌握的。这 些来源于生活实际的问题，正是启 发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。本讲主要讲统筹安排问题、排 队问题、最短路 线问题、场地设置问题等。这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它 们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。“节省跑空车的距离” 是物资调运问题的一个原则。“发生对流的调运方案” 不可能是最优方案。“小往大靠，支往干靠 ”。板块一、合理安排时间【例 1】 一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎 1 张饼需要 2 分钟(正面、反面各 1 分钟)
3、问：煎 3张饼需几分钟？怎样煎？【 因为这只平底锅上可煎两只饼，如果只煎 1 个饼 ，显然需要 2 分钟；如果煎 2 个饼，仍然需要 2 分钟；如果煎 3 个饼，所以容易想到：先把两饼一起煎，需 2 分钟；再煎第 3 只，仍需 2 分钟，共需 4分钟，但这不是最省时间的办 法最优方法应该是：首先煎第 1 号、第 2 号饼的正面用 1 分钟；其次煎第 1 号饼的反面及第 3 号饼的正面又用 1 分钟；最后煎第 2 号、第 3 号饼的反面再用 1 分钟；这样总共只用 3 分钟就煎好了 3 个饼(因为每只 饼都有正反两面，3 只饼共 6 面，1 分钟可煎 2 面，煎 6 面只需 3 钟 )【巩固】
4、(2000 年小学生数学报数学邀请赛)烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去 3 分钟，那么用一次可容下 2 块饼的锅来烙 21 块饼，至少需要多少分钟？ 【 先将两块饼同时放人锅内一起烙， 3 分钟后两块饼 都熟了一面， 这时取出一块，第二块翻个身，再放人第三块，又烙了 3 分钟，第二块已烙熟取出，第三块翻个身，再将第一块放入烙另一面，再烙3 分钟， 锅内的两块饼均已烙熟这样烙 3 块饼，用去 9 分钟，所以烙 21 块饼，至少用(分钟)2196【巩固】 一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎 1 张饼需要 2 分钟(正面、反面各 1 分钟)问：煎2009 张饼需几分钟？ 【
5、 我们归纳出煎 1、2、3 个饼分别需要 2、2、3 分钟，我们可以继续往下分析，煎 4 个饼最少需要 4分钟，煎 5 个饼需要 分钟，煎 6 个饼需要 分钟，煎 7 个饼需要56分钟，那么 煎 2009 个饼至少需要 2009 分钟 347【例 2】 星期天妈妈要做好多事情。擦玻璃要 20 分钟，收拾厨房要 15 分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10 分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要 40 分钟，晾衣服要 10 分钟。妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？【 如果按照题目告诉的几件事，一件一件去做，要 95 分钟。要想节约时间，就要想想在哪段时间里闲着，能否利用闲着的时间做其它事。最合理的安排是：先
6、洗脏衣服的领子和袖口，接着打开全自动洗衣机洗衣服，在洗衣服的 40 分钟内擦玻璃和收拾厨房，最后晾衣服，共需 60 分钟（见下图）。【巩固】 小明在家的一面墙上贴奖状，一共有 32 张，给一张奖状涂满胶水需要 2 分钟，涂完胶水后要过2 分钟才能往墙上贴，贴的过程需要 1 分钟，但是如果等待超过 6 分钟的话胶水就会干掉不能再贴，问：小明最快用多长时间能贴完所有的奖状？【 用最短时间贴完所有的奖状就相当于问如何最节省时间， 这道题目应该从反面来考虑：时间如果浪费了，会浪费在等待上，也就是说如果不想浪费时间，我们最需要做的就是不能等待那么可以试验一下，当第一张奖状涂完的 时候，这时候不能贴也不能
7、等那么就只能继续涂下一张，等第二张涂完了就可以继续贴，但是这样下去到了最后一张的时 候还是需要等待胶水可以粘贴的一段时间那么继续试验先涂第一张 然后涂 ，然后涂 ，这时候 等待了 4 分钟马上贴上，再涂一张ABCA马上贴上已经等待了 5 分钟的 ，再涂一 张 贴上已经 等待 6 分钟的 (题目中说等待超过 6DEC分钟就不可以，那么等于六分 钟应是可以的)这样一直下去，会使每一张奖状花费的时间就只有涂的 2 分钟和贴的 1 分钟， 那么 总时间是 96 分钟【例 3】 小明骑在牛背上赶牛过河共有甲、乙、丙、丁 4 头牛甲牛过河需要 1 分钟，乙牛过河需要2 分钟，丙牛过河需要 5 分钟，丁牛过
8、河需要 6 分钟每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这 4 头牛都赶到对岸，最小要用多少分钟？【 要想用最少的时间，4 头牛都能过河，保 证时间最短：第一步：甲与乙一起过河，并由小明骑甲牛返回，共用： (分钟)；213第二步：返回原地的小明再骑丙与丁过河后再骑乙牛返回，共用了 (分钟)；628第三步：最后小明骑甲与乙一起过河用了 2 分钟；所以，小明要把这 4 头牛都赶到 对岸，最小要用 (分钟)38【例 4】 有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥此桥每次只能让 2 个人同时通过，否则桥会倒塌过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空只有一个手电筒4 个人的行走速度不同：小强用 1 分种就可以
9、过桥，中强要 2 分中，大强要 5 分中，最慢的太强需要 10 分中17 分钟后桥就要倒塌了请问：4 个人要用什么方法才能全部安全过桥？【 小强和中强先过桥，用 2 分钟；再用小强把电筒送过去，用 1 分钟，现在由大强跟太强一起过桥，用 10 分钟， 过去以后叫中强把 电筒送给小强用 2 分钟，最后小强与中强一起过河再用 2 分钟，他们一起用时间： (分钟) ，正好在桥倒塌的时候全部过河(时间最短过河的原则1017是：时间长的一起过， 时间短的来回 过 这样保证总的时间是最短的) 【例 5】 有一家五口人要在夜晚过一座独木桥他们家里的老爷爷行动非常不便，过桥需要 12 分钟；孩子们的父亲贪吃且
10、不爱运动，体重严重超标，过河需要时间也较长，8 分钟；母亲则一直坚持劳作，动作还算敏捷，过桥要 6 分钟；两个孩子中姐姐需要 3 分钟，弟弟只要 1 分钟当时正是初一夜晚又是阴天，不要说月亮，连一点星光都没有，真所谓伸手不见五指所幸的是他们有一盏油灯，同时可以有两个人借助灯光过桥但要命的灯油将尽，这盏灯只能再维持 30分钟了！他们焦急万分，该怎样过桥呢？【 首先姐姐跟弟弟一起过，用 时 3 分钟，姐姐再回去送油灯，用时 3 分钟，老 爷爷跟爸爸一起过河，用时 12 分钟，弟弟将灯送回去，用 时 1 分钟，弟弟和母 亲一起过，用时 6 分钟，弟弟送灯 过河，用时 1 分钟，最后与姐姐一起过 河，
11、用 时 3 分钟一共用时： (分钟)最后3126329能够安全全部过河【巩固】 (迎春杯试题)小强、小明、小红和小蓉 4 个小朋友效游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们 4 个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过 2 人，因此必须先由 2 个人拿着手电筒过桥，并由 1 个人再将手电筒送回，再由 2 个人拿着手电筒过桥直到 4 人都通过小木桥已知，小强单独过桥要 1 分钟；小明单独过桥要分钟；小红单独过桥要 2 分钟；小蓉单独过桥要 分钟那么，4 个人都通过小木桥，最1.5 2.5少要多少分钟？【 方法一：要想用最少的时间， 4 人都通过小木桥，可采
12、用让过桥最快的小强往返走，将手电筒送回，这样就能保证时间最短了第一步：小强与小明一起过桥，并由小 强带手电筒返回，共用： (分钟)；1.52.第二步：返回原地的小强与小红过桥后再返回，共用了 (分钟)；23第三步：最后小强与小蓉一起过桥用了 分钟；2.5所以，4 个人都通过小木桥，最少用 (分钟) 38方法二：要想用最少的时间，4 人都能过桥，保 证时间最短 还可以：第一步：小强与小明一起过桥，并由小 强带手电筒返回，共用： (分钟)；1.52.第二步：返回原地的小红与小蓉过桥后再由小明带手电返回，共用了 (分钟)；4第三步：最后小强与小小明一起过桥用了 分钟；1.5所以，4 个人都通过小木桥
13、，最少用 (分钟) 248【例 6】 有甲、乙两个水龙头，6 个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满 6 个人的水桶所需时间分别是 5 分钟、4 分钟、3 分钟、10 分钟、7 分钟、6 分钟怎么安排这 6 个人打水，才能使他们等候的总时间最短，最短的时间是多少？【 一人打水时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让打水所需时间少的人先打安排需 3分钟的，然后 5 分钟的，最后 7 分钟的在甲水龙头打；安排需 4 分钟的，然后 6 分钟的，最后 10 分钟的在乙水龙头打；在甲水龙头 3 分钟的人打时，有 2 人等待，占用三人的时间和为( )分；然后，需 5 分钟的人打水，有 1 人等待，
14、占用两人的时间和为( )分；最后，需 7 分钟的人打水，52无人等待甲水龙头打水的三个人，共用( )分，乙水龙头的三人，共用(357)分 总的占用 时间为(分)436210【巩固】 6 个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满 6 个人的水桶所需时间分别是 5 分钟、4 分钟、3 分钟、10 分钟、7 分钟、6 分钟现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这 6 人的打水次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？【 第一个人接水时，包括他本人在内，共有 6 个人等候，第二个人接水时，有 5 个人等候； 第 6 个人接水时，只有他 1 个人等候可见，等候的人越多(一开始时)，接水时间应当越
15、短，这样总的等候时间才会最少，因此，应 当把接水时间按从少到多顺序排列等候接水，这个最短时间是(分)3645637201【巩固】 理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10、12、15、20 和 24 分钟，怎样安排他们理发的顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少时间为多少？【 一人理发时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让理发所需时间少的人先理甲先 给需 10 分钟的人理发，然后 15 分钟的，最后 24 分钟的；乙先给需 12 分钟的人理发，然后 20 分钟的，甲给需 10 分钟的人理发时 ，有 2 人等待，占用三人的时间和为(
16、)分；然后，甲给需 15103分钟的人理发，有 1 人等待，占用两人的时间和为( )分；最后，甲给需 24 分钟的人理发，无152人等待甲理发的三个人，共用( )分，乙理发的两个人，共用( )分总1034 20的占用时间为 (分)03548（ ） （ ）【例 7】 (101 培训试题)车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18，30，17，25，20 分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失 5 元现有两名工作效率相同的修理工， 怎样安排才能使得经济损失最少？ 怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短？【 一人修 17、20、30，另一人修 18、25 ；最少的 经济损失
17、为： 173201825（ ）(元)910 因为 (分)，经过组合，一人修需 18，17 和 20 分钟的三台，另一8372505（ ）人修需 30 和 25 分钟的两台，修复 时间最短， 为 55 分钟【例 8】 (三帆中学入学考试试题)设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要 1 分钟，注满第二个人的桶需要 2 分钟，如此下去，当只有两个水龙头时，如何巧妙安排这十个人打水，使他们总的费时时间最少？最少的时间是多少？【 要想总的时间最少， 应该安排打水时间少的人先来打水，下面给出排队方式：显然计算总时间时，1、2 计算了 5 次，3、 4 计算了 4 次， 5
18、、6 计算了 3 次，7、8 计算了 2 次，9、 10计算了 1 次所以有最短时间为 分12 105（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）钟【例 9】 (小学数学报试题)右图是一张道路示意图，每段路上的数字表示小明走这段路所需要的时间(单位：分)小明从 A 到 B 最快要几分钟？HGFEDCBA756 5 04 6 463341【 我们采用分析排除法，将道路图逐步简化从 A 到 O 有两条路，ACO 用 6 分钟，AFO 用7 分钟，排除后者，可将 FO 抹去，但 AF 不能抹去，因为从 A 到 B 还有其它路线经过 AF，简化为图从 A 到 E 还剩两条路，AC GE 用 12 分钟，AC
19、OE 用 10 分钟，排除前者，可将CG，GE 抹去， 简化为图从 A 到 D 还剩两条路，ACO D 用 12 分钟， AHD 用 13 分钟，排除后者，可将 AH，HD 抹去，简化为图从 A 到 B 还剩两条路，ACOEB 用 17 分钟，AC O D B 用 16 分钟，排除前者，可将 OE，EB 抹去，简化为图小明按 ACODB 走最快，用 16 分钟4 3 2 1 55DCBAO 6411464O7ABCDEHFEDCBA7O4 6 46711 7 6464O565 7ABCDEFGH 【巩固】 (十一学校考题)下图为某三岔路交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A，B，
20、C 的机动车辆数如图所示，图中 ， ， 分别表示该时段单位时间通过路段1x23AB，BC，CA 的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，问： ， ， 的大小关系 1x23 50530353020X3X2X1【 ， ， ，所以133505xx211xx32205xx231x【例 10】 某人从住地外出有两种方案，一种是骑自行车去，另一种是乘公共汽车去.显然公共汽车的速度比自行车速度快，但乘公共汽车有一个等候时间(候车时间可以看成是固定不变的)，在任何情况下，他总是采用时间最少的最佳方案.下表表示他到达 A、B、C 三地采用最佳方案所需要的时间.为了到达离
21、住地 8 千米的地方，他需要花多少时间？并简述理由.【 显然 A、B 两地所需 时间与路程不成比例，所以不可能为 A、B 两地均为骑自行车如果 A、B 两地均采用公共汽车，那么到达 B 地比 A 地多 1 千米，多用 15.5123.5 分钟，即公共汽车行 1 千米需 3.5 分钟，则等候时间为 1223.5 5 分钟当达到 A、B 两个较短的路程都采用公共汽 车，那么到达 C 地采用的方式一定也是公共汽车，于是所需时间为 43.5+519 分钟，与 题中条件不符，所以开始假设不成立；所以只能是到达 A 采用自行车，到达 B 采用公共汽车，则 C 地采用的也是公共汽车由 C 地比 B 地多 1
22、 千米，多 1815.52.5 分钟，那么行 3 千米所需时间为 32.57.5 分钟，等候时间为 15.57.58 分钟那么行至 8 千米的路程及等候 时间为 82.5+828 分钟板块二、合理安排地点【例 11】 如图，在街道上有 A、B、C、D 、E、F 六栋居民楼，现在设立一个公交站，要想使居民到达车站的距离之和最短，车站应该设在何处？FEDCBA【 找最中间的那栋楼，可 这时最中间的楼有两个， 这该 怎么办呢？其实经过研究发现，建在这两个楼都一样，路程和最短，所以可以建在 C 或 D 如果我们只要求建在这条道路上的一点即可，那么 CD 之间及点 C、D 均可【巩固】 如图，在街道上有
23、 A、B 、C、D、E 五栋居民楼，为使五栋楼的居民到车站的距离之和最短，车站应立于何处？EDCBA【 条件中只有五个楼的名字和排列顺序，楼与楼的距离也不确定那么我们先来分析一下 A、E 两个点，不论这个车站放在 AE 之间的那一点，A 到车站的距离加上 E 到车站的距离就是 AE 的长度，也就是说车站放在哪儿不会影响这两个点到车站的距离之和；那么我们就使其他的 3 个点到车站的距离之和最短，再看为了使 B、D 两个到车站的距离之和小，应把车站放在 BD 之间同理，只要是在 BD 之间，B、D 到车站的距离之和也是不变的，等于 BD最后，只需要考虑 C 点到车站的距离最近就行了那么当然也就是把
24、车站放在 C 点了这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”【巩固】 有 1993 名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？【 由于 1993 数目较大，不易解决我们先从人数较小的情况入手当只有 2 个人时，设 2 人宣传岗 位分别为 A1 和 A2（如上图），显然集合地点选在 A1 点或 A2 点或者 A1A2 之间的任何一个地点都可以因为由 A1、A2 出发的人走过的路程总和都等于 A1A2当有 3 个人时，则集合地点应该选 在 A2 点（如上图）因 为若集合地点选在 A1A2 之间的 B 点，
25、那时 3 个人所走的路程总和是 A1B+A2B+A3B=（A1B+A3B）+A2B=A1A3+A2B； 若集合地点选在 A2A3 之间的 C 点，那时 3 个人所走的路程总和是：A1C+A2C+A3C=（A1C+A3C）+A2C=A1A3+A2C；而集合地点选在 A2 点时， 3 个人所走路程总和仅是 A1A3当然 A1A3 比A1A3+A2B 及 A1A3+A2C 都小当有 4 个人时，由于集合地点无 论选在 A1A4 之间的任何位置，对 A1、A4 岗位上的人来说，这 2人走的路程和都是 A1A4（如上图）因此，集合地点的选取只影响 A2、A3 岗位上的人所走的路程，这就是说，问题转化为“
26、2 个人站在 A2 和 A3 岗位的情形” 根据上面已讨论的结论可知，集合地点应选在 A2 或 A3 或者 A2A3 之间任何地点当有 5 个人时，类似地可把问题转 化为“ 3 个人站在 A2、A3、A4 岗位的情形”（如下图）根据已讨论的结论可知，集合地点应选 在 A3 点依此递推下去，我们就得到一个 规律：当有偶数（ 2n）个人时，集合地点 应选在中间一段 AnAn+1 之间的任何地点（包括 An 和 An+1 点）；当有奇数（2n+1）个人时，集合地点 应选在正中间岗位 An+1 点本题有 1993=2996+1（奇数）个人，因此集合地点应选在从某一端数起第 997 个岗位处【例 12】
27、 如图，在街道上有 A、B、C、D 、E 五栋居民楼，每栋楼里每天都有 20 个人要坐车，现在设立一个公交站，要想使居民到达车站的距离之和最短，应该设在何处？ EDCBA【 如果不考虑楼里坐车的人数， 应该把车站放在 C 点因为每栋楼的人数相同所以数量不影响选择，所以答案不影响，应该把 车站放在 C 点【例 13】 在一条公路上每隔 100 千米，有一个仓库(如图)共有 5 个仓库，一号仓库存有 10 吨货物，二号仓库有 20 吨货物，五号仓库存有 40 吨货物，其余两个仓库是空的现在想把所以的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输 1 公里需要 元运输费，那么最少要多少运费才行？0.40
28、 20 10 【 做此类问题时我们都可以根据“小往大处靠”的原则进行判断，观察可知五号仓的最大，所以先把一号仓库的 10 吨货物往五号方向靠拢，先集中到二号仓库 ，那么 现在二号仓库中就有 30 吨货物了再根据“小往大处靠”的原则，那么这 30 吨货物应该集中到五号 仓库中所以所需的费用是： (元)， (元)，共需要： 10.5030.54050450(元)【巩固】 (人大附中分班考试题)在一条公路上，每隔 10 千米有一座仓库(如图)，共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输 1千米需要运费 元，那么集中到哪个仓库运费最少？0.960
29、 10 20 30 10 EDCBA【 这道题可以用“小往大处靠”的原则来解决E 点 60 吨，存的货物最多，那么先 处理小势力，A 往 E那个方向集中，集中到 B，B 变成 40 吨，判断仍是 E 的势力最大，所以继续向 E 方向集中，B 点集中到 C 点， C 点 变成 60 吨此 时 C 点和 E 点都是 60 吨，那么 C、E 谁看成大势力都可以例如把E 点集中到 D 点， D 点是 70 吨所以 C 点也要集中到 D 点确定了集中地点，运输费用也就容易求了运费最少为： (元)10320160.91530（ ）【例 14】 在一条公路上，每隔 100 千米有一座仓库，共有 8 座，图中
30、数字表示各仓库库存货物的重量(单位：吨)，其中 C、G 为空仓库现在要把所有的货物集中存入一个仓库里，如果每吨货物运输 1 千米需要 元，那么集中到那个仓库中运费最少，需要多少元运费？0.5601052010 30HGFEDCBA【 根据这道题可以用“小往大处靠”的原则来解决H 点 60 吨，存的货物最多，那么先处理小势力， A往 H 那个方向集中，集中到 B，B 变成 40 吨，判断仍是 H 的势力最大，所以继续向 H 方向集中，B 点集中到 D 点， D 点变成 60 吨此 时 D 点和 H 点都是 60 吨，那么 D、H 谁看成大势力都可以例如把 H 点集中到 F 点， F 点是 70
31、吨把 D 点集中到 E 点，E 点是 65 吨所以 E 点也要集中到 F 点确定了集中地点为 F 点，运输费用也就容易求了运费最少为：(元)1053402510620.5167（ ）【巩固】 (04 年我爱数学夏令营试题)一条直街上有 5 栋楼，从左到右编号为 1，2，3，4，5，相邻两楼的距离都是 50 米第 1 号楼有 1 名职工在 A 厂上班，第 2 号楼有 2 名职工在 A 厂上班，第 5 号楼有 5 名职工在 A 厂上班A 厂计划在直街上建一通勤车站接送这 5 栋楼的职工上下班，为使这些职工到通勤车站所走的路程之和最小，车站应建在距 1 号楼多少米处？ 【 如图所示， “小往大处靠”
32、的原则来解决，故 应建在 4 号楼的位置，距 1 号楼 150 米处5421 3小结对于集中货物的问题，涉及到了重量，而集中到何处起决定作用的是货物的重量，而至于距离，仅仅只是为了计算所以对于这类问题老师要强调“小往大处靠”的原则【例 15】 (奥数网习题库)右图是 A，B，C，D ，E 五个村之间的道路示意图，中数字是各村要上学的学生人数，道路上的数表示两村之间的距离(单位：千米)现在要在五村之中选一个村建立一所小学为使所有学生到学校的总距离最短，试确定最合理的方案EDCBA5423 5035202040【 “小往大处靠” 的原则来解决，A 点向 C 点集中，因为根据“ 小往大处靠”的原则，
33、 虽然 A 点 40 人比C 点 20 人多，但是人最多的点是 E 点，所以大方向是向 E 点的方向靠拢那么 B 点当然也要向C 点靠拢 C 点就有 80 人了此 时人数最多的点 变成了 C 点了 D、E 又变成小势力了，因此还是“小往大处靠”的原则，看大方向，E 点要向 D 点靠 拢此 时 D 点变成 85 人了那么 D 点比此时 C点的 80 人多了 C 点又变成小势力了所以最 终 要集中在 D 点也就是学校要设在 D 点【巩固】 (三帆中学分班考试题)有七个村庄 ， ， ， 分布在公路两侧(见右图)，由一些小路与1A2 7A公路相连，要在公路上设一个汽车站，要使汽车站到各村庄的距离和最小
34、，车站应设在哪里？A6A5A7A4A3A2A1FEDB C【 本题可简化为“ B，C，D，E，F 处分别站着 1，1，2，2，1 个人(见右图)，求一点，使所有人走到这一点的距离和最小” 显然 D、E 最大，靠拢完的结果变成了 ， ，所以车站设在 D 点4D3E【例 16】 (奥数网习题库)某乡共有六块麦地，每块麦地的产量如右图试问麦场设在何处最好？(运输总量的千克千米数越小越好) 6000 4000 1000 5000 2000 3000 GFEDCBA【 依据“小往大靠” ，“支往干靠”我们不妨以 F-E-C-D 为干，显然麦场设在 C 点当然你以其他路经为干，都会的到同样结果譬如：若以
35、F-E-C-A 为干，那么依据“支往干靠”，D 就靠到 C，B 移到G，当作“ 干”上一成员板块三、合理布线和调运【例 17】 新建的自来水厂要给沿公路的十个村庄供应自来水(如下图，距离单位为千米)，要安装水管有粗细两种选择，粗管足够供应所有村庄使用，细管只能供一个村用水，粗管每千米要用 8000元，细管每千米要 2000 元，如果粗细管适当搭配，互相连接，可以降低费用，怎样安排才能使这项工程费用最低？费用是多少元？ 52223242530JIHGFEDCBA 【 由于细管相对于粗管来讲，价 钱要少一些，因此先假设都用细管那么从自来水厂到 J 村要铺设10 根细管，自来水厂到 I 村要铺设 9
36、 根细管，依次下去，我们用图表示铺细管的情况因为粗管是细管价格的 4 倍，如果用 细管代替粗管重叠数超过 4 条费 用更大， 仅在 3 条或 3 条以下才会节约，而细管只能供应一村用水，所以粗管从水厂一直接到 G 村为止，再用三条细管连接 H、I、J 三个村，这样费用最低，总费用： 803524320325410（ ） （ ）(元)【例 18】 (奥数网习题库)有十个村庄，座落在从县城出发的一条公路上，现要安装水管，从县城供各村自来水可以用粗、细两种水管，粗管每千米 7000 元，细管每千米 2000 元粗管足够供应所有各村用水，细管只能供应一个村用水，各村与县城间距离如右图所示(图中单位是千
37、米)，现要求按最节约的方法铺设，总费用是多少？A10A9A8A7A6A5A4A3A2A152223242530【 由于细管相对于粗管来讲，价 钱要少一些，因此先假设都用细管那么从县城到 村要铺设 10 根细管， 村到 村要铺设 9 根 细管，依次下去，我 们用图表示铺细管的情况1A2因为粗管每千米 7000 元，细管每千米 2000 元，所以 4 根细 管的价钱将大于 1 根粗管的价钱这样一来，凡是超过 3 根细管的路段，都应改铺粗管因此，从县城到 村铺 1 根粗管， 村到 村铺 3 根细管， 村到 村铺 2 根细管， 村到77A88A99A村铺 1 根细管总费用为：0(元)752420251
38、60（ ） （ ）【例 19】 北京、洛阳分别有 11 台和 5 台完全相同的机器，准备给杭州 7 台、西安 9 台，每台机器的运费如右表，如何调运能使总运费最省？6001000700800/ 【 方法一：由表中看出，北京到杭州的运费比到西安便宜，而洛阳正相反，到西安的运费 比到杭州便宜所以，北京的机器 应尽量运往杭州，洛阳的机器应尽量运往西安最佳的 调运方案为：北京发往杭州 7 台， 发往西安 4 台，洛阳发往西安 5 台总运费为 (元 )8071460512方法二：本题也可以采用下面的代数方法解决，设北京调运杭州 x 台，调运西安 ( )台， 则洛1x阳应调运杭州( )台，调运西安 (台)
39、 ，x9x（ ）总运费 W（ ） （ ） （ ） 80049，因为要使总运费 最小，需要 300x 最706120x47301473大由于 x 是北京调运杭州的台数，且 ，7x所以当 时，总运费 (元)最小由 可知，北京调运杭1260x州 7 台，调运西安 4 台，洛阳 调运杭州 0 台，调运西安 5 台【巩固】 北京、上海分别有 10 台和 6 台完全相同的机器，准备给武汉 11 台，西安 5 台，每台机器的运费如右表，如何调运能使总运费最省？/ 5007006001000【 与例题不同的是，北京、上海到西安的运 费都比到武汉的高，没有出现一高一低的情况此 时，可以通过比较运输中的差价大小来
40、决定最佳方案 上表中第一行的差价为 (元)，第二行的差价为 (元) 说明从北605110730京给西安多发 1 台机器要多付运费 100 元，而从上海 给西安多 发 1 台机器要多付运费 300元所以应尽量把北京的产品运往西安，而西安只要 5 台，于是可知北京调往西安 5 台，其余5 台调往武汉，上海 6 台全部 调往武汉， 总运费为： (元)607069 如果改为看表中的列，那么由于第一列的差价为 (元)，第二列差价 为2(元)，所以武 汉需要的机器应尽量从上海 调运，而上海只有 6 台，不足的部分10640由北京调运这个结论同前面得到的相同【例 20】 北京和上海同时制成了电子计算机若干台
41、，除了供应本地外，北京可以支援外地 10 台，上海可以支持外地 4 台现决定给重庆 8 台，汉口 6 台，若每台计算机的运费如右表，上海和北京制造的机器完全相同，应该怎样调运，才能使总的运费最省？最省的运费是多少？5834/ 【 方法一：本题中虽然上海到汉口的运费最少，只有 3 百元，但是上海到 汉口比北京到汉口只节省( )1 百元，相比之下，上海到重庆比北京到重庆要节 省( )3 百元所以重 庆43 85所需台数应由上海尽量满足，即上海的 4 台全部调运重庆 ，北京再 补给重庆 4 台，汉口的 6 台从北京调运总运费为 ： (百元 )5867方法二：本题也可以采用下面的代数方法解决，设北京调
42、运 汉口 x 台，调运重庆( )台， 则上10x海应调运汉口( )台，调运重 庆 (台)，总运费 6x2x（ ） 8W（ ），因为要使总运费 最3524013108xx（ ） （ ） 2小，需要 2x 最大由于 x 是北京 调运汉口的台数，且 ，所以当 时，总运费66(百元)最小由 可知，北京调运汉口 6 台，调运重庆 4 台，上海87W6调运汉口 0 台，调运重庆 4 台【例 21】 北仓库有货物 35 吨，南仓库有货物 25 吨，需要运到甲、乙、丙三个工厂中去其中甲工厂需要 28 吨，乙工厂需要 12 吨，丙工厂需要 20 吨两个仓库与各工厂之间的距离如图所示(单位：公里)已知运输每吨货物
43、 1 公里的费用是 1 元，那么将货物按要求运入各工厂的最小费用是多少元？161256810 【 通过分析将题目给的图形先转化为下图，我 们 仍可以通过差价的大小来决定最佳方案 观察上表各列两数之差，最大的是第三列 ，因此北仓库的货物尽可能的供应丙工厂，即北仓库1624供应丙 20 吨在剩下的两列中，第一列的差大于第二列的差，所以南 仓库的货物尽可能的供应甲工厂，即南仓库供应甲 25 吨因为南仓库货物分配完，其余的甲需要的 (吨)由北仓库2853供应，即北仓库供给丙后剩下的 15 吨货物 3 吨给甲 (吨)给乙，相应的运费为：153(元)3102612584201225325 35 / / 108651216
