1、 1 / 7导数大题分类一、含参数单调区间的求解步骤：确定定义域（易错点）求导函数 )(xf对 进行整理，能十字交叉的十字交叉分解，若含分式项，则进行通分整理 . 中 的最高次系数是否为 0，为 0 时求出单调区间 .)(xf例 1： ，则 要首先讨论 情况xa231)1()(xaf 0a 最高次系数不为 0，讨论参数取某范围的值时，若 ，则 在定义域内单调递)(xf f)(xf增；若 ，则 在定义域内单调递减. )(xf例 2： ，则 = ，显然 时 ，此时axfln)(2)(f )0(,12xa0a)(xf的单调区间为 .f ),0( 最高次系数不为 0，且参数取某范围的值时，不会出现 或
2、者 的情况)(x 0)(xf0)(xf求出 =0 的根， （一般为两个） ，判断两个根是否都在定义域内 .如果只有一根在定义f 21,x域内，那么单调区间只有两段.若两根都在定义域内且一根为常数，一根含参数.则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区间，即 .212121,xx例 3:若 ，则 ，)0(,ln)()( aaf xaf)1()()0(解方程 得0x,21时，只有 在定义域内.ax时,比较两根要分三种情况： 1,0,1aa用所得的根将定义域分成几个不同的子区间，讨论 在每个子区间内的正负，求得)(xf )(xf的单调区间。 2 / 7（1）求函数的单调区间1.已知函数 2)1ln()x
3、kxf)0(（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程.2k)fy1,f（）求 得单调区间.)(xf2. 已知函数 ， . 24lnaxaR（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；1()yf1,()f（）讨论 ()fx的单调性.3.已知函数 sinco,(0)ax.（）当 2时，求函数 ()f值域；（）当 a时，求函数 x的单调区间.4已知函数 ，其中 .12e()4fxaR（）若 ，求函数 的极值；0a()fx（）当 时，试确定函数 的单调区间.1（二）求函数在给定的区间的最值问题5已知函数 ， .)(2axf)0(bxg3(（）若曲线 与 在它们的交点 处具有公切线，求 的值.g),1cba,
4、（）当 时，求函数 的单调区间，并求其在 上的最大值.b42 ()xf )1(6已知函数 ， 21()lnfxaR（）求函数 的单调区间；（）若函数 在区间 的最小值为 ，求 的值()fx1,e1a7.已知函数 （其中 为常数且 ）在 处取得极值.bxa2ln,01x（）当 时，求函数 的单调区间；()f（）若函数 在区间0,e上的最大值为 1，求 的值.)(xf a3 / 78已知函数 )1ln(2)(xaxf，其中 aR.（）若 是 )(f的极值点，求 的值；（）求 xf的单调区间；（）若 )(在 0,)上的最大值是 0，求 a的取值范围 .9.已知 ，其中 21ln(1fxax()若函数
5、 在点 处切线斜率为 ，求 的值；()f3,)f0a()求 的单调区间；x()若 在 上的最大值是 ，求 的取值范围()f0,10.设函数 ， xfeaR（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；2()fx0,()f（）在（）的条件下，求证： ；（）当 时，求函数 在 上的最大值1a()fx,a二、恒成立问题的几种问法：1对于 ， 恒成立，等价于函数 在 上的最小值 .诉讼bax,kxf)( )(xfba, kxfmin)(2对于 ， 恒成立，等价于函数 在 上的最大值 .a a3.对于 ， ，等价于 在区间 上的最小值 ，大于等于x,21 )(21xgf )(xf,min)(xf)(xg在区间
6、 上的最大值 ，即 .bama maingf4. 对于 ， ，等价于 在区间 上的最大值 ，小于等于x,21)(21xf)(xfb,max)(f)(g在区间 上的最小值 ，即 .ba,min)(xgminax)()(gf5.对于 ， ，等价于构造函数 ， 在区间 上的最小值xf)(xgfhhba,4 / 7.0)(minxh6.对于 ， ，等价于构造函数 ， 在区间 上的最大值ba,)(xgf)()(xgfxhhba,.)(max7. 在区间 上单调递增，等价于 .fb, baxf,0)(min8. 在区间 上单调递减，等价于 .)(x a1.已知函数 .kxef2)()（）求 的单调区间.x
7、（）若对于任意的 ，都有 ，求 的取值范围.),0(exf1)(k2.设 为曲线 C: 在点 处的切线.lxyln1（）求 的方程.（）证明：除切点外，曲线 C 在直线 下方.l3.已知函数 ，xxfsinco)(2,0（）求证： 0（）若 在 上恒成立，求 的最大值和 的最小值.bxasi2,ab5.已知 ，函数 ， . 0()1af()lngxx（）求函数 的单调区间；x（）求证：对于任意的 ，都有 .12,(0,e)12()fg6.已知函数 ， 21()exfaR（）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求 的值；()yf,()f e0xya（）求函数 的单调区间；x（）设 ，当 时，都有
8、 成立，求实数 的取值范围32ea0,1()fx15 / 77.已知函数 Raxxf,ln)()（）当 时求 的极小值 . 0af（） 若函数 在区间 上为增函数，求 得取值范围)(x),0(a8. 已知 .3,ln)(2axgf（I）求函数 在 上的最小值；xf)(tt（II）对一切 恒成立，求实数 的取值范围.2),0(xgfa9.已知函数 2()ln,.fxaR（I）若函数 在 处的切线垂直于 轴，求实数 a 的值；(1,)fy(II) 在（I）的条件下，求函数 的单调区间；()fx(III) 若 恒成立，求实数 a 的取值范围.1,()0xf时10.已知函数 ，其中 a R 当 时，求
9、 f (x)的单调区间； 当 a 0时，证明：存在实数 m 0，使得对于任意的实数 x，都有 f (x) m成立三、存在性问题的几种问法：1. ,使得 成立，等价函数 在 上的最大值 .bax0kxf)( )(xfba, kxfma)(2. ,使得 成立，等价函数 在 上的最小值 . in3. ，使得 成立，等价于 在区间 上的最大值 ，大于等于x,21 )(21xgf )(xf,max)(f在区间 上的最小值 ，即 .)(gba,minmina)(gf4. ，使得 ，等价于 在区间 上的最小值 ，小于等于x,21)(21xfxb,min)(xf)(xg在区间 上的最大值 ，即 .magmai
10、n)(f6 / 75. ，使得 ，等价于构造函数 ， 在区间 上的最大值bax,)(xgf)()(xgfxhhba,.0)(mah6. ，使得 ，等价于构造函数 ， 在区间 上的最小值 x, )(xf)()(xfx,.)(min7. 在区间 上存在单调递增区间，等价于 的最大值 .xfba, )(f 0)(maxf8. 在区间 上存在单调递减区间，等价于 的最小值 .)( xin1.已知曲线 ()xfae(0).（）求曲线在点（ ,f）处的切线方程；（）若存在 0x使得 0()，求 a的取值范围.2.已知函数 1()2lnfaxR（）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；()yf(1,)f（）求函
11、数 的单调区间；()fx（）设函数 若至少存在一个 ，使得 成立，求实数 的取值范围ag01,ex00()fxga3.已知函数1()ln(,)fxx R（）若 ，求函数 的极值和单调区间；a)f（） 若在区间 上至少存在一点 ，使得 成立，求实数 的取值范围.1,e0x0()fxa4.已知函数 ()xfx（）当 时，求 在区间 上的最小值；2a()f1,3（）求证：存在实数 ，有 .00()fxa四、切线问题1.已知函数 ()fxln,axR7 / 7（）求函数 的单调区间；()fx（）当 时，都有 成立，求 的取值范围；1,2()0fxa（）试问过点 可作多少条直线与曲线 相切？并说明理由(3)P， ()yfx2.已知函数 fx（I）求曲线 在点 处的切线方程；()y()Mtf，（II）设 ，如果过点 可作曲线 的三条切线， 证明： 0aab， ()yfx()abf5、特殊问题1.已知函数 . 21ln()xf（）求函数 的零点及单调区间；（）求证：曲线 存在斜率为 6 的切线，且切点的纵坐标 .lxy 01y六、构造函数模型1.设函数 1)(xaef， R（）当 时，求 的单调区间；()f（）当 ,0(x时， 0x恒成立，求 a的取值范围；（）求证：当 ),时， 21lnxex
