1、历年全国高中数学联赛试题及答案解析全集（1988-2015）目录2015 全国高中数学联赛试题及答案解析2014 全国高中数学联赛试题及答案解析2013 全国高中数学联赛试题及答案解析2012 全国高中数学联赛试题及答案解析2011 全国高中数学联赛试题及答案解析2010 全国高中数学联赛试题及答案解析2009 全国高中数学联赛试题及答案解析2008 全国高中数学联赛试题及答案解析2007 全国高中数学联赛试题及答案解析2006 全国高中数学联赛试题及答案解析2005 全国高中数学联赛试题及答案解析2004 全国高中数学联赛试题及答案解析2003 全国高中数学联赛试题及答案解析2002 全国高
2、中数学联赛试题及答案解析2001 全国高中数学联赛试题及答案解析2000 全国高中数学联赛试题及答案解析1099 全国高中数学联赛试题及答案解析1098 全国高中数学联赛试题及答案解析1097 全国高中数学联赛试题及答案解析1096 全国高中数学联赛试题及答案解析1095 全国高中数学联赛试题及答案解析1094 全国高中数学联赛试题及答案解析1093 全国高中数学联赛试题及答案解析1092 全国高中数学联赛试题及答案解析1091 全国高中数学联赛试题及答案解析1090 全国高中数学联赛试题及答案解析1089 全国高中数学联赛试题及答案解析1088 全国高中数学联赛试题及答案解析2015 全国高
3、中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间：2015 年 7 月 4 日上午 9:0011:30）二题号 一9 10 11 12 总分得分评卷人复核人注意： 1本试卷共 12 小题，满分 150 分； 2请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3书写不要超过装订线； 4不得使用计算器一、填空题（每题 8 分，共 64 分）1. 函数 的最小值是 Rxxxf ，e31)(2. 设 数列 的通项公式是 24211 nn， nnx3. 设平面向量 满足 ，则 的取值范围是, 3|,|4. 设 是定义域为 的具有周期 的奇函数，并且 ，则 在 中)(xfR20)4(f)(xf10,至少有 个零点5. 设 为实数，且关于
4、 的方程 有实根，则 的取值范围是ax1)sin)(co(xaa.6. 给定定点 ，动点 满足线段 的垂直平分线与抛物线 相切，则 的轨迹方)1,0(PQP2xyQ程是 7. 设 为复数，其中 是实数， 是虚数单位，其满足 的虚部和 的实部均非zxyi,xyi z1zi负，则满足条件的复平面上的点集 所构成区域的面积是 (,)8. 设 是正整数把男女乒乓球选手各 人配成男双、女双、混双各 对，每位选手均不兼nn3n项，则配对方式总数是 二、解答题（第 9 题 20 分，第 1012 题 22 分，共 86 分）9. 设正实数 满足 求证： ba,13122ba10. 在如图所示的多面体 中，已
5、知 都与平ABCDEFCFBEA,面 垂直设 ，ABCcba，求四面体 与 公共部分的体1积（用 表示） cba,11. 设平面四边形 的四边长分别为 4 个连续的正整数。证明：四边形 的面积的ABCDABCD最大值不是整数。12. 已知 31 位学生参加了某次考试，考试共有 10 道题，每位学生解出了至少 6 道题求证：存在两位学生，他们解出的题目中至少有 5 道相同试题解答一、填空题（每题 8 分，共 64 分）1. 当 时， , 因此 单调减；当3x,e42)(xxf0e2)(xf)(xf时， ，此时 亦单调减；当1时， ， . 令 得 因此xx f.2ln在 处取得最小值 6-2ln2
6、)(xf2ln2. 设 方程有实根 双曲线 与圆 有公xavausicos， 1uv1)()(22av共交点. 注意到圆的圆心位于直线 之上，只须找到圆与双曲线相切时圆心的位置xy即可. 易计算得，圆与双曲线切于 A(1,1)点时，圆心坐标为 或 .圆与/双曲线切于 B(-1,-1)点时，圆心坐标为 或 .2/121因此，a 的取值范围为 ,2a3. 由 和 ，可得 4213nnx421nnx21323nnnxx故 2n4. 21792122 494122以上等号均可取到故 的取值范围是 ,5. 由题设可知 。令 x=0 得 。 另一方面，)()()(xfxfxf 0)(f类似地， 因此， 在
7、 中的零点0.442 3-2x1,一定包含 这 11 个零点4,23,0 ,6. 设 的垂直平分线 与抛物线 相切于 ，切向为 . 则 的方程为PQl2xy),(2t)2,1(tl设 ，由 与 垂直且 中点在 上，可得2)(txty),(xPQll221)(0txyt由 解得 ，代入 得 的轨迹方程为 t Q， 0)1()1(22yxy 21,y7. 等价于0)1(iRei 2yxz. 又由于 ，故满足条件的点集构成了圆的一部分，计算得22121)()(yx其面积为 838. 从 3n 名男选手中选取 2n 人作为男双选手有 种选法，把他们配成 n 对男双选手有23nC种配对方式。女选手类似。
8、把 n 个男选手和 n 个女选手配成 n 对混双有 n!种配对方式。(2)!n因此，配对方式总数是 nnC23223)!(!二、 解答题（第 9 题 20 分，第 1012 题每题 22 分，共 86 分）9. 证明：对任意 ，由均值不等式有 )1,0(a-（5 分）.424a因此， -（15 分）aaa24141222同理，对于任意 ，),0(b.2bb因此， -（20 分）3122 aa10. 设 ，则四面体 是 与 的公共部分HCEBFGDAE， BEGHACBDEF-（5 分）易计算得： 到直线 的距离 ，-（10 分）GABbad1到平面 的距离 ， -（15 分）CFE23到直线
9、的距离 ， -（20 分）HBcbd3 23dbSBEH因此， -（22 分）)(123aSVBEHBEGH11. 不妨设 是凸四边形，其面积为 S记 。由ACD DAdCcBbAa，DcdcBabaACDcdBbS os2os2，in1sin21 2可得，-（8 分）DddcbDBS os/)(，insin22 两遍平方和得 )()()(4141 )(41)cs()()(4 2222 222 dcbadbadcadcbba dcbaBacS 等号成立当且仅当 ，即 四点共圆-（16 分）DBDCBA,现根据假设 为四个连续整数 由此a, .1321nn. 显然 因此，S 不是整数。)3(2)
10、1(nnS 32 S-（22 分）12. 证明：设 是所有试题的集合， 是第 位学生解出的试题的集合， 题目即证SiS iiST存在 使得 -（5 分）ji5ji不妨设 共有 个三元子集，每个 恰包含 4 个三元子iTii ， 4 61203Ci集因此，存在 使得 包含相同的三元子集， -（15 分）从而，jji, 3jiT-（22 分）52jijijiji TSS2014年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷一、填空题（每题8分，共64分） 1. 函数 的值域是_.23()45xyxR2. 函数 在 中的零点个数是_tan01ta24tan(2015)x,3. 设定点 ，动点 在 轴上，动点 在直
11、线 上，则 的周长的最小值是_ (2,)ABxCyABC4. 设 是平面上两点， 是 关于 的对称点， 是 关于 的对称点, 若1P21kPk12kP1k2P*kN，则 _12|P20134|P5. 已知四面体 的侧面展开图如下图所示，则其体积是_ABCD6. 设复数 满足 ，则 的取值范围是_z1|2z|z7. 设动点 ，其中参数 ，则线段 扫过的平面区域的面积是_(,0),PtQt0,1tPQ8. 从正12边形的顶点中取出4个顶点，它们两两不相邻的概率是_二、解答题（第910题每题21分，第1112题22分，共86分） 9. 已知正实数 满足 求证： ,xyz1yz022zyxzyx10. 设数列 满足 求证：na2113,1na（1） 当 时， 严格单调递减（2） 当 时， ，这里 nna1n21|3|1nnra23r11. 已知平面凸四边形 的面积为1求证：ABCD|42ABCD
