1、第六节 椭圆强化训练当堂巩固1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. 45352515答案:B 解析:由 2a,2b,2c 成等差数列,所以 2b=a+c. 又 22bac所以 . 2()4()所以 .所以 . 5335ea2.已知椭圆 0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 轴,直线 AB 交 y 轴21(yxb Fx于点 P.若 ,则椭圆的离心率是( ) APBA. B. C. D. 3232答案:D 解析:对于椭圆, ,则 , POAFa=2c. . 1e3.已知椭圆 0)的左、右焦点分别为 、 若椭圆上存在一
2、点 P 使2(yxab1(0)c2()F则该椭圆的离心率的取值范围为 . 1221sinPFsiFac答案: ()解析:因为在 中,由正弦定理得 12 2112sinPFsiF则由已知,得 即 a| |=c| |. 1acPF1由椭圆的定义知| |+| |=2a, 2则 | |+| |=2a,即| | c222ac由椭圆的几何性质知| |0)的右焦点与抛物线 的焦点相同,离心率为 则此椭圆的方程为2(0yxmn28yx( ) A. B. 216yx216yxC. D. 4848答案:B 解析:由题意可知:c=2,且焦点在 x 轴上.由 可得 m=4, .故选 B. 12e221nmc题组二 椭
3、圆的定义 4.设 P 是椭圆 上的点.若 是椭圆的两个焦点,则| |+| |等于( ) 2156yx12F 1PF2A.4 B.5 C.8 D.10 答案:D 解析:因为 a=5,所以| |+| |=2a=10. 1P25.设直线 l:2x+y-2=0 与椭圆 的交点为 A、B,点 P 是椭圆上的动点,则使PAB 面积为 的点 P14yx 13的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:D 解析:联立方程组 消去 y 整理解得: 或 |AB| 2014xy02xy1xy5结合图象知 P 的个数为 4. 题组三 椭圆的综合应用 6.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心
4、率为 且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为3212,则椭圆 G 的方程为 . 答案: 21369yx解析: 6,b=3,则所求椭圆方程为 . ea 21369yx7.已知 、 是椭圆 C: 0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上一点,且 .若1F221(yxab 12PF的面积为 9,则 b= . 12P答案:3 解析:依题意,有 可得 即 b=3. 12284PFc23624a29c8.在平面直角坐标系 xOy 中 为椭圆 0)的四个顶点,F 为其右焦点,直线12AB 21(yxb与直线 相交于点 T,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心率为 . 12AB
5、1F答案: 75解析:直线 的方程为: ; 121yxab直线 的方程为: ;二者联立解得点 c ()2bacT则 OT 中点 在椭圆 0)上, ()2Ma2(yx10e-3=0, 22 2()103()4accac3e解得 . 75e9.已知椭圆 C: 的两焦点为 点 满足 则| |+| |的取值范围2xy12F0()Pxy201xy1PF2为,直线 与椭圆 C 的公共点个数为 . 01答案: 0 )解析:延长 交椭圆 C 于点 M,故| | | |+| |b0)过点 离心率为 左 、右焦点分别为 F 、F .点 P 为21yxab2(1)2 12直线 l:x+y=2 上且不在 x 轴上的任
6、意一点,直线 和 与椭圆的交点分别为 A PFB和 CDO为 坐 标 原 点(1)求椭圆的标准方程. (2)设直线 ,PF 的斜率分别为 ,k . 1PF21k2()证明: . 3k()问直线 l 上是否存在点 P,使得直线 OA k ,k ,k ,k 满足OBCD的 斜 率 OABCOD+A?若存在,求出所有满足条件的点 P 的坐标;存不存在,说明理由. +0OBCDk解:(1)因为椭圆过点 2(1)e所以 . 21cab又 a所以 1. 故所求椭圆的标准方程为 . 21xy(2)()证明:方法一:由于 ,F ,PF 的斜率分别为 ,k 且点 P 不在 x 轴上, (0)F21(PF212所
7、以 . 1220kk又直线 的方程分别为 PF12()ykxykx联立方程解得 1221xyk所以 . 121()kP由于点 P 在直线 x+y=2 上, 所以 . 121k因此 230即 结论成立. 12方法二:设 则 . 0()Pxy00121ykx因为点 P 不在 x 轴上,所以 . 0y又 02y所以 . 00013(1)42xyk因此结论成立. ()设 . ()()()ABCxy()D联立直线 与椭圆的方程得 1PF12ykx化简得 221()40kxk因此 21ABABk由于 OA,OB 的斜率存在, 所以 因此 . 0x210因此 1()()ABABOABykxkxkx211142. 21k相似地,可以得到 2001CDxk 21OCDk故 221()OABOkk2211(). 221kk若 须有 或 . 0OABCOD120k12k当 时,结合()的结论,可得 ,所以解得点 P 的坐标为(0,2); 12 当 时,结合()的结论,解得 或 此时 不满足 舍去),此时直线 CD 的k232(1k12k方程为 y=3(x-1),联立方程 x+y=2 得 . 54xy因此 . 53()4P综上所述,满足条件的点 P 的坐标分别为(0 .32)(4
