1、反比例函数（提高）【学习目标】1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质【要点梳理】要点一、反比例函数的定义一般地，形如 ( 为常数， )的函数称为反比例函数，其中 是自变量，kyx0kx是函数，定义域是不等于零的一切实数.y要点诠释：（1）在 中，自变量 是分式 的分母，当 时，分式 无意义，yxx0xkx所以自变量 的取值范围是 ，函数 的取值范围是 .故函yy数图象与 轴、 轴无交点；y（2） ( )可以写成 ( )的
2、形式，自变量 的指数kyx x是1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一条件.（3） ( )也可以写成 的形式，用它可以迅速地求出反比kyx例函数的比例系数 ，从而得到反比例函数的解析式.k要点二、确定反比例函数的关系式确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数 中，只有一个kyx待定系数 ，因此只需要知道一对 的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 的kxy、 k值，从而确定其解析式.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：（1）设所求的反比例函数为： ( )；kyx0（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；（3）解方程求出待
3、定系数 的值；（4）把求得的 值代回所设的函数关系式 中.kkyx要点三、反比例函数的图象和性质1、 反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与 轴、 轴相交，只是无限靠xy近两坐标轴.要点诠释：（1）若点( )在反比例函数 的图象上，则点 ( )也在此图ab，kyxab，象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数 ( 为常数， ) 中，由于 ，所k0以两个分支都无限接近但永远不能达到 轴和 轴xy2、反比例函数的性质（1）如图 1，当 时，双曲线的两个分支分别位于第一、三
4、象限，在每个象限内，0k值随 值的增大而减小；yx（2）如图 2，当 时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随 值的增大而增大；要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的k位置和函数的增减性，也可以推断出 的符号.要点四、反比例函数 ( )中的比例系数 的几何意义过双曲线 ( ) 上任意一点作 轴、 轴的垂线，所得矩形的面积为 .xky0xyk过双曲线 ( ) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为 .2k要点诠释：只要函数式已经确定，不论图
5、象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.【典型例题】类型一、反比例函数定义1、 为何值时， 是反比例函数？k21()kyx【答案与解析】解：由 得 210k01k或且 2k【总结升华】根据反比例函数关系式的一般式 ，也可以写成 ，(0)yx1(0)ykx后一种写法中 的次数为1，可知此函数为反比例函数，必须具备两个条件，x且 ，二者缺一不可2k20k类型二、确定反比例函数的解析式2、已知 ， 与 成正比例， 与 成反比例，且当 1 时， 7；12y1yx2yxxy当 2 时， 8x(1) 与 之间的函数关系式；(2)自变量的取值范围；(3)当 4 时， 的
6、值xy【答案与解析】解：(1) 与 成正比例，1 设 (0)ykx 与 成反比例，2 设 2()ykx 211把 与 分别代入上式，得7xy8127,8.k 123,4.k所以 与 的函数解析式为 yx43yx(2)自变量的取值范围是 0(3)当 4 时， 1【总结升华】注意，比例系数要分别用 和 表示，不能用成同一个比例系数 .k2 k举一反三：【变式】已知 与 成反比例，且 时， ，求 与 的函数关系式y23x41xyx【答案】解：因为 与 成反比例，所以 ，且 ，解得 .23kyx1234k5k所以 与 的函数关系式为 .yx类型三、反比例函数的图象和性质3、若 A( 1x， y)、B(
7、 2， y)在函数 的图象上，当 1x、 2满足_时，12x.2【答案】 或 或 ； 10x120x21x【解析】 的图象在一、三象限，在每个象限内，随着 的增大，函数值 减小，所2y xy以 或 时， .当 B 点在三象限，A 点在一象限，即1x12x12y，也满足 .20【总结升华】反比例函数的增减性是在每个象限内讨论的，A、B 两点要分成同在一象限、同在三象限和分属一、三象限讨论，这样才能把情况考虑完整.举一反三：【变式】如图所示，正比例函数 与反比例函数 在同一坐标系中的图象不2ykx1kyx可能是（ ）【答案】D；提示：对于 D 项，由正比例函数 的图象经过第二、第四象限，得 0，2
8、ykxk由反比例函 的图象位于第一、第三象限，得 1， 不存在，故 D 项1kyxk错误解决这类图象问题的一般解法是先根据函数表达式的大致图象来确定函数表达式中字母系数的符号或范围，再根据字母系数的符号或范围确定另一个函数图象的大致位置类型四、反比例函数综合4、如图所示，已知双曲线 ，经过 RtOAB 斜边 OB 的中点 D，与直角边(0)kyxAB 交于点 C，DEOA， ，求反比例函数的解析式3OBCS【答案与解析】解：过点 D 作 DMAB 于点 M DMOA， BDMBOA在BDM 和EOD 中 90BOEA BDMDOE(AAS)， ， 12DME12BDEA设 D( )，则 B( )ab， ab， ，OEACS 3BBDE 梯 形即 ，解得： (2)3baA2ab 反比例函数的解析式为 yx【总结升华】本题欲求解析式有两个思路可考虑，一个是求 D 点或 C 点的坐标，另一个就是求DOE 或AOC 的面积，从条件看，求 D 点或 C 点坐标的可能不大，于是从求DOE 或AOC 的面积入手思考，由于 D、C、B 三点坐标间的特殊关系，设出 D 点的坐标就可以将 B、C 两点的坐标表示出来，然后运用 求出 D 点两坐标3OBS之积，就不难求出解析式
