1、弹塑性力学试卷及习题解答弹塑性力学试卷配套教材弹性与塑性力学陈惠发1是非题（认为该题正确，在括号中打；该题错误，在括号中打。 ） （每小题 2 分）（1 ）物体内某点应变为 0 值，则该点的位移也必为 0 值。 （ ）（2 ）可用矩阵描述的物理量，均可采用张量形式表述。 （ ）（3 ）因张量的分量是随坐标系的变化而变化，故张量本身也应随坐标系变化。 （ ）（4 ）弹性的应力和应变张量两者的主方向是一致性，与材料无关的。 （ ）（5 ）对于常体力平面问题，若应力函数 满足双调和方程 ，那么，yx,02由 确定的应力分量必然满足平衡微分方程。 （ ）yx,（6 ）若某材料在弹性阶段呈各向同性，故其
2、弹塑性状态势必也呈各向同性。 （ ）（7 ） Drucker 假设适合于任何性质的材料。 （ ）（8 ）应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。 （ ）（9 ）对于任何材料，塑性应变增量均沿着当前加载面的法线方向。 （ ）（10 ）塑性应变增量的主方向与应力增量的主方向不重合。P107；226 （ ）2填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。 ） （每小题 2 分）（1 ）设 ，当 满足_关系43241, yaxayx321,a时 能作为应力函数。（2 ）弹塑性力学是研究固体受外界因素作用而产生的_的一门学科。（3 ）导致后继屈曲面出现平移及扩大的主要
3、原因是材料_。（4 ） 平面上的一点对应于应力的失量的 _。P65（5 ）随动强化后继屈服面的主要特征为：_。（6 ）主应力轴和主应变轴总是重合的材料为_。P107（7 ）相对位移张量 通常_对称的，对于小变形问题由此引起的位移含ij_。P75 、76（8 ）若 ，请分别简述 的真正含义及对应的强化描述：0kfijij ,kij_。P2362383选择题（分别为 3，3，4 分）（1 ）对不可压缩的弹性体，有性质（ ） 。P104A 且 B 且0zyx.50zyx.5C 且 Dz 0zyxz（2 ）在与三个应力主轴成相同角度的斜面上，正应力 （ ） 。P41；50；53NA B C D291I
4、13I3212I（3 ）倘若将塑性功增量表述为 ，则其有效应力 和有效应变 应分别为pepdWepd（ ） 。P227、228 ；239241；A B pijdJ,32 pijijS32,C Dpij,2 pijijd,4计算分析题1现已知一点的应力张量为 。 （14 分）P70习题 2.24152123ij求：（1）主应力及其主方向； P43、44（2 ）应力不变量的 、 和 ；P411I23I（3 ）八面体正应力与剪应力。P50 、51（应力单位）2证明在弹性应力状态下，式 成立。 （10 分）8821GP50；83；103 ；3习题 5.1 所示结构由 4 根横截面均为 A/4 的竖直杆
5、和一根水平刚性梁组成，竖杆为理想弹塑性材料，杆 1 的屈服应力为 ，杆 2 的屈服应力为 ，设各杆材料常数 E 相同，并0102设 ，试求 P192习题 5.102（a ）在单调加载下的弹性极限荷载 ，各杆均进入塑性时的最大荷载 ，相应于 的dPpPd铅垂变形 和相应于 的铅垂变形 。euppu（b）若各竖杆的应变 u/L 达到 后卸载，确定当 P 完全卸去后和竖杆的残余应力和E/20残余应变。P177例 5.24在简单拉伸试验中材料的应力应变关系为30Epe其中， 为初始屈服应力，材料常数 ，就下面两种情况，MPa20 MPa20求先施应变至 时逆向加载的应力应变关系。.p（a ）随动强化；
6、（b）各向同性强化。P186例 5.3本教材习题和参考答案及部分习题解答第二章2.1 计算：(1) ，(2) ，(3) 。piqjkpqijkeAijpkliljeB答案 (1) ;答案 (2) ;pqijkpqeA解：(3) 。()liljikjliljkiljijjiB2.2 证明：若 ，则 。ija0ea（需证明）2.3 设 、 和 是三个矢量，试证明：bc2,bca证：因为 ，12311223iiiiiiiiiaccbabcbc所以即得 123112212331231223detdet( )iiiiiiiiia abcb bcc caabc。12113223,iiiiibaacba a
7、b2.4 设 、 、 和 是四个矢量，证明：cd()()()bd证明： a2.5 设有矢量 。原坐标系绕 轴转动 角度，得到新坐标系，如图 2.4 所示。试求矢量 在新坐iuez u标系中的分量。答案： ，12cosinu，2u。32.6 设有二阶张量 。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量 在新坐标系中的分量 、ijjTe T1T、 和 。123提示：坐标变换系数与上题相同。答案：图 2 . 4ozyxu，121212cossinTT，12 ，323cosin。T2.7 设有 个数 ，对任意 阶张量 ，定义n12niAm12mjB12 12nmij jCB若 为 阶张量，试证明 是 阶张量。
8、12ij12niA证：为书写简单起见，取 ， ，则2.8 设 为二阶张量，试证明 。trI证：2.9 设 为矢量， 为二阶张量，试证明：aA(1) ，(2)()Ta()TaA证：(1) ()TjijkjikjnaeeTjikjnnjine。e证：(2) ()TaA2.10 已知张量 具有矩阵123456789求 的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。T解： 2.11 已知二阶张量 的矩阵为310T求 的特征值和特征矢量。解：2.12 求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：，AImBnm其中， 和 是实数， 和 是两个相互垂直的单位矢量。解：因为，()()所以 是 的特征矢量， 是和其对应的
9、特征值。设 是和 垂直的任意单位矢量，则有amaIa所以和 垂直的任意单位矢量都是 的特征矢量，相应的特征值为 ，显然 是特征方程的重根。A令 ， ，21()mne31()2ne123e=则有，23()+23()+上面定义的 是相互垂直的单位矢量。张量 可以表示成ieB1230B+e所以，三个特征值是 1、0 和1，对应的特征矢量是 、 和 。3e122.13 设 和 是矢量，证明：ab(1) 2()()a(2) ()ba证：(1) (2) 2.14 设 ，求 及其轴向矢量。23213xyzxzaee1()w解： ()wa23232111 1()()yzzxee2366xzxe由上式很容易得到
10、轴向矢量，也可以按下面的方法计算轴向矢量。22111 322()()zza2.15 设 是一闭曲面， 是从原点 到任意一点的矢径，试证明：SrO(1)若原点 在 的外面，积分 ；30Sdrn(2)若原点 在 的内部，积分 。34S证：(1)当 时，有0r(b)33()()ix因为原点在 的外面，上式在 所围的区域 中处处成立，所以由高斯公式得SV。33()0SVdvrrn(2)因为原点在 的内部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为 的球面 完全在 的内部。aS用 表示由 和 所围的区域，在 中式(b)成立，所以S3333()0SSSVddrrr n即33SSn在 上， ， ，于是ra/nr。
11、332214SSSSdda 2.16 设 ，试计算积分 。式中 是球面 在13()yxzyfee()dSfn22xyza平面的上面部分.解：用 表示圆 ，即球面 和 平面的交线。由 Stokes 公式得c22a22xyzaxy。() 0Sccdydfnfr=第三章3.1 设 是矢径、 是位移， 。求 ，并证明：当 时， 是一个可逆 的二阶张量。rurudr,1iju=dr解： dI的行列式就是书中的式(3.2)，当 时，这一行列式大于零，所以 可逆。rI ,ij dr3.2 设位移场为 ，这里的 是二阶常张量，即 和 无关。求应变张量 、反对称张量uArAr及其轴向矢量 。()/2解： ， ，
12、 ，1()T1()2Tijkklxxee2jkimkiljkimkijimAAe3.3 设位移场为 ，这里的 是二阶常张量，且 。请证明：ur,1iju=(1)变形前的直线在变形后仍为直线；(2)变形前的平面在变形后仍然是一个平面；(3)变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。证：(1)方向和矢量 相同且过矢径为 的点的直线方程可以写成a0r(1)0tr其中 是可变的参数。变形后的矢径为(2)()uArI用 点积式(1)的两边，并利用式(2),得I0()tra上式也是直线方程，所表示的直线和矢量 平行，过矢径为 的点。所以变形前的()IAa0()IAr直线变形后仍然是直线。(2)因为
13、，所以 可逆。记 ，则,1iju=I1B(3)()rIAr变形前任意一个平面的方程可以表示成(4)ca其中 是和平面垂直的一个常矢量， 是常数。将式(3)代入式(4)，得c(5)()Br上式表示的是和矢量 垂直的平面。所以变形前的平面在变形后仍然是平面。a(3)变形前两个平行的平面可以表示成，1c2变形后变成，()r2()cr仍是两个平行的平面。3.4 在某点附近，若能确定任意微线段的长度变化，试问是否能确定任意两条微线段之间夹角的变化；反之，若能确定某点附近任意两条微线段之间的夹角变化，试问能否确定任意微线段的长度变化。答案：能；能。3.5 设位移场为 ，其中 是二阶常张量， 和 是两个单位
14、矢量，它们之间的夹角为 。求变uArnm形后 的减小量。答案： 。1()ctg()sinTA3.6 设 和 是两个单位矢量， 和 是两个微小的矢量，变形前它们所张的平行四边mdrr形面积为 ，试用应变张量把变形时它的面积变化率 表示出来，其中 是面积变Adr /AA形前后的改变量。解：变形后， 和 变成，r rr对上面两式进行叉积，并略去高阶小量，得ddr对上式两边进行自身点积，略去高阶小量，得()()r(a)2()()2()()ddrrrr注意到2()()dAAr2r所以，从式(a)可得()()()()ddArrr()nmnm利用习题 2.4 中的等式，上式也可写成21()A3.7 设在一个
15、确定的坐标系中的应变分量为 ，让坐标系绕 轴转动 角，得一个新的坐标系，求在新ijz坐标系中的应变分量。答案： ，cos2in2xyxyxy，xyxyy xy，sincsxyxy xy， ，cozyzincoszxzyzz3.8 在 平面上， 、 、 和 轴正方向之间的夹角分别为 、 、 ，如图 3.9 所示，OabO0612这三个方向的正应变分别为 、 和 。求平面上任意方向的相对伸长度 。abc n答案：2os23()sinabcbccn3.9 试说明下列应变分量是否可能发生：， ， ，2xay2xyza， ，zb2zb0xy其中 和 为常数。解：3.10 确定常数 ， ， ， ， ， ，
16、 之间的关系，使下列应变分量满足协调方程0A10B10C12，24()xyx，01y，22xC abcOxy6012图 3 . 9。0zxzy解：3.11 若物体的变形是均匀的，即应变张量和空间位置无关，试写出位移的一般表达式。解：（由于应变张量 和空间位置无关，所以书中的式(3.36a)简化成）3.12 设 ， ， ， ，其中 ， ， 是常量，求位移的一般表达式。xaybzc0xyzxabc解：第四章4.1 已知物体内一点的六个应力分量为：， ， ， ， ，50xay30za75yz80zxa5xy试求法线方向余弦为 ， ， 的微分面上的总应力 、正应力 和剪应力 。12n12132nTnn
17、答案： 总应力 。213.8T正应力 。6.04nia剪应力 。27n4.2 过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为 和 ，在这两个面上的应力矢量分别为 和 ，试nm1T2证 。12m证：（利用应力张量的对称性）4.3 某点的应力张量为012xyxzyzxyz且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求 及该平面的单位法向矢量。y解：设要求的单位法向矢量为 ，则按题意有in0ijn即， ， (a)231230y120上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得2()y上式有两个解： 或 。若 ，则代入式(a)中的三个式子，可得 ，这是不ny2n1n30可能的。所以必有 。将 代入式(a)，利用 ，可求得11in。1236e4.4 基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图 4.8，下部受均匀压力作用，斜面自由，试验证应力分量2(arctg)xyxAC
